Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов, Н.П. Юдин - Частицы и атомные ядра (1120562), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Наиболее просто увидеть характер этой модификации при рассеянии нерелятивистского электрона на протяженном центре. Электроны обладают волновыми свойствами. Это позволяет рассматривать рассеяние электронов как рассеяние налетающей на рассеивающий центр плоской волны, которое слагается из большого числа актов рассеяния на составляющих рассеивающий центр элементарных зарядах тзе„= р(г) Л', где р(Р) — плотность распределения заряда в рассеивающей системе и гйг— элемент объема (см.
рис. 4.12). Суммарная амплитуда М рассеяния электрона должна равняться сумме амплитуд рассеяния М„на каждом элементарном заряде тт е„с дополнительным фазовым множителем ем", возникающим за счет разности хода налетающей и выходящей волн: Глава 4.
Адроны или 1 „1 „"г б=Ы=--~(7 -М =-((р-р)-1 -- — ". 7г 7г 7г ' где л = (р — р ) — переданный импульс. С учетом (4.70) для (4.67) имеем М= У М„е' =~ Ме'ь, я а (4.70) (4.71) ДиФференциальное эффективное сечение рассеяния определяется квадратом модуля суммарной амплитуды. гйг — М„е ь г(й (4.72) р(г) гйг = Яе. Величина 1 Г;й Р(д) = — / р(г)е'ь г(К Яе / (4.74) выражаюшаяся через Фурье-образ от распределения плотности электрического заряда, носит название формфаклюри. Из-за его важнейшего значения в микрофизике сделаем несколько дополнительных замечаний. Прежде всего, заметим, что обычно формфактор Р(д) является функцией 07, т.е.
Р(0) = Е(0з) и при д = 0 в силу р(т) Л' = Яе равняется единице Р(0) =!. (4.75) При малых а, когда 071/й (( 1, где Я вЂ” радиус микросистемы, экспоненту в формуле (4.74) можно разложить в ряд и формфактор в случае сферически симметричного распределения заряда представить в виде 1 -2 Р(2) 1 Ч (2)+ б 7г' (4.7б) Учтя то, что все элементарные составляющие мишени идентичны, получим, что амплитуды М„пропорциональны величине элементарного заряда Ье„. Обозначив теперь через Ма универсальную амплитуду рассеяния на единичном заряде, получаем для сечения рассеяния следующее выражение: 2 ~ ~-~ ~~~и — = 1Мо! „У Ье„° е' ь = — — / р(г)е'ь ИУ .
(4.73) г1П дй Яе / Здесь учтено то, что заряд мишени равен Яе, т. е. э 9. Электярон-нуклонное рассеяние и сгнруктура адрона 20! гле (т') — среднеквалратичный радиус распределения заряла в рассеива- ющей системе: ) тзр(т) й1т !' 4ятзр(т)тз йт (т )— ( р(т) дИ ( 4яр(т)т'от (4.77) Из (4.76) следует, что лля получения (т') необходимо измерить Р(дда) при очень малых значениях дз и далее воспользоваться равенством (т ) = — 67з— 2 2~~р(д ) "д р=о (4.7В) 13 зеь. 39 вытекающим из (4,76).
Наконец, отметим, что формфактор существенно отличен от единицы и, следовательно, может существенно изменяться только в области значений дт/й > 1. Отсюда, в свою очередь, следует, что детали распрелеления заряда мишени на участках размера Ы можно исследовать только с помощью передаваемого импульса д > 7з/Ы, т.е. зондируя объект виртуальными фотонами с длиной волны 2кй Л< — =2я ° Ы.
д Клк следует из вывода формулы (4.74), формфактор возникает вследствие интерференции рассеянных волн на отдельных элементарных зарядах лье„и всегда должен уменьшать сечение рассеяния, поскольку при ненулевых переданных импульсах д волны, возникшие от разнгвх зарядов, могут гасить друг друга. Это же свойство формфактора можно выявить и другим способом. При введении формфактора мы оперировали с некоторыми элементарными зарядами сье„, которые создавали рассеянную электронную волну. Такое рассмотрение, однако, является в сущности классическим.
Перейдем поэтому к микроскопической картине того, что происходит при рассеянии электрона. Микроскопическая картина должна содержать те структурные составляющие — констлилгузнтлм — рассеивающей системы, которые. в конечном счете, и взаимодействуют с электронами. Эту картину рассеяния можно отразить фейнмановской диаграммой, подобной приведенной в правой части рис. 4.13, которая означает, что электрон испускает фотон (поперечный и продольный), который поглощается затем одним из конституэнтов рассеивающей системы (электроном в атоме, протоном в ядре, кварком в адроне).
При этом конституэнт, поглотивший фотон, приобретает дополнительный импульс д. Если его импульс до столкновения был р, то после столкновения с электроном его импульс стал равным р+ д, Уменьшение сечения при учете формфактора является следствием того, что быстрому конституэнту с импульсом р+ д сложно занятль свое место в волновой 2О2 Глава 4.
Адроны про тот Рие. 4АЗ. Зондирование протона длиниоволиовыми (слева) и коротковолновыми (справа) виртуальными фотонами функции системы. Особенно четко это можно видеть в том случае, когда передаваемый конституэнту импульс столь велик, что в волновой функции рассеиваюшей системы вообше нет таких импульсов! В этой ситуации конституэнту некуда поместиться в системе, и он, скорее всего, должен просто вылететь из нее.
Хорошей классической аналогией этого явления может служить ситуация с выстрелом из пистолета в оконное стекло. Разумеется, пуля сделает дырку в стекле (конституэнт вылетает, а не остается в стекле), а не выбьет стекло из рамы как единое целое. Итак, с учетом неточечности мишени, дифференциальное сечение рассеяния на ней электронов имеет следующий вид: — ~гй') ~'.
дй дй (4.79) Измеряя это сечение и сравнивая его с моттовским, можно найти форм- фактор исследуемого м икрообъекта. Затем для нахождения распределения заряда р(Р) используют соотношение (4.74). Для этого нужно выполнить обратное Фурье-преобразование. Запишем его, предполагая сферическисимметричную форму микрообъекта: ле р(т) = — / л(Г7 ) е'а 4 д, (2я)',/ где йзд — элемент объема в пространстве переданных импульсов и интегрирование ведется во всем пространстве этих импульсов.
Отсюда видно, что, если мы хотим достаточно точно определить распределение заряда р(г), необходимо измерить формфактор РЦ~) в очень большом диапазоне значений 9з. На практике, однако, формфактор может быть измерен лишь в ограниченном диапазоне переданных импульсов ф. 89. Электрон-нуклонное рассеяние и структура адроно 203 Рвс. 4.14. К процедуре нахождения распределения р(г) заряла микро- объекта Таблииа 4.8 Зарядовые распределения и соответствующие им формфакторы Поэтому обычно поступают следующим образом.
Задаются набором «правдоподобных» или теоретически предсказанных распределений р(г) и с этими распределениями рассчитывают формфакторы е'(йю). далее эти расчетные формфакторы сравнивают с экспериментально измеренным и выбирают тот вариант р(г), который лучше всего воспроизводит экспериментальные данные. Эта процедура схематически представлена на рис. 4.14. Определенные указания при под- р (г) боре модели распределения р(г) можно получить, сравнивая экспериментальные формфакторы с приведенными в табл. 4.8 формфакторами, рассчитанными для некоторых «стандартных» распределений р(г).
Формула (4.79) пригодна для частиц мишени со спином У = О. Это означает, что нет результирующего магнитного поля, создаваемого внутренними токами микрообъекта, и, следовательно, не нужно учитывать взаимодействие магнитного момента налетающего электрона с этим полем. Магнитное взаилюдействие, так же как и кулоновское, может быть упругим и влиять на величину сечения рассеяния электрона намагниченным микрообъектом. Многие микрообъекты обладают спином, отличным от О, и поэтому формула (4.79) для них должна быть обобщена. Это обобщение мы про- Гчава 4. Адроны 204 ведем на примере нуклона, спин которого равен 1/2.
Следует ожидать. что намагниченность также распределена по обьему нуклона и зто распределение описывается соответствую~ням магннтным формфактором. Таким образом, упругое рассеяние электрона нуклоном (и любым другим протяженным микрообьсктом с ненулевым спинам) описывается двумя формфакторами — электрическим (кулоновскнм) и магнитным. Дифференциальное сечение упругого рассеяния электрона на нуклоне в лабораторной системе (нуклон до взаимодействия с электроном покоится) имеет следуюший вид г(ам (Сл("г ) + сСм(Ю ) С2 2 2 11 1 г1й „„~ г2й Е 1, 1+ 2,/' где с = 6)'/(4М'с') и М вЂ” масса нуклона.
Эта формула носит название формулы Розенблтта. Поясним входящие в нее величины, г(ам/дй — моттовское сечение, даваемое формулой (4.66). В сечении в качестве энергии электрона можно, учитывая ультрарелятивистский случай, использовать как его кинетическую, так и полную энергию Е. Множитель Е'/Е учитывает отдачу нуклона, которой при больших энергиях электрона пренебречь нельзя. Св(гэг) и См(Г~г) — электрический и магнитный формфакторы, зависяшие от квадрата переданного нуклону четырех-импульса д' (см.
(4.62)), вместо которого в данном случае, чтобы не иметь дело с отрицательными величинами, используется положительная величина ~": д'=-д'>О (4.82) Заметилг, что (Š— Е') 9 =(Р-Р') = -9 = с' /ЕЕ' „'1 4ЕЕ' т о = 2ш,с — 2 ~ — — 1р) 1р ( совр) — з!п —. а' с' (4.83) С'л(12' = О) =-1, С"л(С' = О) = О, (4.84) Сгм(1;1' = О) = 2,79, См(Я' = 0) = — 1,91. Поскольку дг является лоренц-инвариантной величиной, именно ее используют в физике высоких энергий в качестве переменной, от которой зависит формфактор. Для упругого рассеяния при низких энергиях в системе центра инерции д' = — 9г.
ИзмеРение гэ~-зависимости фоРмфактоРов Св и См дает инфоР- мацию о радиальном распределении заряда в нуклоне и распределении в нем токов (намагничснности). В так называемом статическом пределе, т. е. при 1,гз — О, Сл совпадает с электрическим зарядом мишени в единицах элементарного заряда е, а См — с магнитным моментом мишени в ядерных магнетонах: в 9. Элеки?раи-иу лаииае расселиие и си?руктура адраиа 205 Для независимого определения Сл и бм сечение рассеяния измеряют при фиксированных значениях („??, варьируя при кажлом из этих значений угол рассеяния д. Измеренные сечения делят затем на моттовское.
Для определения формфактороя протона монохроматический пучок высокоэнергичных электронов известной энергии рассеивается на водоролной мишени С помощью магнитных спектрометров определяются импульсы и углы рассеяния этих электронов после взаимодействия с мишенью и дифференциальное сечение процесса ф(ер) при различных переданных энергиях и импульсах. Экспериментальное определение формфактора протона было выполнено с электронами, имевшими энергии от 400 МэВ до 20 ГэВ. Для получения данных о формфакторе нейтрона выполнялись измерения на дейтериевой мишени, и использовалась процедура вычитания: да да да — (еп) = — (еа) — — (ер) + д, дй дй дГ? (4.85) где д — поправка, учитывающая ялерную структуру дейтрона.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
