Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов, Н.П. Юдин - Частицы и атомные ядра (1120562), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Рд (магнетон) = Ув У(й1, (2.62) где уз — безразмерная константа (спиновый гиромагнитный множитель), учитываюшая отклонение собственного (спинового, а значит квантового) магнитного момента от классического (орбитального). В значении ув скрыта информация о структуре частицы. Дираком было показано, что точечная заряженная частица со спином 1/2, массой т и зарядом д (например, электрон) имеет величину собственного магнитного момента Глава 2. Кван!новые свойства частиц Магнитные моменты нуклонов и ядер выражают в ядерных нагие!лонах Ри )ен = — = 3,15 !0 МэВ/Гс, ей и 2трс которые в тр/т, =! 836 раз меньше магнетона Бора 7гв рв = — = 5,79 10 МэВ/Гс.
— 5 (2.65) 2т,с Магнитный дипольный момент ядра имеет орбитальную и спиновую составляющие: Й. = „~ (Уег.в+Узде), (2.66) в=! где сумма по се — это сумлга по А нуклонам, входящим в состав ядра. Гиромагнитные факторы (д-факторы) электрона, позитрона и нуклонов даны в табл. 2.3. тьблвяа 2.3 Гиромагпитные Факторы злектрона/позитроив (в рв) и иуклона (в Ген) г Позитрон ! 2 Протон ' ! 5,586 Нейтрон 0 -3,826 Отличие УРв от 2 и неРавенство нУлю дв говоРит о сложной стРУктУРе нуклона, который, как известно, состоит из кларков.
Направление вектора спина ялра /„ является единственно выделенным направлением в ядре. Среднее по времени значение магнитного момента ядра р„равно его составляющей вдоль вектора Х: 72. = длил, Здесь д„— гиромагнитный фактор ядра. (2.67) 4 12. Атом водорода Используем полученные нами в этой главе результаты для описания атома водорода. Атом водорода — связанная система, состоящая из положительно заряженного ядра — протона — и отрицательного заряженного электрона.
Размеры атома определяются размерами его электронной оболочки. Характерные размеры атомов в 10 " см. Наша задача описать состояния атома водорода. Рассмотрим вначале упрощенный вариант— 7! 8 12. Атом водорода будем считать, что электрон просто заряженная частица, не имеюшая никаких внутренних квантовых чисел, находяшаяся в кулоновском поле массивного протона. В этом случае потенциальная энергия электрона в кулановском поле протона не зависит от направления радиуса-вектора, соединяюшего электрон и протон, т.е. задача сферически-симметричная е' (7(г) = — —.
г (2.68) Возможные значения стационарных состояний электрона получаются при решении уравнения Шредингера с потенциалом (2.68). Связанные состояния электрона определяются соотношением В 13,6 Егг = — 2яйс — = — — ' эВ, хгг (2.69) где ггà — главное квантовое число, определякицее энергии различных состояний электрона в атоме водорода (Ю = 1, 2, 3...),  — постоянная Ридберга (1,0974 1Оз см '). Волновая функция, описывающая стационарные состояния атома водорода, имеет стандартный вид (2.43), причем радиальная волновая функция В„г(г) является решением уравнения (2.45) с потенциалом (2.68).
Состояния атома водорода (как и любой другой сферически симметричной системы) описываются радиальным, орбитальным и магнитным квантовыми числами п, ! и пг. Важно отметить, что между главным квантовым числом Лг, используемым в атомной спектроскопии, и квантовыми числами и и ! сушествует следующая связь: (2.70) Квантовые числа и (или М), ! и гп полностью характеризуют состояние электрона в атоме водорода в рассмотренной нами упрошенной модели. Состояние с М = 1 называется основным состоянием атома водорода, так как в этом состоянии система обладает наименьшей энергией, и пребывает ббльшую часть времени. В атоме водорода энергия основ- нога состояния Е1 — — — !3,6 эВ. Состояния с ЛГ = 2,3,...
называются возбужденными состояниями. Энергия возбугхдения Е а (энергия, которую необходимо сообшить системе, чтобы она перешла из начального состояния йг; в конечное состояние лг7) определяется из соотношения /! 1Х гг! 11 Е,в = 2яйсВ~ — — — ) = !3,61 — — — ) эВ. ~ 11Гг д!г) ' 1 хгг Ег) (2.71) / Все состояния от гх" = 1 до Ф = оо являются связанными состояниями, так как имеют отрицательные энергии. При приближении Л к бесконечности энергии состояний сближаются, и разница в энергиях соседних состояний становится настолько мала, что расшепленные уровни сливаются и дискретный спектр уровней трансформируется в непрерывный (сплошной).
Когда энергия электрона становится положительной (Е > О), Глава 2. Квантовые сво6ства чосвэиц д В„эВ -ВЗВ В -В,ВЗэВ - БЗтэВ -З,ЗЯэВ и и и д - 1З,бэВ Серел СЭВВВыева Рис. 2.12. Орбиты модели атома Бора. Схема уровней атома аодорола Э 12. Атом водорода 73 система преврашается в несвязанную и электрон становится свободным. Спектр энергий свободного электрона непрерывный. Пример. Рассчитать энергию перехода межлу состояниями 1в и 2в. Решение. Воспользовавшись соотношением (2.71) и учитывая, что состоянию 1в соответствует ДГ = 1 и 2в — 2ГГ = 2, получим /1 11 кЗЕ = 13,6 ~ — — — ) эВ =- 10,2 эВ. — 2г) Переходы из состояний Лг = 2, 3,..., оэ в состояние йг = 1 образуют серию Лаймаиа. Переходы из состояния Ж = 3,4,...,со в состояние йГ = 2 — серию Бавьмера.
Переходы между состояниями с отрицательной энергией (Е < 0) приводят к образованию дискретного спектра переходов, в то время как переходы между состояниями с .Е > О и состояниями с Е < 0 дают непрерывный спектр переходов. Важной особенностью любой сферически симметричной системы является совпадение энергий состояний. Это явление носит название вырохсдения. Его характер зависит от конкретного вида потенциала ьГ(г). В любом центральном потенциале энергия не зависит от числа гп. Поскольку гп = О, ж1, ж2, ж3,..., Ы, то для каждого орбитального момента 1 имеется 2!+ 1 значений пз, и все эти значения отвечают одной и той же энергии. Таким образом, число различных (в данном случае по пз) квантовых уровней с совпадаюшей энергией, т.
е. кратность вырождения, также равно 21 + 1. Это минимально возможная кратность вырождения, присушая центральному полю. Обычно возникает дополнительное вырождение, обусловленное определенными комбинациями и и 1. Рассмотрим эту ситуацию для кулоновского потенциала (2.б8). В этом потенциале энергия определяется только главным квантовым числом йГ = и+ 1. Каждому уровню с главным квантовым числом Ж соответствует Лг состояний, различающихся квантовыми числами 1 = О, 1, 2,..., Лг — 1. Такое вырождение характерно только для кулонов- ского поля. Кроме того, каждое из этих вырожденных по ! состояний (2!+ 1)-кратно вырождено по числу пг. Таким образом, полная кратность вырождения стационарного состояния с главным квантовым числом М дается выражением М вЂ” ! (2!+ 1) = М . ь=о Нужно отметить, что в реальных физических системах высокая кратность вырождения почти никогда не встречается, поскольку такие системы подвержены влиянию дополнительных воздействий, либо слегка изменяюших вид центрального потенциала, либо искажающих саму центральную симметрию.
При этом вырожденные уровни за счет этого дополнительного взаимодействия расщепляются по энергии (говорят о снятии вырождения). Так, например, в атоме гелия вырождение снимается уже при учете взаимодействия между двумя электронами. а зак. 39 Глава 2. Квантовые свойства часглиц Зрз, ЗДз,з 3вчз 3 рч, зхт — 3 Зв Зр ЗН 3,4 эВ 2в, 2р,, 2в 2р О,б 10' ' эВ 1 =21 см 13,6 эВ нз 1в Ряс.
2ЛЗ. Схема уровней атома водорода: в — без учета спина электрона и спина ядра, 6 — тонкое расшепленне уровней, учнтываюшее спин электрона, в— саерхтонкое расшегаение уровней, учитываюшее взаимодействие магнитного момента электрона с магнитным моментом ядра. Положения уровней и величины их расшеплений ланы не в масштабе Пример. Опрелелнть величину Г полно~о момента количества движения электрона в состоянии 2р (ДГ = 2, 1 = 1).
Решение. 2р-электрон имеет: ° Орбитальный момент 1 = 1. Величина орбитального момента .О=ф!1+1)Д= 2Д. Уровни энергии электрона в атоме обозначают указанием квантовых чисел ЗУ и 1. При этом вместо числа 1 пишется латинская буква в соответствии с табл. 2,2. Так при АГ == ! имеется одно состояние !в; при М = 2 имеется два состояния 2в и 2р; при 2т' = 3 есть состояния Зв, Зр, Зз1 и т. д. Состояния атома водорода на рис. 2.13 а помечены именно таким образом.
При описании состояний атомного ядра и частиц принято несколько иное спектроскопическое обозначение уровней. А именно, вместо главного квантового числа зУ указывают обычно радиальное квантовое число и. До сих пор мы считали, что спин электрона равен нулю. Учтем теперь, что электрон имеет спин в = 1/2. Полный момент количества движения Х электрона будет определяться векторной суммой орбитального Х и спинового У моментов Х = Х+ о'.
Так как спин электрона а = 1/2. его полный момент количества движения г может быть только полуцелым. 75 Э ! 2. жгло,ч водорода е Спиновый момент в = 1/2. Величина спинового момента ° Полный момент 3' =! + в = ! 1- 1/2 = 3/2 или,! = 1 — в = ! — 1/2 =- 1/2. ° Величина полного момента: 3/3 'х ъ/!3 ! /! 'Х 1/3 Х=Ь вЂ” ~ — -~-!/! = — Ь или 3=Ь вЂ” ! -+!) =--Ь. 21,2 ) 2 21,2 ) 2 Таким образом, при заданном значении орбитального момента 1 в атоме водорода возможно два состояния, различающихся значениями полного момента т' = 1+в = 1+ ! /2 = 3/2 и 3 = 1-в = 1 — 1/2 = 1/2.
Эти два значения различаются взаимными ориентациями орбитального и спинового векторов. Энергии электрона в состояниях 1+ 1/2 и 1 — 1/2 в кулоновском поле протона несколько отличаются, и вырождение по энергии состояний снимается. Это дополнительное взаимодействие носит название спин-орбитального. С учетом снятия вырождения спектр низколежащих состояний атома водорода обогащается (говорят о тонком расщеплении уровней энергий). Вместо двух низших уровней водорода без у!ета спин-орбитального расщепления (основного ! в и первого возбу~кденного 2в2р (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
