Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов, Н.П. Юдин - Частицы и атомные ядра (1120562), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Статистика новые особенности, которые не имеют аналогов в системе классических одинаковых частиц, В микромире частицы одного типа неразличимы, т.е. имеет место принцип тождественности частиц, Перестановка лвух одинаковых частиц не меняет состояния системы. Принцип тождественности можно сформулировать и так: гамильтониан системы частиц инвариантен относительно перестановки всех координат двух любых частиц одного типа. Поэтому должна быть квантовая характеристика (квантовое число) или сохраняющаяся физическая величина, отвечаюшая этому преобразованию. Оператор перестановки Пп и его собственные значения определяются следующим образом: П|з1д(1, 2,...,А) = ф(2, 1,..., А) = еф(1,2,...,А), Ппгд(1, 2,..., А) = е'гд(1, 2, , А) = гд(1, 2, , А) Поэтому е' = 1 и е = т1. При с=+1 П)ф(1, 2,..., А) = ф(1, 2,..., А), т.е.
волновая функция системы частиц симметрична: 1д(2, 1,..., А) = гд(1,2,...,А). При е = — 1 П1 ф(1, 2,..., А) = — гд(1, 2,..., А), т.е. волновая функция системы частиц антисимметрична: гд(2, 1,...,А) = — ф(1,2,...,А). В релятивистской квантовой теории поля строго доказывается, что статистика однозначно определяется спином частицы. Частицы с целым (в том числе с нулевым) спином, называемые батонами, подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна (у-кванты, я-мезоны, гг-частицы и др.).
Для них е = +1. Частицы с полуцелым спином, называемые фермионами. подчиняются статистике Ферми — Дирака (электроны, кварки, нейтрино, протоны, нейтроны, ядра с нечетным числом нуклонов и т.д.). Для них е = -1. Для фермионов имеет место принцип запрета Паули — невозможность в квантовой системе двум тождественным фермионам находиться в одном состоянии. Докажем принцип Паули. Для системы тождественных фермионов гд(2, 1, ..., А) = — у1(1, 2,..., А). Пусть частицы 1 и 2 находятся в одинаковом состоянии.
Тогда чр(2, 1,..., А) и 1д(1, 2,..., А) одна и та же функция и ф = -гд, 21д = О, ф = О, т.е. такого состояния нет. Таким образом, в системах, подчинявшихся статистике Гзава 2. Кяантовые свойства частиц Ферми — дирака и описываемых антисимметричными волновыми функциями, не должно существовать двух тожлественных частиц с полностью совпадающими характеристиками. Следующее пояснение показывает различие между тремя статистиками — классической, фермиевской и бозсвской — в простейшем случае, когда имеются две одинаковых частицы и два различных одночастичных состояния.
Число возможных состояний такой физической системы будет разным для разных статистик. В классической статистике возиожны чего ыре состоянию а) обе частицы в первом состоянии; б) обе частицы во втором состоянии; в) первая частица в первом состоянии, вторая — во втором; г) первая частица во втором состоянии, вторая — в первом.
З статистике Ферми возможно только одно состояние: одна из частиц (какая именно, злссь и ниже — вопрос, не имеющий смысла) находится в первом состоянии, другая — во втором. В статистике Бозе — Эйнштейна возможны три состояния: а) обе частицы в первом состоянии; б) обе частицы во втором состоянии; в) одна из частиц в первом состоянии, другая — во втором. ф 15.
Система двух тождественных частиц со сонном 1/2 Рассмотрим систему из двух тождественных частиц, которым присвоены номера 1 и 2. Эти номера отражают всю совокупность внутренних и пространственных координат каждой частицы. Волновую функцию Ф(1, 2) этой системы можно прелставить в виде произведения пространственной Ягн гз) ==' зй(1, 2) и внутренней Ф(1, 2) частей: Ф(1, 2) = зй(1, 2) Ф(1, 2).
Функция Ф(1, 2) опредеяяется такими внутренними квантовыми числами частиц, как спин, изоспин, цвет и др. Из всего набора внутренних характеристик частиц рассмотрим лишь спиновые состояния частиц. Тогда Ф(1,2) — спиновая волновая функция системы частиц. Волновая функция системы тождественных частиц должна обладать правильной симметрией к перестановке частиц — быть симметричной лля бозонов и антисимметричной для фермнонов. Требование симметрии относится к функции Ф(1, 2) при перестановке всех координат.
Отсюда, в частности, для тождественных фермионов следует обобщенный принцип Паули, который свалится к утверждению, что, если спиновая функция симметрична к перестановке частиц, то пространственная антисимметрична, и наоборот. в 15. Систеча двух тонсдественнмх частиц со свином 1/2 83 Рассмотрим симметрию системы двух частиц со спином !/2. В зависимости от ориентации спинов отдельных частиц имеем четыре возможные проекции частиц ! и 2 на ось а: (2.90) З десь стрелка ! обозначает частицу со спинам, направленным «вверх» (т.е. имеюшим проекцию в, на ось а, равную+!/2), а е — частицу со спинам, направленным «вниз» (т.е.
с проекцией — 1/2 на ось «) и эти стрелки приводятся в порядке нумерации частиц. Эти стрелки фактически отвечают двум спиновым арне«нациям (+1/2 и — 1/2), Первые два варианта в (2.90) — это состояния с суммарным спином Я = в~ + вг = ! (спины параллельны) и проекциями этого спина на ось а соответственно Я, = в,(! ) + в,(2) = +1 и — 1, т.е. это состояния !Я, Я,) = (2.9!) $1,+1) = )), Фььг = уцг,»цг(!) рг!г.н-и!г(2), !1, — 1) = ««, Ф~ г = нгмг, мг(!) угу~г.-мг(2) Злесь уг» .. (1 или 2) — спиновая функция частицы ! или 2 и испольювано то, что спиновая функция системы двух частиц Ф(1,2) может быть представлена в виде произведения спиновых функций этих частиц. Два правых варианта в (2.90) отвечают Я, = О. Такое значение о, может быть как у состояния с суммарным спинам Я = 0 (спины анти- параллельны), так и суммарным спинам ! (спины параллельны).
Соответствуюшие состояния !Я, о',) = !О, 0) н !1, О). Состояние !1, 0) — это состояние с параллельными спинами. Оно не изменяется при перестановке частиц, т, е, симметрично к этой перестановке, н имеет вид !1,0) = — ())+))) = Фго —— ! х/2 1 = — ~уг!1г.ьцг(!) ° 1гцг г!г(2) + уцг ггг(1) !оцг.»цг(2)]. (2.92) г/2 Состояние 1О, 0) должно быть ортогонально состоянию ! 1, 0). Можно установить проверкой, что требованию ортогональности по отношению к состоянию (2.92) удовлетворяет следуюшая суперпозиция состояний т) 10, 0) = — ()) — ()) = Фоо = 1 Л 1 = — (йгцг,+цг(!) нгг1г; цг(2) — рцг,-цг(1) ' !оцг.+цг(2)] (2 9З) г/2 Видно, что это состояние антисимметрично к перестановке частиц (меняет знак при этой перестановке).
Итак, окончательно имеем для триплетного (3 = 1) и синглетного (Я = 0) по спину состояний: Глава 2. Квантовые своиства частиц триллетное состояние синглвтное состояние 11,+1) = тт, )),о) =- — (те+11), )о,о) = — ((4 — )1). 1 1 ь)2 ъ' 2 (1,-1) =)), (2.94) Рис, 2.14 показывает ориентацию спинов отдельных частиц и суммарного спина в рассмотренных случаях. 1 1Г ' 2 ь х (нлн у) 1 а а 1 2 х (у) х (у) х (у) 1 2 11,-1) 11,0) 10,0) Рнс. 2.14.
Возможные ориентации спннов 1/2 двух частиц 11,1) ф 16. Изоспин Первоначальным толчком к идее изоспиновой инвариантности послужило сравнение поведения нейтронов и протонов в ядре и ядерных столкновениях. Протон и нейтрон имеют почти одинаковые массы и одинаковые спины. Но протон сушественно отличается от нейтрона тем, что он электрически заряжен. Поэтому с точки зрения агломной физики, в которой электрические силы — главные, различие между протоном и нейтроном колоссальное.
Добавление лишнего протона к ядру увеличивает атомный номер на единицу, т. е. фундаментальным образом изменяет химические свойства соответствуюшего атома. ))обалдение же нового нейтрона преврашает атом в другой изотоп того же элемента, обладаюший практически теми же химическими свойствами. Посмотрим теперь, сколь сильно различаются протон и нейтрон вядерной физике. В ялрах, по крайней море легких, электрические силы не являются главными, уступая первенство короткодействуюшим, но гораздо более интенсивным ядерным силам. И вот оказывается, что по отношению к ядерным силам протон и нейтрон ведут себя совершенно одинаково. Кроме того, у них совпадают такие квантовые числа, как спин (1/2), четность (положительная), барионный заряд (+1). Различие в их массах незначительно — всего около 0,1%.
То обстоятельство, что протон и нейтрон имеют практически одну и ту же массу и по отношению к сильнол(у взаимодействию ведут себя в1б. Лзоспин дет ось 3 (аналог оси з). Условились считать, что Я)з — — +1/2, (1з)„= — 1/2. Итак, мы видим, что с формальной точки зрения все действительно обстоит так же, как и с обычным спинам. Йва состояния частицы с обычным олином 1/2, различающиеся проекциями на ось г (+1/2 или — 1/2), рассматривают не как две разные частицы, а как два состояния одной частицы. Аналогично протон и нейтрон можно считать не двумя разными частицами, а двумя зарядовыми состояниями одной частицы— Ряс.2.15.
Векторы состояний протона и нейтрона визопространстве одинаково, свидетельствует о существовании глубокой симметрии сильного взаимодействия, которую называют изотопической или изоспиновой. Адекватным способом ее отражения является утверждение, что протон и нейтрон являются разными состояниями одной и той же частицы— нукяонп, которая может находиться в двух зарядовых состояниях. Для описания этой симметрии удобно приписать протону и нейтрону новое квантовое число 1 = 1/2, которое называется изоспином. По своим формальным свойствам изоспин полностью аналогичен обычному моменту количества движения, в частности пространственному спину.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
