Б.С. Ишханов, И.М. Капитонов, Н.П. Юдин - Частицы и атомные ядра (1120562), страница 14
Текст из файла (страница 14)
2.!За)) с учетом этого расщепления их становится четыре (рис. 2.13 б). Квантовые характеристики этих уровней даны в табл. 2.4. Таблияа 2.4 Квантовые характеристики электрона в самых нижних состояниях атома водорода (2.72) Из точного решения релятивистского уравнения Дирака для электрона со спином в = ! /2 получается следующая зависимость энергии уровней атома водорода от квантовых чисел Ьг и 3' где а = 1/137 — постоянная тонкой структуры. Поправка в Ен, не зависит от квантового числа 1.
Поэтому энергии состояний с одинаковыми 3 5 Глава 2, Квангповые свойсшва чапнин 7б и разными 1 должны быть равны. Величина тонкого расщепления уровней при данном /У: се! ! 72 !О аз!3 бЕ/ьь/ = 2яугсн /Уз (3'+ 1/2)(3 + 3/2) Р/з(7'+ 1/2)О + 3/2) ' Величина расщепления уровня с /ЗГ = 2 составляет ш 4,5 1О ! эВ. Учтем теперь, что ядро атома водорода — протон — также имеет собственный момент — спин в = 1/2.
Это тоже слегка меняет взаимодействие электрона с протоном, так как возникает дополнительное взаимолействие магнитного момента протона, вызванного наличием у него спина, с магнитным полем электрона. Величина этого взаимодействия зависит от взаимной ориентации спинового момента протона и полного момента электрона. Таким образолг, возникает еше один тип расщепления уровней атома, называемою сверкглонкин, так как его величина существенно меньше тонкого расщепления, Сверхтонкое расщепление будет наблюдаться уже для основного состояния (!3г = 1, 1 = 0).
Переход межлу двумя подуровнями сверхтонкого расщепления основного состояния волорода приволит к излучению с длиной волны Л = 21 см (частота излучения 1420 МГц). С помощью этого излучения обычяо регистрируется ме>кзвездный водород во Вселенной. Пример. Рассчитать величины тонкого расщепления уровней Зрим Зрчг. Решение. Величину тонкого расщепления уровней ЬЕ получим из соотношения: а' 1 ЗУг (3 + 1/2)(3 + 3/2) /Зля уровней Зрц„Зрцг ДГ = 3, 3' = 1/2, гхЕ = 1,3. 10 ' эВ. В заключение этого параграфа упомянем еше один вид расщепления уровней атома водорода, который сыграл историческую роль а становлении квантовой электролинамики, а именно, расщепление уровней 2в!/зи 2рцз, называемое лэмбовским сдвигом.
Лэмбовский сдвиг уровней 2аг/з и 2р!/! около 4 10 ь эВ. Это расщепление (сдвиг), впервые наблюдавшееся У..Пэмбом в 1947 г., обусловлено взаимолействием электрона с вакуумом и доказывает, что электрон не является голым, а окружен облаком виртуальных фотонов и е е+-пар (гл.3, 46). ф 13. Пространственнан четность Все свойства системы частиц определяются видом гамильтониана Й и ее волновой функции г/г(г), которая является решением соответствующего уравнения Шредингера. Для краткости ниже в соотношениях (2.73)-(2.78) под г будем понимать совокупность координат всех А частиц, вхоляших в состав системы, т. е.
Р = Рн гз,..., гл. 77 в' 13. Пространственная четность Инвариантность гамильтониана системы Й относительно пространственной инверсии (замены р - -р) означает, что если решением уравнения Шредингера является волновая функция ьр(г), то его решением будет и волновая функция гр(г) = ьр( — г), (2.73) получаемая из исходной заменой Р— -г. Это обстоятельство приводит к тому, что волновая функция ь(г(г) будет эволюционировать со временем точно так же, как и волновая функция у5(г). Отсюда следует, что если имеется некоторая экспериментальная установка, с помощью которой производится идентификация определенного процесса, то точно такие же результаты будут получены на установке, отличающейся от этой пространственной инверсией.
Это утверждение носит название закона сохранения четности. Волновые функции ф н ьР', вообще говоря, могут существенно отличаться. Можно, однако, их выбрать таким образом, что они с точностью до знакового множителя будут совпадать: (2.74) Это соотношение можно записать в виде равенства (2.75) где р = ~1 есть квантовое число пространственная четностьь которое ниже будем называть просто четностью. Квантовое число четность можно также получить, решая уравнение на собственные значения оператора пространственной инверсии. Определим оператор пространственной инверсии Р (оператор четности) для системы частиц следующим образом: Рьг(г) = ьр( — г). Подействуем на левую и правую части этого равенства еше раз операто- ром Р: Р ф(г) = РьР( — г) = ьР(г), (2.76) т: е.
Р' — оператор тождественного преобразования. С другой стороны, оператор Р, волновая функция гр(г) и квантовое число четности р в силу инвариантности системы к пространственному отражению должны быть связаны уравнением на собственные значения (2.77) Рьр(г) = рьр(г). Из (2.76) и (2.77) следует, что Р~ф(г) = р ф(г) = ьд(г), 78 Глава 2. Квантовые свойство частиц Итак, получаем те же две возможности Ргд(т) = Ф( — г) = ~ Г Ф(г), р=+1, — Ф(г), р = — ! (2.78) или Ф( — В) = Ф(г) — четные функции (состояния), Ф( — г) = -Ф(г) — нечетные функции (состояния), В нашем рассмотрении волновая функция Ф(г) была волновой функцией системы точечных (бесструктурных) частиц.
В общем случае волновая функция отдельной частицы имеет вид Ф =- у Ф(г), (2.79) гле у описывает внутреннее состояние частицы, а тг(г) — перемещение частицы в пространстве как целого. Вид волновой функции Ф в форме (2,79) следует из того, что гамильтониан частицы можно представить как сумму гамильтонианов Йв + Йг, где Йв описывает частицу как точку (без структуры), а Йв — внутреннюю структуру частицы. Оператор четности лействует на кажлый множитель в Ф =- уг. Ф(г): РФ = Рго РФ(г), (2.80) причем, если Йв инвариантен к инверсии в пространстве внутренних координат, то Ру(9) = яу(9), (2.8 !) гле д — внутренние координаты, а я — внутренняя четности частицы (оператор Р в последнем соотношении совершает инверсию в пространстве внутренних коорлинат частицы, от которых лишь и зависит Ф), Волновая Функция Ф(г) орбитального движения частицы в центральном поле, т.е.
движения с определенным 2, может быть представлена в сферических координатах в виде Ф(г) = Я!(г) Ъ)т(Р, чг). (2.82) Инверсия  — -г соответствует в сферических координатах преобразо- ванию (полярный угол), (азимугальный угол), у)т(я — о, чг+ я) = (-1) Х (в, чо). (2.83) при котором ралиальная часть волновой функции Лы(г) не меняется, а Ъьв(Р, уг) — собственная Функция оператора орбитального момента ко- личества движения (сферическая Функция) — преобразуется следующим образом: 79 8 13. Пространстяенная четность Итак, имеем РФ = я (-1)'Ф.
(2.84) Величина (-1)' называется орбитальной четностью. Волновую функцию системы А независимых частиц можно представить в виде произведения волновых функций отдельных частиц (точнее, в виде линейной комбинации этих произведений); 1й(1,2,...,А) = Ф! Ф ... ° Фл, (2.85) гле Ф, = !р!1й(г!), Ф, = !р,гй(гз), ..., Ф„! = !рагид!(гл). Откуда, если речь идет о движении частиц в центральном поле, Р!Р(1,2,..., А) = х!я!... а ь( — 1)" . (-1)' ... ( — 1)" !7!(1,2,..., А), т.е. полная четность такой системы Р = я!яз згл ' (-1) (2.8б) Для двух частиц Р!3 = я!яз(-1) = зг!згз( 1) (2.87) где Х = 1! + Ь вЂ” орбитальный момент относительного движения частиц в системе их центра инерции. Формулы (2.86), (2.87) можно применять к реакциям с частицами, когда частицы до и после столкновения люжно считать невзаимодействуюшими, а также к ялру как системе нуклонов, рассматривая их как независимые частицы в обшем ядерном потенциаче.
Отметим, что ядерный гамильтониан обладает инвариантностью к пространственной инверсии. Действительно, роз й=~ р" +~ ру„— ~). 2т« «=! " р<« (2.88) Здесь =г з1с о р =-Ь вЂ” + — +— ~л з ля! Вз) и У(1г -грΠ— потенциал взаимодействиЯ нУклонов а и !3. Это означает, что система (ядро) не меняет своих свойств при р -ь -г и ядерные состояния можно характеризовать определенной четкостью, которая в ядерных взаимодействиях сохраняется. Электромагнитные процессы также инвариантны к пространственной инверсии и четность в них сохраняется.
Это следует из того, что уравнения Максвелла не меняются при преобразовании г- -г. В то же время гамильтониан слабого взаимодействия не обладает такой инвариантно- стью. Это означает, что в слабых взаимодействиях четность не сохраняется во Слава 2. Квантовые свойства частиц и системы, в которых слабые силы играют большую роль, нельзя характеризовать определенной четностью. Имеют смысл лишь относительные внутренние четности. Для протона, состоящего из трех кварков с положительной внутренней четностью и нулевыми относительными орбитальными моментами, естественно получаем внутреннюю четность яр —— +1. Нейтроны имеют ту же внутреннюю четность +1.
Внутренние четности ааронов определяют, исходя из их кваркового состава и орбитального момента кварков в составе адрона. Дчя фотона ят = — 1. Зто следствие того, что электромагнитное поле векторное. Оно описывается векторным потенциалом А, который эквивалентен волновой функции фотона, а для векторной функции РА(г) = — А(-г), (2.89) что позволяет приписать фотону яз = — 1. Поясним ситуацию с четностью векторов. Соотношение (2.75) справедливо лля скалярных функций 91(г). При действии же оператора Р на векторную функцию А(г) следует изменить не только знаки радиусов- векторов частиц (г — -В), но также и знаки всех трех компонент вектора А (А, -ь -А„ А„ -» — А„, А, — — Ае), что происходит при изменении направления всех координатных осей на противоположные. Поэтому для любого истинного (полярного) вектора имеет место соотношение (2.39).
Внутренние четности у частиц и античастиц с полуцелым спинам (фермионов) противоположны, с целым спинам (бозонов) — одинаковы. Внутренние четности частиц получают из распадов н реакций с участием частиц с известной внугренней четностью на основе закона сохранения полной четности. 1ьак отмечалось выше.
он имеел место в сильных (ядерных) н электромагнитных взаимодействиях и нарушается в слабых. Для частиц и ядер четность Р обычно указывают в качестве верхнего знакового инлекса спина, в дальнейшем обозначаемого буквой Х например, )в = О+, 3/2 н т,д. Пример. Определить аиугреииюю четиость я-мезона. Реамняе. Так как в-мезои зто система кварк — аитикаарк а состоянии 1 = О, получаем Р = (+1)(-1)(-1) =.
— 1. Итак, внутренняя четиость х-мезоиа отрицательна. $14. Статистика Микрочастицы обладают своеобразной характеристикой, называемой статистикой. Статистика является проявлением коллективных свойств системы частиц. Существование статистики является следствием принципа неразличимости одинаковых микрочастиц и вероятностного характера описания состояний в квантовой теории. Рассмотрим волновую функцию системы частиц одного сорта, например, системы электронов илн протонов. В таких системах проявляются в 14.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
