А.Н. Матвеев - Оптика (1120557), страница 77
Текст из файла (страница 77)
При переходе атома с уровня Е, на Ео излучается квант с энергией Е~ — Ео = = Аоз. Обозначим эти уровни индексами 0 и ! (рис. 273) и назовем соответственно нижним и верхним уровнем. Динамическое равновесие осуществляется посредством постоянного обмена квантами между полем излучения и материальнымн телами, в результате которого происходят переходы атомов между уровнями энергии и изменяется число квантов в поле излучения. Согласую принципу детального равновесия, обмен квантами должен уравновешиваться для каждой частоты в отдельности (точней для каждой моды угзугучення) Поэтому Е, О 272 даувуровиевав сметам» атомов О Свюан ли расчет ионцентрацин ноя колебанмй с конкретизацией граничным успений! Сформулируйте условна прн которы» палучаютсм формулы Рэлем — Дыинса н Вима.
Длн какой юкапы спектральной плотности энергии сфоР- нулираеон гаком онемение вм г рассмотрим лишь одну частоту. Для других частот все рассуждения аналогичны, меняются лишь уровни атомов, переходы между которыми осуществлшат динамическое равновесие. Споитаилые и вынужденные переходы. С нижнего уровня на верхний по закону сохранения энергии переходы возможны только с поглощением кванта энергии, т. е. под влиянием излучения, падающего на атом. Такие перехалы называются вынужденными.
Переходы с верхнего уровня на нижний могут быть как вынужденными, пад влиянием падающего иа атом излучения, твк н спонтанными, или самопроизвольными, происходящими независимо от палающего иа атом излучения. [о) [! Обозначим чю частоту переходов атомов с верхнего уровня на нижний спонтанно, ою— вынужденно и ои — с нижнего уровня иа верхнни вынул[денно.
Условие динамического равно[) весна записывается в виде ою +чю =оо1. (50.32) Коэффицаен[ы Эйшптейна. В 1917 г. А. Эйнштейн (1879 — 195э) предложил элементарную квантовую картину динамического равновесии межву излучением и материальной средой, приводяцбю к правильной формуле излучения абсолютно черного тела. Обозначим Аю вероятность спонтанного перехода 1- 0 в секунду, Х, — концентрацию атомов на верхнем уровне. По определению этих вели пв можно записать (50.33) Частота вынужденных переходов, очевидно, пропорциональна плотности излучения. Обозначим Вю и В„вероятности вынужденных переходов 1 — 0 и 0 1 в секуцпу, отнесенные к спектральной плотности излучения и„; Ио концентрацию атомов на нижнем уровне.
По определению этих величин можно записать оо[ = ![[ож Во[ о, = [[[1[о„В, Ц[ (50.34) С учетом (50. 33) и (%.34) соотношение (50.32) принимает внл )[[141о +1[[~[о В|о )[[о'"оВо~ ° (50.35) В равновесном состоянии справедливо распрелеленне Больцмана, которое для концентраций атомов принимает вид [[[, =Ае' [" 1, )[[ =Ае (%.36) (50.38) В1о Во1 . Поэтому соотношение (50.37) может быть записано в вилл Аю ! жо— Вю ея [[[г] 1 (50.39) где Ьо=Š— Ео.
Теоретически значение отношения А1о/В1о в рамках элементарной квантовой теории найдено быть не может. Оно вычисляется в рамках строгой квантовой теории излучения. Однако значение этого отношения можно найти, если учесть, что (50.39) прн малых частотах должно совпадать с формулой Рэлея — Джинса (50.15), а прн больших частотах — с формулой Вина (50.19).
где А — нормировочная постоянная. Подставляя (50.3б) в (50.3з! и сокращая полученное выражение на общий множитель А, находим -е,/Ьг[ В -е,[цг[, В -е [(ьг[ (50.37) Величины А „, В,, Вм называют коэффициентами Эйнштейна. Из физических соображений ясно, что при Т- са лалжна быть и — аь Тогда, разделив обе части (50.37) на ю„, получим Сравнивая (50.40) с (50.1з/, находим А за/Вз о = йыз/(лзгз) (Ю.41) Формула (50.39) принимает вид Г, з изгз еп Лег\ 1' (50.42) совпадающий с формулой Планка (50.20).
Хотя элементарная квантовая теория излучения абсолютно черного тела не позволяет теоретически вычислить значения коэффициентов Эйнштейна, она демонстрирует необходимость сушеспювания спонтанных и вынужденных переходов, причем для вероятностей вынужденных переходов соблюдается важное соотношение (50.38). Иглууценные в результате спонтанных переходов кванты имеют случайное направление распространения, случайную поляризацию и случайную фазу. Кванты, испущенные в результате вынужденных переходов, коррелируют по своим свойствам с излучением, которое вызывает переход.
Вынужденное излучение обладает той же поляризацией, тем же направлением распространения и той же фазой, что и вынуждающее переход излучение. Это свойство вынужденного (или индуцированного) излучения чрезвычайно важно для его применений и проявлений. ! я 51 Оптические усилители Оосуллаюзсп услоаип усилепи» састоаого потока при прохождении через срелу. Прохои ение све че ср ПРи пРохожлении света чеРез сРедУ оСУществлЯетсЯ обмен квантаьоз между пучком света и атомами среды посредством вынужденных переходов и спонтанное зюпускание кванжзв. Обозначим частоту излучения, концентрации атомов на верхнем и нижнем уровнях соответственно сх 1у'и зчо (см, рис, 273).
Спектральную объемную плотность излучения частоты го обозначим и„. Она изменяется в результате вынужденного по~лощения квантов атомами среды, благодаря чему плотность потока уменьшается, и вследствие вынужденного излучения атомов, приводящего к увеличению плотности и „. Закон сохранения энерпги при вынужденных переходах на основания (50.34) записывается в виде г( иа/бг = йзгоюи ВзоМ~ — йгои„Воз)чо = йыи',„В(/з/з — )чо), (51. 1) где В = Вз о = Вм.
С помощью обозначения а = йгоВ(/ч'з — Мо)/г (51.2) уравнение (51.1) может быть записано в виде с( и„/бг = пои„, (5!.3) где о — скоросп, света с частотой го в среде. Это уравнение может быть переписано в виде ЙЯ/г(г = аоЯ, (51.4) где (51.5) Ю= оиъ — плотность потока энергии. Считая, что свет распространяется в направлении оси У, можем написать При бы~/сТ можем считать, что ехр(йго/(/сТ)) 1+йго/(/гу), и записать (5039) в виде 309 Л зо (50.40) вк1 Взо Ясо (51.6) и имеет решение Е(х) = Еое'-, (51.8) где Юо =Е(0).
Заков Бургера. Экспоненцнальная зависимость (5!.8) плотности потока от расстояния называется законом Бургера. В состоянии термодинамического равновесия концентрации атомов описываются распрелеленнем Больпмана. Из неравенства Е~ > Ее следует № < Мо н поэтому а < О. Это означает, что плотность потока по мере прохождения света в среде уменьшается. Механизм уменьшения плотности состоит в следующем. В результате вынужденных переходов атомов с нижнего энергетического уровня на верхний плотность энергии потока уменьшается. При переходе атомов с верхнего уровня на нижний лишь часп квантов возвращается в поток, а именно кванты, нспушенные в результате вынужденных переходов.
Кванты, испущенные спонтанно, в поток не возвращаются, что и является причиной уменьшения его плотности. условия усилешш. Если привести систему атомов в неравновесное состояняе и тем самым достаточно сильно нарушить распределение Больцмана, то можно'добиться изменения концентрации атомов на различных уровнях так, чтобы было № )те или даже № >)че.
В первом случае а 0 и пучок через среду распространялся бы без поглощенна, а во втором случае а > 0 и пучок при прохождении усиливался бы, т. е. срела действовала бы как усилитель светового потока. Это позволяет создавать генераторы и усилители волн, основанные на индуцированном излучении, которые для светоного диапазона называются лазерами, а для микроволнового— мазерами. За фундаментальные исследования в области квантовой электроники, которые привели к созданию генераторов и усилителей нового типа — мазеров и лазеров, советским ученым А. М.
Прохорову (р. 1916 г.) и Н. Г. Басову (р. 1922 г.) и американскому ученому Ч. Х. Таулсу (р. 1915 г.) в 1964 г. была присуждена Нобелевская премия. Идея о возможности использования индуцированного излучения для усиления светового потока была высказана в 1940 г. советским физиком В. А. Фабрикантом (р. 1907 г.). Воздействие светового потока иа заселенность уровней. Световой пучок, вызывая вынужденные переходы атомов между уровнями, изменяет их заселенность. Обозначим )ч' полную концентрацию атомов. По определению, й! = № + )уо.
(51.9) Изменение заселенности верхнего уровня происходит за счет вынужденных и спонтанных переходов и может быть описано уравнением д№/г1г = — и„В(№ — !Уо) — №/т, (51.10) где №/т учитывает частоту спонтанных переходов. Подстанляя в (51.10) выражение для 1те из (51.9), получим (51.11) 4№/г(г = — БВ(2№ — /9)/с — №/т, где и „= Е/в. При достижении стационарного состояния должно соблюдаться условие 6№/бг =О, (51.!2) которое с учетом (51.11) принимает.'вйд — ЕВ(2№ — )т)/е — М,/т =О, (51.1 3) ЗШ 48 45 дг 48 — — — е Гс бг 4! 4г где бя/г!г = е — скорость распространения света в среде. Ясно, что здесь речь идет о групповой скорости, с которой распространяется энергия. С учетом (51.6) уравнение (51.4) принимает вид 48/г!х = аЕ (51.7) 31! (51.!4) 451 откуда следует р! ! М» =— 2 1 + с/(2тВЯ Из (51.14) видно, что с увеличением плотности потока 5 заселенность верхнего уровня увеличивается.
Это приводит к соответствующему изменению коэффициента. а = Ло»В(!ч'» — Хо)/ »» = Ло»В(27»/» — )т)/п = 274 Зввнснмость иеквзвтелю аслвбле- нвв ет илотпосзв потока звертив в световом кучке Л»пй»В (51.15) л 1 +2тВЛ/и Условия насьпцеиия.
График зависимости и от Е показан ра рис.,274. Видно, что при любых Е происходит поглощение. При Е - со ово полностью прекращается и наступает насыщение. Поскольку а стоит в экспоненте, принимается, что насыщение практически наступает при изменении и в два раза по сравнению с его минимальным значением, т. е. при увеличении знаменателя (51.15) в два раза. Поэтому условие насьпцения записывается в вцпе Е, (! Т, /у» /уа (51.16) к/(2тЖ) = 1, и, следовательно, насьпцение наступает при плотности потока энергии Ез Е, Е = о/(2тВ), (51.! 7) Таким образом, световой поток выравнивает заселенность двух уровней, между которыми он обусловливает вынужденные переходы, а при достаточно большой плотности потока может даже почти сравнять их заселенность, но он не может создать инверсную заселенность между этими уровнями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
