А.Н. Матвеев - Оптика (1120557), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Эта мопвюсть излучения испускается с площади г(п светящейся поверхности, причем о(о' = о(о соз 0 (см. рис. 24), Отсюда для спектральной плотности энергетической светнмости получаем 4Р„сии М = — = ( — СОО Одьо = —" ( О(д ( Спвбяц 0О(6 = — и:„ пе „4я 4л о о 4 как это и предусмотрено в (50 Я Формула (50.5) выражает второй закон Кирхгофа. Зная уш,вор. салан)то функцию ии (2), можно по поглощательной способности определить энергетическую светимосгь. Абсолютно чероюе тело. Абсолютно черным называегси тело, которое полностью поглощает все падающее на него излучение, т.
е. у которого А„= ( для абсолютно черного тела (50.5) принимает вид (%.6) т. е. задача нахождения иь(2) сводится к определению закона излучения абсолютно черного тела. Реализовать абсолютно черное тело можно в виде полости с небольшим отверстием (рис. 269). Лучи, попадающие через отверстие внутрь полости, в результате многократных отражений с поглощением на внутренивх стенках оболочки полости практически полностью поглошдются и не выходят через отверстие нарухгу. Это обстоятельство проявляется наглядно, например, при взгляде на открытые окна в доме, которые в светлый дель кажутся темными Излучение, исходжцее из отверспш в оболочке полости, с достаточно большой точностью может рассматриваться квк излучение абсолютно черного тела Его излучение позволяет найти Мо и с помощью (50.б) вычислить тбо (Т).
Классическая физика оказалась не в состоянии объяснить теоретически вид функции къ(Т), измеренной экспериментально. Предельные случаи и (Т) при достаточно малых н достаточно больших частотах были теоретически обоснованы формулами Рэлея — Джинса и Вина. Общая формула квк интерполяцнонная формула для предельных случаев была найдена Планком. Она положила начало развитию квантовой теории. Концеитрацив мод колебашиь Будем считать, что полость имеет форму куба с ребром Х. (рис 270).
Стоячая волна может образоваться лишь в том случае, если бегущая волна после отражения от двух противоположных граней куба и прохоьдения пути 21. возвращается в исходную точку с фазой, отличающейся от первоначальных на 2ял, где л — целое. Не ограничивая общности, можно считать, что двукратное отражение от граней либо не вносит в фазу волны каких-либо изменений, либо изменяет фазу на 2к. Поэтому условие образования стоячих волн в каждом из измерений куба имеет вид й' 2А =2ял 2бо Реализовав абсолмтво чсвио1"о те- ла 2УВ К Расчету числа стеичах волн в кубическая волости (50.7) 1сд/. = кл„, /су/, = яит, /ст/. = ялт, (50.0) Расчет удобно вести в сферических координатах, считая, что по осям декартовой системы координат отложены /с, /с„ /ст (рис. 271).
Поскольку числа к„, кт, /с, положительны, в сферических координатах (50.9) принимает вцл б)У = (У,/я)т(1/й) бя/сто)/с. Учитывая, что /с= от/с, находим концентрацию стоячих волн: 271 Рмчет числа стоачих вола в сфс- Рическоа системе коовлвват аз 1 вт — = — — дст. 2 ,тт,з Поскольку электромагнитная волна обладает двумя возможными поляризациями, то полная концентрация стоячих волн в два раза больше (50.11) и равна где и„ и„, ис — целые числа. Число волн д/с/, волновые числа которых заключены между (/сс, /ь+б/с„), (/с„ /се+с)/ст), (/ст, /ст +сУст), равно числу целых чисел, закпоченных в интервале (л„, л„.Н$л,), (л, лт+с)лт), (лт, ит + +блт), поэтому д/с/ = дтьдл,с1ит = (Б/я) с)/с с(/стб/ст быз з — "'" = — ды.
Гэ,з 2 (50.12) збб 830 Каждая из стоячих волн называется людой колебаний, а число мод (50.12) равно числу степенен своболы системы. Если < е > является средней энергиИ, приходящейся на одну степень свобо- лы, то плотность энергии стоячих волн равна пи(7) = 4'Увез <е> = — <е >. гз' 62 к2СЗ (50.13) Таким образом, нахождение но(7) свелось к определению средней энергии моды колебаний. Формула Рэлея — Джинса. По теореме о равнораспределении энергии на одну степень свободы в классической статистической системе приходится энергия /гТ/2.
У гармонического осциллятора средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной, и поэтому его средняя энергия равна /гт. Это энергия, приходящався на одну моду колебаний. В (50.13) положим <а> =/гт, (50.14) в результате получим иъ(7) = ы2/гт/(я2сз) (50.15) Равенство (50.122 называется формулой Рзлея Д2кипса Этв формула была предложена Д. У. Рэлеем (1842 — 1911) в !900 г. и несколько более подробно обоснована Д Д. Джинсом (1877 — 1946). Она дает достаточно хорошее согласие с экспериментом при малых оз. При больших ы спектральная плотность (50.15) значителъно превосходит наблюдаемую, а при ы — ш получается недопустимое соотношение ж„— со. Кроме того, полная объемная плотносп, из- лучения (50.16) (50.17) Отсюда для средней энергии, приходящейся на моды с частотой а2, находим < а > = е (оз) АИ//т' = е (ы) е "Л" г2 .
(50.18) Из общих термодинамических соображений Вин заключил, что энергия моды частотой ы пропорциональна частоте, т. е. 2(ы) = йгв. Коэффициент пропорциональности здесь дан в современных обозначениях в виде постоянной Планка, которая в то время не была известна. Фор- Ф Направление распространенив, поллрнзапне и фаза палны вынужденном нзлучвмпн совпадают с соответствующими каракте. рмстнканн волны вынуждающего излученнл. Попаженне наисинуно спектральной плотнасти нзпученнз абсолютно черного тела зовнсмт ат щкапы, дл» которой опрвдвпветсв спвктральнак Плотность мзлученнн.
Моксннун спектральной плотности мзлученив по щкапе частот прнходнтсз на более дпннныв волны, чен по щкале длин волн. что также недопустимо Расходимость плотности энергии излучения (50.16) называется ультрафиолетовой катастрофой. Формула Вина В. Вин (! 864 — 1928) предположил, что каждая мода колебаний является носителем энергии е(ы), но не все моды данной частоты возбуждены. Относительное число 61т/1т' возбужденных мод дается распределением Больцмана; — мг! (50.20) где « =1 05'1О з» Дж с — постоянная Планка При «го ч /гТ(% 20) переходит в (% 15), а при «ы з ЙТ вЂ” в (50.19).
Формула (50.20) полностью описывает излучение абсолютно черного тела и дает согласие с экспериментоы. Закан Стефана — Больцмавж Полная объемная плотность излучения равна О ' !47Ф ж гз44 л*сз«з» ее — 1 (50.21) Учитывая, что (50.22) запишем (50.21) в ниле в=ау», а= =7,56!О'»Дж.м" К» яз«а 15г'«з (50.23) Обычно вместо объемной плотности излучения используется понятие энергетической свети- мости, которая на осноие (50.6) связана с величиной и соотношением М= св/4. (50.24) Это.равенство с учетом (50.23) принимает вид (50.25) где и = ас/4 = 5,67032-10 » Вт м з К ».
(50.26) Соотношение (5025) называется формулой Стефана — Больцмана, о — постоянной Стефана — Больцмана. Закон смещешш Вина. Максимум спектральной плотности излучения может быль найден из (50.20) Однако ноложсние максимУма зависит от шкалы, длЯ котоРой опРеделЯетсн спектральная нлопюсть. Для вычисления в шкале длин волн необходимо перейти к длинам волн Х = 2яс/ы и спектральной плотности излучения нг по шкале длин волн.
Тогда иъг!со = — н»2яс(Р/Аз (%.27) 306 мула (50.13) с учетом (50.18) принимает вид „, (7) «ызе-» смщ/(кзсз) г50.19) 10 Она называется формулой Вина (1896) и диет хорошее совпадение с экспериментом в области лостато пю больших частот. Если взять спектр солнечного излучения (см. рис. 1), то с помощью формулы Рэлея — Джинса удается описать лишь частоты, много меньшие тех, на которые приходится максимум плотности излучения, а с помощью формулы Вина — только большие частоты, далеко за максимумом. Промежуточную область долго не удавалось описать.
Формула Плавка. М. Плавя (1858 — 1947) предложил в 1900 г. интерполяционную формулу, которая при малых частотах переходит в формулу Рэлея — Джинса, а при больших — в формулу Вина. Она имеет вид и поэтому распределение спектральной плотности излучения по длинам волн имеет внд (рис. 272) [бкэяс Вгг = (50.28) Лэ (схр [2лсй/(й7Л)) — 1) Максимум спектральной плотности излучения находится из условия диц/дЛ = О, (%.29) 0 ед Л.
мкм Ггз Сиснтр аэлучсаее абселюгио чер- него тела ва юкелс план эола дающего для определения Л„,„, уравнение 5 = хс" /(е* — 1), х = 2лсИ/(/с7Л„,„, ) . (%.30) Решением этого уравнения является х = 4,965. Поэтому Л опрелеляется соотношением (50.31) называемым законом смещения Вина Спектр излучения абсо. лютую черного тела по шкале длин волн показан на рис. 2 ух. Из формулы (50.3!) для ).„„„в спектре излучения Солнца (Т, 6000 К) получается значение около 0,5% мкм. Дхя расчета максимума по спектру частот вместо (50.29) нацо решить уравнение дин /доз=О. В результате для спектра излучения Солнца при частоте со„, получается значение около 2,1х х10м с ', что соответствует длине волны около 0,88 мкм.
Элементарная квантовая теории Получить формулу Планка в рамках классических представлений невозможно. Однако ее удается обосновать с помощью элементарных рассуждений, основывающихся на квантовых представлениях об излучении и поглощении света. Хотя зтн рассуждения ие дают полного количественного решения задачи об излучении абсолютно черного тела, они дают достаточно ясное представление о механизме динамического равновесия между излучением и материальными телами. В термодинамнческом равновесии находгууся оболочка полости тела н излучение в полости. Излучение представляется совокупностью квантов с энергией е = Иш Кнанты могут поглощаться атомами, которые при этом переходят на более высокий энергетический уровень с энергией Е| =Ео+Апь где Ео — исходный энергетический уровень атома.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
