Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 57
Текст из файла (страница 57)
натяжение второй струны отлично от натяжения первой, то на границе может образоваться «изгиб». 220 В этом случае наклон не будет непрерывен, а произведение наклона на натяжение будет непрерывной функцией.) Чтобы убедиться в непрерывности возвращающей силы, рассмотрим бесконечно малый элемент массы в точке г=О. На этот элемент массы слева и справа действуют поперечные силы — Т,д~)~,/дг и +Т,дф,/дг соответственно. Суперпозиция этих сил равна произведению массы бесконечно малого элемента на его ускорение.
Но масса элемента равна нулю. Поэтому равна нулю и суперпозиция: — Т вЂ”,+Т вЂ” '=0 в г=.о. д)н дй, 1 Вг ~ дг Это уравнение н выражает непрерывность Т, дф/дг. (Заметим, что через Т, мы обозначаем равновесное натяжение струны в общем случае, а через Т, и Т, — равновесные натяжения струны в среде 1 и среде 2.) Коэффициент прохождения для амплитудьь Пусть ~р(г, Г) соответствует любой из трех волн: смещению, скорости или возвращающей силе. В среде 1 волновая функция ср(г, г) выражается супер- позицией 'р1(г Г)=Чосоз(ы/ — н,г)+Трусов(а/+к,г), (29) где в соответствии с (27) и (28) коэффициент отражения П равен )т1,=-(21 — Л,)/(21+2,), если ~р(г, 1) соответствует волне смещения илн скорости, Й= — Я„, если Ч~(г, 1) соответствует волне возвращающей силы.
Для среды 2 существует своя волновая функция ср,(г, Г), которая описывает бегущую волну, распространяющуюся в направлении +г: ~р, (г, /) = Т~р, соз (св1 — /г,г), (30) где Т вЂ” коэффициент прохождения для амплитуды. Из условия непрерывности ~р(г, 1) на границе в г=О следует: р,(о, 1) = р,(о, 1), т. е. Тц„соз М = ~р, (1+ )х) соз ыт, Т=1+Я, (31) где )т равно П„для ф и дф/д/ и равно — П„для волны возвращающей силы — Тдф/дг. (Заметим, что мы использовали Т для обозначения натяжения струны и коэффициента прохождения. В примеРах, не связанных со струной, это не может вызывать недоразумения.) Величина Й лежит между — 1 и +1, поэтому Т заключено в интервале значений от нуля до +2. Таким образом, коэффициент прохождения всегда положителен.
Рассмотрим несколько интересных предельных случаев. С л у ч а й 1. Полное согласование импедансов. Если Л,=Хо то отражения на границе не возникает и Й~,=О. Коэффициент 221 прохождения равен единице. Заметим, что равенство с<=Яг вовсе не означает идентичности сред. Например, у второй струны плотность н натяжение могут быть не равны плотности и натяжению первой, но произведения этих величин для обеих сред (струн) могут быть равны.
В этом случае будут равны и импедансы, так как Хг=)г' Тгрг и 2,=)г Т,о,. Однако фазовые скорости в этих средах ог=)г Т,/р, и о«=)г Т,/р, будут различны. С л у ч а й 2. Бесконечное сопротивление. Если 2</Уг равно бесконечности, то Рг,=- — 1. Точка г — -О неггодвижна. Коэффициент отражения для смещения и скорости равен — 1. Поэтому суперпозиция падающей и отраженной волн смещения и скорости в точке г=-О дает нулевые смещение н скорость. В данном случае положительный импульс в падающей волне становится отрицательным импульсом после отражения.
Коэффициент отражения для волны поперечной силы равен +1. Таким образом, сила, действующая на струну в точке г=-О, имеет то же направление, что и в случае полного согласования, но она в два раза больше, чем в этом случае. Избыточная сила идет на образование отраженной волны с амплитудой, равной по величине и противоположной по знаку амплитуде падающей волны. С л у ч а й 3. Случай нулевого сопротивления. Если с,/сг равно нулю, то конец струны в точке г=О называется свободньгм концом.
Наклон струны в этой точке всегда равен нулю. Коэффициент отражения для возвращающей силы равен — 1. Поэтому приходящий положительный импульс волны возвращающей силы после отражения становится отрицательным. Коэффициент отражения для скорости и смешения равен +1. Поэтому в точке г=О струна имеет в два раза большую скорость, чем в том случае, когда импедансы согласованы. Предельные случаи, соответствующие 2,/Ег= оо и Е,/7,— -О, иллюстрируются рис.
5.3 и 5.4. Форма синусоидольной волньг в общем случае. Если в среде ! присутствуют падающая н отраженная волны, то мы можем написать ф(г, 1)=-Асов(ы! — /гг)л-ЯАсоз(со! — , '/гг), (32) где /с — коэффициент отражения, значения которого лежат между — 1 и +1. Прн Р— О мы имеем случай полного согласования. При этом ф (г, /) — это «чистая» бегущая волна, т.
е. волна, распространяющая только в направлении +г. Когда /1= — 1, гр(г, 1) соответствует «чистой» стоячей волне, т. е. волне с постоянными узлами (нулями). Узел будет также и в точке г=-О. Когда /«=+1, <р(г, !) также соответствует <чистой» стоячей волне с постоянным «антиузлом> (макснмумом) в точке г=О, т.
е. в этом случае первый постоянный узел будет расположен на расстоянии '/, длины волны от г=О. В случае, когда Р пе равно ни нулю, ни ~!, г(г (г, !) не будет ни «чнстой» стоячей волной, ни «чистой» бегущей волной. Таким образом, в наиболее общем случае синусоидальная волна (данной частоты а) может быть представлена ввг либо как суперпозиция стоячих волн, либо как суперпозиция бегущих волн, либо как некоторая комбинация тех и других волн. Поэтому любую синусоидальную волну можно представить в виде 4р (г, г) = А соя (О) 4 .+ и) я)п йг+ В соя (О)г+ р) соя нг.
(33) Это уравнение является суперпозицией двух са)оячих волн, узлы кон)орых смещены на чел)верта длины волны и которые имеют разные р й=б а) Рис. О.З. Отражение приходящего импульса на аакрепленном конде струны. «) до отраигения; б) после отражения. в точке «=О струна присоедивена к струве с беско. печной плотностью. Вертикальными стрелиами показана скорост~ струны в данных точках. точка между двумя стрелкамн соответствует нулевой скорости дб)бг. б)лйт 4))б ! Рис.
5.4. Отражение импульса от свободного конка. «) До отражения; б) после отражения. В точке а=й струна присоединена к струне с пренеб- режимо малой плотностью. амплитуды и начальные фазы. Та же волна ф(г, )) может быть записана в таком виде: йр(г, () и Ссоя(О)~ — Аг-)-у)+Особ(О)(+гсг+6). (34) Эта запись представляет собой суперпозицию двух бегущих в разных направлениях волн, имеющих различные амплитуды и начальные фазы.
Например, волна, определяемая уравнением (32), записана как суперпозиция бегущих волн, однако она может быть с таким же успехом представлена как суперпозиция стоячих волн. У вас будет возможность доказать это (задача 5.20). Рассмотрим несколько примеров на отражение волн. !ЮЗ П р и м е р 3. Отражение звуковых волн.
Уравнения движения звуковых волн подобны уравнениям, описывающим продольные волны в пружине. Последние в свою очередь подобны уравнениям для поперечных волн в струне. Поэтому, не повторяя выводов, мы можем воспользоваться результатами для коэффициентов отражения и прохождения, полученными для струны. Скорость воздуха отвечает величине дф/дг, а звуковое давление — ур,дф/дг аналогично возвращающей силе — Т»дф/дг для струны.
Закрытый конец. У закрытого конца трубы средняя скорость молекул воздуха вдоль г (вдоль трубы) равна нулю. (Для каждой молекулы, движущейся направо вдоль оси +г по направлению к стене, существует молекула, которая недавно отскочила от стены и движется в направлении — г.) Поэтому на закрытом конце волна скорости дф/д( будет иметь коэффициент отражения, равный — 1. Действительно,при этом суперпозиция падвающей и отраженной волн скорости даст нуль. Другой волной, представляющей физический интерес, является волна звукового давления (аналог волны возвращающей силы) — ур,дф/дг.
В соответствии с результатами, полученными для струйы, коэффициент отражения для волны звукового давления должен быть равен по величине коэффициенту отражения для волны скорости и иметь обратный знак. Поэтому на закрытом конце коэффициент отражения для волны звукового давления равен +1 и давление иа закрытом конце имеет тот же знак, что и при полном согласовании, однако величина его в два раза больше. С микроскопической точки зрения удвоение давления можно объяснить следующим образом. Давление определяется как сила, действующая на единицу плошади. Сила — это изменение количества движения за единицу времени. Будем считать, что молекулы сталкиваются со стенкой упруго. Тогда при столкновении количество движения молекулы изменит знак (мы имеем в виду направления вдоль оси г).
Таким образом, на закрытом конце количество движения молекулы изменяется в два раза [то, — ( — то,)=2то,) и соответственно давление возрастает тоже в два раза. Этот случай аналогичен упругому удару шарика с массой т и скоростью о, в направлении г о стенку массы М(М>)т). При соударении стена получает импульс, равный 2то.
Открытый конец. В этом случае у нас возникают технические трудности. Мы не хотим, чтобы воздух из трубы «ушел» в вакуум. Поэтому посмотрим, что будет происходить, если открытый конец трубы <подсоедииить» к большой комнате, в которой давление воздуха р, равно давлению воздуха в трубе. На открытом конце воздух может свободно входить и выходить из трубы, и поэтому волна скорости здесь не будет обращаться в нуль. Области комнаты, достаточно удаленные от открытого конца трубы, имеют постоянное давление р„равное равновесному давлению в комнате.
(Оказывается, что уже на расстояниях порядка радиуса трубы давление можно 224 считать существенно постоянным и равным р,.) Когда область сжа-. тия достигнет открытого конца трубы, то у воздуха появится возможность распространяться во все стороны, в то время как в звуковой волне в трубе движение происходило только вдоль г. Поэтому область сжатия быстро рассасывается с увеличением расстояния от конца трубы, пока на некотором расстоянии (порядка радиуса трубы) давление не станет равным р,. Таким образом, если труба «подсоединена» к большой комнате, то на расстояниях от конца трубы порядка ее радиуса звуковое давление очень близко к нулю. Назовем эффективной длиной открытого конца трубы область, отстоящую от реального конца па расстояние, на котором звуковое давление практически уменьшается до нуля. Так как здесь звуковое давление все время равно нулю, то его коэффициент отражения должен быть равен — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
