Ф. Крауфорд - Волны (1120526), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Импеданс такой струны равен бесконечности, и ситуация аналогична той, которая возникает при обрезании передающей линии и включении ее на согласованную нагрузку. Если вместо этого выход амортизатора присоединить к струне с импедансом Л„простирающейся от а=О до оо, то в а=О импеданс для падающей волны будет равен импедансу параллельного соединения импедансов амортизатора и струны Е». Точно так же, как в случае передающей линии или пустого пространства, мы можем достичь согласования нагрузки для волн в струне либо соединив выход амортизатора с жестким основанием, либо соединив выход со струной, протяженностью в четверть волны; конец струны должен быть закреплен на кольце, скользящем без трения по стержню.
Такое устройство имеет пулсвой импедапс у стержня и бесконечный импеданс у выхода амортизатора. Этим будет обеспечена неподвижность выхода. Друэне методы согласования нагрузки. Не всегда легко достичь согласования «передающей линии» и «нагрузкн». Если условия работы допускают применение распределенной нагрузки, занимающей заметный объем, то поглощение без отражения можно получить и не имея согласованной нагрузки с сосредоточенными параметрами, какой является, например, «эквивалент».
Так, если мы хотим поглотить без отражения интенсивный пучок света, мы можем направить его в щель, сделанную в большом светонепроницаемом картонном ящике. Выложим изнутри стенки ящика черным материалом (поглотитель) и поставим в нем несколько перегородок, чтобы воспрепятствовать выходу света. Щель в ящике даже в яркий день будет выглядеть чернее любого черного тела, например сажи. Такая черная поверхность и совершенный «эквивалент» неразличимы по своему действию: излучение, попавшее в щель, не выходит обратно. Щель действует, как простирающаяся до бесконечности прозрачная среда (воздух).
5.3. Отражение и прохождение (11) 217 (г, г) =Асов(«»Г — йг) Непрерьаиая с»вруна. Предположим, что мы имеем полубесконечную струну, простирающуюся от г= — «о до а=О, с характеристическим импедансом, равным Е,. В точке а=О струна подсоединепа к нагрузке, представляющей собой амортизатор, с импедансом у, (2«Ф2,). В точке г= — — оо находится передатчик, генерирующий бегущую волну в направлении +г. Уравнение этой волны имеет вид Подставив сюда г=О, получим волну в точке г=О: бррал (О 1) Л СОЗ (О1, (12) Отражение вследствие несогласованности импеданса нагрузки с илпедансож линии. Последнюю точку струны обозначим Т. (именно эта точка струны подсоединена ко входу амортизатора), а вход поршня — через Р.
(Очевидно, что это условное обозначение, при котором одна и та же точка обозначена через Е, если считается, что она принадлежит струне, или через )б, если она принадлежит поршню.) Если бы импеданс амортизатора равнялся характеристическому импедансу струны Л„то мы имели бы случай линии„согласованной с нагрузкой, и отражения от конца линии не было бы. В этом случае граничная сила Р,р, действующая со стороны поршня (рс) на струну (Е), равна р ().~ Т) у д11 пал(0 1) (13) В действительности входной импеданс амортизатора г., может быть не равен импедансу линии с,. Поэтому силу, действующую со стороны поршня на струну, можно в общем случае представить так: Е ()~ Т) Егр Ж ~) +диор ()~ Т) (14) где Р„,б — так называемая избыточная сила.
Оказывается, что эта сила ответственна за возникновение бегущей волны бР„,р(г, 1), распространяющейся в направлении — г. В связи с этим мы можем считать, что в точке г=О действует передатчик, который испускает бегущую волну в направлении — г. Далее, поскольку мы имеем дело с бегущей волной, должно быть справедливо соотношение (15) Подставляя это уравнение в уравнение (14) для полной силы и учитывая уравнение (13), имеем о()о р) т ляпал(О, 1)+ т дфорр(0, 1) (16) дб Р дг С другой стороны, полная реакция амортизатора, т.
е. Р(Я, й), равна, по определению (см. пример 1 и. 5.2), произведению скорости точки Д на — Ло. Скорость точки Е равна суперпозпции скоростей от падающей и отраженной волны, т. е, дф (О, 1) д%пао (О О, дФорр(0 11 Таким образом, сила сопротивления движению поршня Р()г, Е) равна г ()Р Г) г дЧ (О, 1) у дФоал (О, 1) у готР ( ) (13) дт - "дг ' дг 218 части уравнений (16) и (18), находим ~Фа»р Лд)пад 1)Ի㻠— = — г — — 2— д» » ОГ и д) Приравнивая правые для г=О т.
е. дрог»(о, г) Гг,— 2,1 д4»д,(о, 1) (19) Коэфф»гииент отражения, Проинтегрировав обе части уравнения (19) (считаем, что постоянные интегрирования равны нулю), получим ф„р(0, /)=Ли фп,д(0, Е)=ЯмАсоэе/. (20) Величина /с»д называется коэффиииентом отражения для смеще- ния ф 2,— гп Е,+Е, (21) ф„,„(г, /) = Я„Асов ~ы (/-1- — '11 =Ям Асов(о»С+/»г). (22) »,,1 Полное смещение ф(г, /) равно суперпозиции ф(г, г)=ф„,д(г, /)+ф„»(г, г), т, е. ф (г, /) = А соэ (и/ — /гг) + /с„А соз (в»/+/»г).
(28) 1»озвращающая сила и смещение отражаются с противоположными знаками. В случае поперечных колебаний струны физический интерес может представлять ие только смегцение ф(г, 1), но и поперечная скорость дф(г, /)/д/, а также поперечная составляющая натяжения — Т, дф (г, /)/дг, которая определяет возвращающую силу в струне. Из уравнений (19) и (20) следует, что волна скорости дф (г, /)/д/ имеет тот же коэффициент отражения, что и волна смещения ф(г, /). Однако пволна возвращающей силы» — Тпдф(г, г)/дг имеет коэффициент отражения, равный по величине коэффициенту отражения для волны скорости дф(г, /)/д/, но обратный по знаку. Имеем фпдд =- А соз (о»/ — йг), ф„р — )ддп Л соз (а/+ йг), (24) Вфпдд — — о»Аэ)п(о»г' — /»г), — ',"=Ям ( — «»Аз)п(о»/+яг)~, (25) в »»пад а9„, — =йЛз!п(и/ — йг), в — — — Рд» (/»А э)п(до/+яг)).
(26) Из уравнения (25) следует, что в точке г=О скорость отраженной волны равна произведению /сдд на скорость проходящей волны, а из 219 Поскольку отраженная волна синусоидальная, то смещение в любой точке г 0 определится заменой г=О и ( на г и /+г/ое, где оф — величина фазовой скорости: уравнения (26) видно, что в точке г=О возвращающая сила в отраженной волне равна произведению — /?»» на возвращающую силу в проходящей волне. Из уравнений (24), (25) и (26) следует, что для ков4фициента отражения для»р, дф/д/ и дф/дг справедливы соотношения 㻠— г» )'э )(»Фа» ~»» г +г (2?) » 1' )сама» = — /с»» (28) Заметим, что /с„лежит между — 1 и +1.
Отражение на границе двух дисперсивных сред. Предположим, что струна простирается от — оо до О и имеет импеданс Я„в точке г=О оиа подсоединена к струне с импедансом Л„которая простирается от О до оо. Очевидно, что точка Ь слева от г=-О <не знает», является ли точка Я справа от г — — О началом новой струны (линии) с нмпедансом г",» или же это «вход» амортизатора (т. е. его поршень) с импедансом Я». Поэтому коэффициенты отражения (2?) и (28) будут также определять н отраженную волну в среде 1.
(Среда !— это струна с импедансом Л„а среда 2 — струна с импедансом с».) Заметим, что /?»»= — /~„. Поэтому, если свойства сред взаимно изменятся, то коэффициент отражения изменит знак. Например, коэффициент отражения для волны смещения /?...
отрицателен, если волна падает со стороны легкой струны на тяжелую (натяжение струн считается одинаковым), и положителен при обратном направлении распространения. Проходящая волна на границе двух дисперсивных сред. В точке г=О происходит отражение волны, приходящей из среды 1. Поскольку импедансы Л, и Е» не равны, то наряду с отраженной обратно в среду 1 волной должна существовать волна, прошедшая в среду 2. В связи с этим точку г=О, которая совершает колебания под действием силы, обусловленной падающей и отраженной волнами в среде 1, можно считать источником, испускающим бегущие волны в среду 2 (в направлении +г). Нас будет интересовать волна смещения»р„волна поперечной скорости дф,/д( и волна возвращающей силы — Т,дф,/дг, которые прошли во вторую среду и распространяются в ней. Чтобы найти эти волны, рассмотрим граничные условия. Граничные условия и непрерывность.
Для рассматриваемого случая граничные условия таковы, что смещение слева от границы раздела равно смещению справа от границы. Иными словами, смещение ф(г, () непрерывно. Непрерывны также скорость дф(г, »)/дт и возвращающая сила — Т»дф(г, г)/дг. В то время как непрерывность скорости и смещения на границе очевидна, непрерывность возвращающей силы требует некоторых замечаний. (Например, можно думать, что непрерывным должен быть наклон струны дф(г, 1)/дг, а не произведение наклона на натяжение. Однако если на границе изменено натяжение, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
