А.Д. Алексеев, С.Н. Кудряшов - Уравнения с частными производными в примерах и задачах (1120422), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Òîãäà ìîæíî îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíòû An è Bn , óìíîæèâ îáå ÷àñòèðàâåíñòâà (3.11) è (3.12) íà ρ(x)Xn (x) è ïðîèíòåãðèðîâàâ ïî x â èíòåðâàëå îò0 äî `.  ñèëó ñâîéñòâà 3, ïîëó÷èìR`An =R`ρ(x)f (x)Xn (x)dx0R`,Bn =ρ(x)Xn2 (x)dx0ρ(x)F (x)Xn (x)dx0R`061,ρ(x)Xn2 (x)dxÏîäñòàâëÿÿ íàéäåííûå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ â ðÿä (3.10), ïîëó÷èì ðåøåíèå íàøåé çàäà÷è.Èçëîæåííûé ìåòîä î÷åâèäíûì îáðàçîì ïåðåíîñèòñÿ íà óðàâíåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêîãî è ýëëèïòè÷åñêîãî òèïîâ.Ïðèâîäèì òåïåðü çàäà÷è, ðàçáèòûå ïî îñíîâíûì òåìàì.2.4.1 Çàäà÷è ñ îäíîðîäíûìè óñëîâèÿìè.Ïðåäëàãàåì ðåøèòü ñëåäóþ-ùèå ïðèìåðû.2.1 Îäíîðîäíàÿ ñòðóíà äëèíîé `, çàêðåïëåííàÿ íà îáîèõ êîíöàõ, íàõîäèòñÿâ ïîëîæåíèè, çàíèìàÿ îòðåçîê [0, `] îñè 0x, ñëåäîâàòåëüíîu(0, t) = 0;Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ∂2u∂t2u(`, t) = 02= a2 ∂∂xu2 äëÿ ëþáîãî t > 0, åñëè çàäàþòñÿ ñëåäó-þùèå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ:1) u(x, 0) = f (x),∂u∂t (x, 0)= F (x);18πx2) u(x, 0) = 5 sin 3πx` − 2 sin ` ,3) u(x, 0) = 0,4)u(x, 0) =∂u∂t (x, 0)13∂u∂t (x, 0)∂u∂t (x, 0)= 0;3πx7πx= 6 sin πx` − sin ` + 3 sin ` ;5πx18πxsin 2πx` + 4 sin ` − 4 sin ` ,πpx= A sin πsx` + B sin ` , A è B ïîñòîÿííûå; s, p ∈ N .5) u(x, 0) = Ax,∂u∂t (x, 0)= 0;626) u(x, 0) = 0,7) u(x, 0) =8)u(x, 0) =∂u(x,0)∂t0, 0 ≤ x ≤ α,∂u∂t (x, 0)= v0 , α < x < β, 0, β ≤ x ≤ l.4hx(`−x),l2∂u∂t (x, 0)= 0;hc x,0 ≤ x ≤ c,h(x−l)(c−l) ,c < x ≤ l,= 0;9) u(x, 0) =16h x 45 [( ` )− 2( x` )3 + ( x` )], h>0,∂u∂t (x, 0)= 0;2.2.
Ëåâûé êîíåö ñòåðæíÿ, x = 0, çàêðåïëåí, à ïðàâûé x = `, ñâîáîäåí, ýòîîçíà÷àåò âûïîëíåíèå óñëîâèé u(0, t) = 0,∂u∂x (`, t)=0äëÿ t>0. Íàéòè ïðîäîëüíûå êîëåáàíèÿ ñòåðæíÿ ïðè ñëåäóþùèõ íà÷àëüíûõóñëîâèÿõ:1) u(x, 0) = f (x),∂u∂t (x, 0)= F (x);11πx2) u(x, 0) = A sin 3πx2` + B sin 2` ,3) u(x, 0) = 0,∂u∂t (x, 0)4) u(x, 0) = sin 5πx2` ,5) u(x, 0) = 0,= 0;19πx= 12 sin 7πx2` − 3 sin 2` ;∂u∂t (x, 0)∂u∂t (x, 0)∂u∂t (x, 0)= sin 3πx2` ;= v0 ;636) u(x, 0) =hx` ,7) u(x, 0) =14∂u∂t (x, 0)= 0;15πxsin 3πx2` − 5 sin 2` ,8) u(x, 0) = x,∂u∂t (x, 0)9) u(x, 0) = Ax,∂u∂t (x, 0)= v0 ;= v0 ;∂u∂t (x, 0)3πx= sin πx2` − 2 sin 2` .2.3 Ïðîèíòåãðèðîâàòü óðàâíåíèå ïðîäîëüíûõ êîëåáàíèé ñòåðæíÿåñëè ëåâûé êîíåö, x = 0, ñâîáîäåí, ïðàâûé x = ` çàêðåïëåí (òî åñòüu(l, t) = 0 ïðè t>0) ñî ñëåäóþùèìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè:1) u(x, 0) = f (x),∂u∂t (x, 0)= F (x);7πx2) u(x, 0) = A cos 5πx2` + B cos 2` ,3) u(x, 0) = 0,∂u∂t (x, 0)4) u(x, 0) = cos πx2` ,5) u(x, 0) = 0,6) u(x, 0) =h(l−x)` ,7) u(x, 0) =1515πx= cos 3πx2` − 2 cos 2` ;= v0 ;∂u∂t (x, 0)= 0;13πxcos 5πx2` − 4 cos 2` ,8) u(x, 0) = l − x,= 0;27πx= 2 cos 5πx2` − 7 sin 2` ;∂u∂t (x, 0)∂u∂t (x, 0)∂u∂t (x, 0)∂u∂t (x, 0)∂u∂t (x, 0)= v0 ;3πx= cos πx2` − 3 cos 2` ;64∂2u∂t22= a2 ∂∂xu2 ,∂u∂x (0, t)= 0,9) u(x, 0) = A(` − x),∂u∂t (x, 0)= v0 .2.4.
Èçó÷èòü çàäà÷ó î ïðîäîëüíûõ êîëåáàíèÿõ ñòåðæíÿ, îáà êîíöà êîòîðîãîñâîáîäíû. Ïîäîáíàÿ çàäà÷à âîçíèêàåò ïðè äâèæåíèè ðàêåòû â áåçâîçäóøíîìïðîñòðàíñòâå. Èñêîìàÿ ôóíêöèÿ u(x, t), êàê ìû ãîâîðèëè â ïóíêòå 2.2, óäîâëå∂2u∂t2òâîðÿåò óðàâíåíèþ2= a2 ∂∂xu2 è êðàåâûì óñëîâèÿì∂u∂x (0, t)= 0,∂uδx (`, t)= 0.Ðåøèòü çàäà÷ó ñ òàêèìè íà÷àëüíûìè äàííûìè:1) u(x, 0) = f (x),2) u(x, 0) = 0,∂u∂t (x, 0)∂u∂t (x, 0)3) u(x, 0) = sin2 5πx` ,= F (x);= cos2 3πx` ;∂u∂t (x, 0)= 0;13πx4) u(x, 0) = 1 + cos 2πx` − 3 cos ` ,5) u(x, 0) =hx` ,∂u∂t (x, 0)6) u(x, 0) = sin2 πx` ,7) u(x, 0) = x,8) u(x, 0) = l − x,9) u(x, 0) = cos 3πx` ,27πx= 2 cos 6πx` − 3 cos ` ;= 0;∂u∂t (x, 0)∂u∂t (x, 0)∂u∂t (x, 0)= x;= v0 ;∂u∂t (x, 0)= cos2 8πx` ;∂u∂t (x, 0)= l − x.2.5  ñëåäóþùåé ñåðèè ðàññìàòðèâàþòñÿ çàäà÷è î ïðîäîëüíûõ êîëåáàíèÿõ65ñòåðæíÿ, îäèí èç êîíöîâ èëè îáà çàêðåïëåíû óïðóãî. ïîëóïîëîñå 0 < x < `,t > 0 äëÿ óðàâíåíèÿ∂2u∂t22= a2 ∂∂xu2ðåøèòü íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è ñî ñëåäóþùèìè óñëîâèÿìè:1) u(0, t) = 0,∂u∂x (l, t)u(x, 0) = f (x),2) u(0, t) = 0,u(x, 0) = 1,3)∂u∂x (0, t)∂u∂t (x, 0)∂u∂x (l, t)∂u∂t (x, 0)= 0,+ hu(l, t) = 0, h > 0,+ hu(l, t) = 0, h > 0,= 0;∂u∂x (l, t)+ hu(l, t) = 0, h > 0,u(x, 0) = f (x),∂u∂t (x, 0)4)∂u∂x (l, t)∂u∂x (0, t)= 0,u(x, 0) = 0,5)∂u∂x (0, t)∂u∂t (x, 0)= 0,u(x, 0) = Ax,6)∂u∂x (0, t)∂u∂x (0, t)∂u∂x (0, t)+ hu(l, t) = 0, h > 0,= 1;∂u∂x (l, t)∂u∂t (x, 0)+ hu(l, t) = 0, h > 0,= 0;∂u∂t (x, 0)− hu(0, t) = 0,u(x, 0) = f (x),8)= F (x);− hu(0, t) = 0, h > 0, u(l, t) = 0,u(x, 0) = f (x),7)= F (x);∂u∂t (x, 0)− hu(0, t) = 0,u(x, 0) = f (x),∂u∂t (x, 0)= F (x);∂u∂x (l, t)= 0,h>0= F (x);∂u∂x (l, t)+ hu(l, t) = 0, h > 0= F (x);669)∂u∂x (0, t)− h1 u(0, t) = 0,u(x, 0) = f (x),∂u∂t (x, 0)∂u∂x (l, t)+ h2 u(l, t) = 0, h1 > 0, h2 > 0,= F (x).2.4.2 Çàäà÷è î êîëåáàíèè ñ îñîáûìè êðàåâûìè óñëîâèÿìè.Íåñìîòðÿ íà îáèëèå ðàçëè÷íûõ êðàåâûõ çàäà÷, íà ïðàêòèêå (â ðåàëüíîéæèçíè) âñòðå÷àþòñÿ ïðèìåðû îñîáûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, äàæå òàêèõ, äëÿêîòîðûõ íåïðèìåíèì ìåòîä Ôóðüå.
 ýòîì ñëó÷àå êðàåâîå óñëîâèå òàêîâî, ÷òîïåðåìåííûå â íåì íå ðàçäåëÿþòñÿ, íàïðèìåð, αu(0, t)+β ∂u∂t (0, t) = 0,αβ 6= 0.Äëÿ óðàâíåíèÿ îáùåãî âèäà (3.1) ìåòîä Ôóðüå ìîæåò äàòü îñå÷êó, åñëè êðàåâûå óñëîâèÿ îòëè÷íûå îò óñëîâèé (3.2) è (3.3). Äëÿ ñïåöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ,ñêàæåì (1.5), ìåòîä Ôóðüå ìîæåò ñðàáîòàòü, íî òåîðèÿ Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ íåáóäåò âûïîëíÿòñÿ â ïîëíîé ìåðå. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó î êîëåáàíèè ñòðóíû èëèñòåðæíÿ ñî ñîñðåäîòî÷åííîé ìàññîé íà êîíöå.Ïðèìåð 3. (çàäà÷à N 84, [5], 1968 ãîäà).Îäíîðîäíûé ñòåðæåíü èìååò äëèíó ` è ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ σ . Êîíåö åãî x = 0 çàêðåïëåí íåïîäâèæíî, à íà êîíöå x = ` ñîñðåäîòî÷åíà ìàññà m.Ñòåðæåíü ïðåäâàðèòåëüíî ðàñòÿíóò ñèëîé Q.
Èçó÷èòü ïðîäîëüíûå êîëåáàíèÿñòåðæíÿ, êîòîðûå âîçíèêàþò ïðè âíåçàïíîì ïðåêðàùåíèè äåéñòâèÿ ðàñòÿãèâàþùåé ñèëû.Ðåøåíèå. Âûÿñíèì ñíà÷àëà íà÷àëüíûå óñëîâèÿ. Ïîñêîëüêó îíè àíàëîãè÷íûå óñëîâèÿì ïðèìåðà 2, òî ìîæåì ñðàçó çàïèñàòüQx,Eσ(4.1)∂u(x, 0) = 0.∂t(4.2)u(x, 0) =67Óðàâíåíèå áóäåò îäíîðîäíûì2∂ 2u2∂ u=a,∂t2∂x2a2 =E.ρ(4.3)Îñü 0x íàïðàâèì âäîëü ñòåðæíÿ ñâåðõó âíèç. Âåðõíèé êîíåö çàêðåïëåí â òî÷êåx = 0, çíà÷èò , ïåðâîå êðàåâîå óñëîâèåu(0, t) = 0.(4.4)Íà âòîðîì êîíöå, x = `, ñîñðåäîòî÷åííàÿ â òî÷êå ìàññà m è ýòî ñå÷åíèå â2ïðîöåññå êîëåáàíèé áóäåò èìåòü ñèëó óñêîðåíèÿ, ðàâíóþ −m ∂∂tu2 , êîòîðàÿ ïðîòèâîñòîèò ñèëå íàòÿæåíèÿ T = Eσ ∂u∂x , ñìîòðèòå ðàâåíñòâî (2.1).  ñèëó ïðèíöèïà Äàëàìáåðà ñóììà ýòèõ ñèë ðàâíà íóëþ.  èòîãå ïîëó÷àåì âòîðîå êðàåâîåóñëîâèå:∂u ∂ 2u=0m 2 + Eσ∂t∂x x=`(4.5)Ýòî óñëîâèå îòëè÷àåòñÿ îò òðåáîâàíèé (3.2) è (3.3) è íà ïåðâûé âçãëÿä ïåðåìåííûå x è t â íåì íå ðàçäåëÿþòñÿ, íî , áëàãîäàðÿ ñïåöèàëüíîìó âèäó óðàâíåíèÿ (4.3), ïåðåìåííûå ðàçäåëÿþòñÿ, ÷òî ïîçâîëÿåò ïðèìåíèòü ìåòîä Ôóðüå.Èùåì ÷àñòíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (4.3), óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì (4.4) è(4.5), â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ u(x, t) = X(x)T (t).
Ïîäñòàâëÿÿ u(x, t) â óðàâíåíèåè ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå, ïîëó÷àåì:T 00 (t)X 00 (X)== ν = −λ22a T (t)X(x)(4.6)Ìû ïîñ÷èòàëè â òîæäåñòâå (4.6) îáùóþ ïîñòîÿííóþ äðîáåé îòðèöàòåëüíîé,λ 6= 0, íàäåÿñü, ÷òî äîòîøíûé ÷èòàòåëü ñàì ïðîâåðèò, ÷òî ïðè ν ≥ 0 êðàåâàÿçàäà÷à íå ðàçðåøèìà.68Çàïèøåì äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, ïîðîæäåííûå ðàâåíñòâîì (4.6)X 00 (x) + λ2 X(x) = 0,(4.7)T 00 (t) + a2 λ2 T (t) = 0.(4.8)Îïðåäåëèìñÿ ñ êðàåâûìè óñëîâèÿìè. Ïðè x = 0 èìååì X(0)T (t) = 0, îòêóäàX(0) = 0.(4.9)Ïðè x = ` ïðîáëåìà ïîñëîæíåé. ÒåïåðümX(`)T 00 (t) + EσX 0 (`)T (t) = 0.Âîñïîëüçóåìñÿ ñîîòíîøåíèåì (4.8), èç êîòîðîãî T 00 (t) = −a2 λ2 T (t). Òåïåðüïðåäûäóùåå ðàâåíñòâî çàïèøåòñÿ òàê mX(`)(−a2 λ2 T (t)) + EσX 0 (`)T (t) = 0Ñîêðàòèì íà T (t) 6= 0EσX 0 (`) − mλ2 a2 X(`) = 0.(4.10)Êðàåâîå óñëîâèå (4.10) îòëè÷àåòñÿ îò óñëîâèé ïóíêòà 2.3 íàëè÷èåì λ2 â ðàâåíñòâå è ïîëüçîâàòüñÿ ðåçóëüòàòàìè ýòîãî ïóíêòà ñëåäóåò ñ îñòîðîæíîñòüþ.Èòàê, èùåì íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ (4.7), óäîâëåòâîðÿþùèå (4.9) è (4.10).Îáùåå ðåøåíèå (4.7) íàõîäèëîñü ðàíüøåX(x) = C1 cos λx + C2 sin λx.Ïðè x = 0 èìååì X(0) = C1 = 0, C2 äëÿ ïðîñòîòû ïîëàãàåì ðàâíîé åäèíèöå,C2 = 1.
Ïîäñòàâèì X(x) è X(x)0 = λ cos λx â (4.10)Eσλ cos λ` − mλ2 a2 sin λ` = 0.69Ñîêðàùàåì íà λ (λ 6= 0), äåëèì íà cos λ` è óìíîæàåì íà `λ` tg λ` =Ïóñòü λ` = µ, α =Eσ`a2 m=Eσ` ρm E=ρ`σmEσ`.a2 m> 0. Äëÿ µ ïîëó÷àåì óðàâíåíèåµ tg µ = α,(4.11)êîòîðîå èìååò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ïðîñòûõ, ïîëîæèòåëüíûõ êîðíåé (ïðîùå âñåãî ýòî óñòàíîâèòü ãðàôè÷åñêè) µ1 , µ2 ..., µk ... . Èì ñîîòâåòñòâóþò ñîáñòâåííûåôóíêöèè Xk (x) = sin µk` x ,k ∈ N .
Ñàìûé áîëüíîé âîïðîñ îðòîãîíàëüíû ëèXk (x) íà îòðåçêå [0, `]. Ïðîâåðèì ýòî. Ïóñòü Xk (x) è Xm (x), k 6= m, ðåøåíèÿ(4.7) îòâå÷àþùèå íåðàâíûì äðóã äðóãó µk è µm , µk 6= µm .Âû÷èñëèìZ`Z`Xk (x)Xm (x)dx =0sinµk xµk xsindx =``01=2Z` µk − µmµ k + µmcosx − cosx dx =``0``sin (µk − µm ) −sin (µk + µm ) =µk − µmµk + µ m`sin (µk − µm )sin (µk + µm )=−=2 α (ctg µk − ctg µm ) α (ctg µk + ctg µm )1=2`=2αsin (µk − µm )sin (µk + µm )sin µk sin µm −sin µk sin µmsin (µm − µk )sin (µk + µm )=``= − sin µk sin µm = − Xk (`)Xm (`).αα èòîãå ïîëó÷èëèZ``Xk (x)Xm (x)dx = − Xk (`)Xm (`)α070(4.12)ïðè÷åì íè ïðè êàêîì n, n ∈ N ,Xn (`) = sin µn 6= 0, èáî â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ètg µn = 0, íî ýòî íåâîçìîæíî â ñèëó ðàâåíñòâà (4.11).Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî {Xk (x)} íå ÿâëÿåòñÿ îðòîãîíàëüíîé ñèñòåìîéíà îòðåçêå [0, `].
Ïîïûòêà îðòîãîíèçèðîâàòü ñèñòåìó áåñïåðñïåêòèâíà, íî ïîïðîáóåì ïîäîáðàòü âåñ ρ(x) > 0, ñ êîòîðûì ñèñòåìà áûëà áû îðòîãîíàëüíà.Óäîáíî ïîëîæèòü ρ(x) = 1 + ϕ(x). ÈìååìZ`Z`(1 + ϕ(x)) Xk (x)Xm (x)dx =00Z`+Xk (x)Xm (x)dx+Z`ϕ(x)Xk (x)Xm (x)dx −ϕ(x)Xk (x)Xm (x)dx =0`Xk (`)Xm (`),α0ìû âîñïîëüçîâàëèñü ðàâåíñòâîì (4.12). Äëÿ îðòîãîíàëüíîñòè ñëåäóåò ïîòðåáîâàòü îò ϕ(x) íåîáû÷àéíîãî óñëîâèÿ, à èìåííî, ÷òîáûZ`ϕ(x)X(x)dx =`X(`)α(4.13)0äëÿ ëþáîé äîñòàòî÷íî ãëàäêîé X(x). Ïîäîáíûå ôóíêöèè èçâåñòíû ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêå è ôèçèêå è íàçûâàþòñÿ îáîáùåííûìè ôóíêöèÿìè.
Ââåäåííóþôóíêöèþ ϕ(x) ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ ìîæíî îòîæäåñòâèòüñ δ -ôóíêöèåé Äèðàêà, êîòîðóþ îïðåäåëÿþò, êàê ôóíêöèîíàë íà ìíîæåñòâåíåïðåðûâíûõ è èíòåãðèðóåìûõ íà (−∞, ∞) ôóíêöèè f (x) ïî ôîðìóëåZ∞δ(x − x0 )f (x)dx = f (x0 ).−∞Òàê, ÷òî ϕ(x) = α` δ(x − `), íî íîñèò âñïîìîãàòåëüíûé õàðàêòåð è ìû íå ïðè-71âëåêàåì "âûñîêèå ìàòåðèè", à îáåñïå÷èâàåì ðàâåíñòâîZ`(1 + ϕ(x)) Xk (x)Xm (x)dx = 0,0äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ k , m, k 6= m.  äàëüíåéøåì íàì ïîíàäîáèòñÿ èíòåãðàëHk2 =Z`(1 + ϕ(x)) Xk2 (x)dx,0êîòîðûé ìû çàáëàãîâðåìåííî âû÷èñëèì.
Ñíà÷àëàZ`Xk2 (x)dx0Z`=1µk xdx =sin2`2Z` 2µk x1 − cosdx =`001``sin 2µk =`−= −2 4µk2`α == 1 − α222µ 1+ 2kµk` 2 tg µk2µk 1 + tg2 µk=`α1− 22µk + α 2ÄàëååHk2 =Z`0α``µxk(1 + ϕ(x)) sin2dx =1− 2+sin2 µk =2`2µk + αα`α` tg2 µk`αα`1− 2+=1−+==2µk + α 2α 1 + tg2 µk2µ2k + α2µ2k + α2` α + α2 + µ2k`α=1+ 2=.2µk + α 22µ2k + α2Ïåðåéäåì ê ôóíêöèè T (t) â ðàâåíñòâå (4.6).
Óðàâíåíèå µ 2T 00k=−2a T (t)`72èìååò ðåøåíèåTk (t) = ak cosµk atµk at+ bk sin.``Ôîðìàëüíîå ðåøåíèå çàïèøåì â âèäåu(x, t) =∞ Xk=1µk atµk atµk xak cos+ bk sinsin```Íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû îïðåäåëèì èç ðàñ÷åòà óäîâëåòâîðèòü íà÷àëüíûìóñëîâèÿì. Ïðèìåì íà âåðó, ÷òî {Xk (x)}ïîëíàÿ ñèñòåìà ôóíêöèé íà [0, `], òîåñòü íå ñóùåñòâóåò ôóíêöèè q(x) 6≡ 0 , îðòîãîíàëüíîé ñ âåñîì ρ(x) âñåì Xk (x),k ∈ N . Òåïåðü íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî óñëîâèå (4.2) âûïîëíÿåòñÿ ëèøü ïðèbk = 0. Äëÿ ak â ñèëó (4.1) ïîëó÷àåì∞Xk=1ak sinQxµk x=.`EσÑ÷èòàÿ, ÷òî ðÿä (4.14) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî íà [0, `], óìíîæèì åãî íà(1 + ϕ(x)) sinµxn`è â ñèëó îðòîãîíàëüíîñòè ñ âåñîì ôóíêöèé sin µk` x , k ∈ N íàõîäèì1ak = 2HkZ`(1 + ϕ(x))µk xQxsindx =Eσ`0 Q 2 µ2k + α2`2`2=` + 2 sin µk −cos µk =Eσ ` (α + α2 + µ2k )µkµkpQ 2 µ2k + α2 µ2k + ` α − µ2k=Eσµ2k (α + α2 + µ2k ) êà÷åñòâå îáîáùåííîãî ðåøåíèÿ ïîëó÷àåì ðÿä∞2Q Xu(x, t) =Eσk=1pµ2k + α2 (1 − `) µ2k + α`µk atµk xcossinµ2k (α + α2 + µ2k )``73(4.14)2.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
