А.Д. Алексеев, С.Н. Кудряшов - Уравнения с частными производными в примерах и задачах (1120422), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Íà ïðàêòèêå åãî ðàâíîìåðíî ñ òðåáóåìîé òî÷íîñòüþ ïðèáëèæàþò ðåãóëÿðíûìè ðåøåíèÿìè. Ñàìûé åñòåñòâåííûé ñïîñîá îãðàíè÷èòüñÿ ÷àñòè÷íîé ñóììîé ðÿäà (1.18) ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì ÷èñëå ñëàãàåìûõ.2.2 Óðàâíåíèÿ ïðîäîëüíûõ êîëåáàíèé ñòåðæíÿ.Èçó÷èì ìàëûå ïðîäîëüíûå êîëåáàíèÿ ñòåðæíÿ.Ñòåðæåíü óïðóãîå öèëèíäðè÷åñêîå òåëî ñ ïîñòîÿííîé ïëîùàäüþ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ σ. Íàïðàâèì îñü àáñöèññ âäîëü ñòåðæíÿ.  êà÷åñòâå íåèçâåñòíîé51ôóíêöèè áåðåòñÿ âåëè÷èíà ñìåùåíèÿ ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ ñ àáñöèññîé x â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ â ìîìåíò âðåìåíè t. Ïóñòü x(t) êîîðäèíàòà ýòîãî ñå÷åíèÿâ ìîìåíò t > 0, òîãäà u(x, t) = x(t) − x.
Âèçóàëüíî, åñòåñòâåííî, u(x, t) óâèäåòü íåëåãêî. Ïðè âûâîäå óðàâíåíèÿ èñïîëüçóþò çàêîí Ãóêà: ñèëà íàòÿæåíèÿ(T ) ïðè èçìåíåíèè äëèíû îáðàçöà (∆x) ïðîïîðöèîíàëüíà åãî îòíîñèòåëüíîìóóäëèíåíèþ ( ∆u∆x ) è ïëîùàäè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ σ. Êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè (íàçûâàåòñÿ ìîäóëåì Þíãà, îáîçíà÷àåòñÿ E ) îïðåäåëÿåòñÿ äëÿóïðóãèõ òåë ýêñïåðèìåíòàëüíî. Èòàê, T = Eσ ∆u∆x . Ó÷èòûâàÿ ìàëîñòü ∆u,ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî∆u∆x≈∂u∂x. ÒåïåðüT = Eσ∂u.∂x(2.1)Ñàìî óðàâíåíèå èìååò òàêîé æå âèä êàê è äëÿ êîëåáàíèé ñòðóíû (1.1), à èìåííîσρ∂ 2u∂ 2u=Eσ+ p(x, t)σ.∂t2∂x2(2.2)Çäåñü ρ îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü ñòåðæíÿ, p(x, t) âíåøíÿÿ ñèëà, ðàññ÷èòàííàÿíà åäèíèöó îáúåìà. Ñ÷èòàÿ ñòåðæåíü îäíîðîäíûì (â ýòîì ñëó÷àå ρ ïîñòîÿííîå ÷èñëî) ïîñëå äåëåíèÿ (2.2) íà ρσ , ïîëó÷àåì2∂ 2u2∂ u=a+ g(x, t)∂t2∂x2ãäå a2 =Eρ,g(x, t) =p(x,t)ρ(2.3),. Åñëè âíåøíèå ñèëû îòñóòñòâóþò, p(x, t) ≡ 0, òîïîëó÷àåòñÿ óðàâíåíèå ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé2∂ 2u2∂ u=a.∂t2∂x2(2.4)Äëÿ âñåõ óðàâíåíèé ñòàâèòñÿ çàäà÷à Êîøè: íàéòè ðåøåíèå óäîâëåòâîðÿþùååóñëîâèÿìu(x, 0) = f (x);∂u(x, 0) = F (x),∂t52(2.5)f (x) è F (x), êàê è âûøå, äîñòàòî÷íî ãëàäêàÿ ôóíêöèÿ, f (x) íà÷àëüíîå ðàñòÿæåíèå ñòåðæíÿ âäîëü îñè, F (x) íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü ñå÷åíèÿ ñ àáñöèññîéx.Äëÿ êîíå÷íîãî ñòåðæíÿ, çàíèìàþùåãî îòðåçîê [0, `] îñè 0x, ñòàâÿòñÿ êðàåâûå çàäà÷è.
Ïåðå÷èñëèì îñíîâíûå.1). Îäèí èç êîíöîâ èëè îáà æåñòêî çàêðåïëåíû, òî åñòü ñìåùåíèå â ãðàíè÷íûõ òî÷êàõ ðàâíî íóëþ äëÿ ëþáîãî t > 0:u(0, t) = 0,(2.6)u(`, t) = 0.(2.7)2). Ìÿãêîå çàêðåïëåíèå. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êîíöû (÷àùå âñåãî îäèí èç íèõ)ñîâåðøàþò ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ, íàòÿæåíèå íà êîíöàõ ðàâíî íóëþ. Èìååìïðè x = 0: T |x=0 = Eσ ∂u∂x |x=0 = 0, à òàê êàê Eσ 6= 0, òî∂u|= 0.∂x x=0(2.8)∂u|= 0.∂x x=`(2.9)Àíàëîãè÷íî â ñå÷åíèè x = `:3). Óïðóãîå çàêðåïëåíèå.  ýòîì ñëó÷àå íà êîíöàõ äåéñòâóåò âíåøíåå ñîïðîòèâëåíèå, ïðîïîðöèîíàëüíîå îòêëîíåíèþ u. Íàïðèìåð, ïðè x = 0 èìååì(αu + β ∂u∂x ) |x=0 = 0 . Ó÷èòûâàÿ íàïðàâëåíèå ñèë íàòÿæåíèÿ ïðè x = 0 êðàåâîåóñëîâèå çàïèñûâàåòñÿ òàê:(u − h1∂u)|= 0,∂x x=053h1 > 0.(2.10)Ïðè x = `(u + h2∂u)|= 0,∂x x=`h2 > 0.(2.11)Êðàåâûå óñëîâèÿ ìîãóò áûòü íåîäíîðîäíûìè, òèïàu(0, t) = ϕ(t),u(`, t) = ψ(t)è òàê äàëåå. êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó.Ïðèìåð 2.
Îäèí êîíåö ñòåðæíÿ çàêðåïëåí, à íà äðóãîé äåéñòâóåò ïîñòîÿííàÿ ñèëà Q. Íàéòè ïðîäîëüíûå êîëåáàíèÿ ñòåðæíÿ, åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò,t = 0, ñèëà ïåðåñòàåò äåéñòâîâàòü.Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êîíåö x = 0 çàêðåïëåí è èìååò ìåñòî òðåáîâàíèå (2.6),à êîíåö x = l èìååò ìÿãêîå çàêðåïëåíèå (2.9).Ïî óñëîâèþ çàäà÷è íåòðóäíî ñîîáðàçèòü, ÷òî íà÷àëüíûå ñêîðîñòè ñå÷åíèéñòåðæíÿ ðàâíû íóëþ, ÷òî îçíà÷àåò∂u(x, 0) = 0∂t(2.12)Íà÷àëüíûå îòêëîíåíèÿ íàéäåì èç óñëîâèÿ, ÷òî ñòåðæåíü áûë ïðåäâàðèòåëüíîðàñòÿíóò ñèëîé Q è âñÿ ñèñòåìà íàõîäèëàñü â ðàâíîâåñèè äî t = 0. Òî÷íåå ñèëûíàòÿæåíèÿ T ïðè x = l ðàâíÿëèñü Q.
Ïî çàêîíó Ãóêà T = Eσ ∂u∂x (ñì. [1] ñòð.76.)Òàêèì îáðàçîì, ïðè t = 0 âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî T = Eσ ∂u∂x = Q . Îòñþäà∂u∂x=QEσ. Èíòåãðèðóÿ ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå, ïîëó÷àåì u(x, 0) =QEσ x+C .Ïî-ñòîÿííóþ C íàéäåì, èñïîëüçóÿ óñëîâèå (2.6), êîòîðîå âûïîëíÿåòñÿ ïðè ëþáîìt ≥ 0. Ïðè t = 0 u(0, 0) = C = 0. Èòàê, íà÷àëüíûå îòêëîíåíèÿ ðàâíûu|t=0 =Qx.Eσ(2.13)Âñå íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ïîñòàíîâêè çàäà÷è îïðåäåëåíû è ìû ïðèñòóïà54åì ê åå ðåøåíèþ.
Èùåì ÷àñòíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.4), óäîâëåòâîðÿþùèåòîëüêî êðàåâûì óñëîâèÿì (2.6) è (2.9), â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ u(x, t) = X(x)T (t).Ïîäñòàâëÿÿ ôóíêöèþ u â (2.4) è ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå x è t, ïîëó÷àåì, êàê èâûøå, ðàâåíñòâî (1.12), èç êîòîðîãî ñëåäóåò, ÷òî êàæäàÿ äðîáü ðàâíà íåêîòîðîé ïîñòîÿííîé, ñêàæåì µ,T 00 (t)X 00 (x)== µ.a2 T (t)X(x)(2.14)Êàê è ðàíüøå, êðàåâûå óñëîâèÿ ìîæíî óäîâëåòâîðèòü òîëüêî ñ ïîìîùüþôóíêöèè X(x). Îíè çàïèñûâàþòñÿ â âèäåX(0) = 0,(2.15)X 0 (`) = 0.(2.16)Íåñëîæíûé àíàëèç ïîêàçûâàåò, ÷òî ýòî ìîæíî äîñòè÷ü ëèøü ïðè îòðèöàòåëüíîì çíà÷åíèè µ, äëÿ ïðîñòîòû µ = −λ2 . Âíîâü ïîëó÷èëè çàäà÷ó Øòóðìà Ëèóâèëëÿ â òàêîé ïîñòàíîâêå: íàéòè çíà÷åíèÿ λ, ïðè êîòîðûõ óðàâíåíèåX 00 (x) + λ2 X(x) = 0(2.17)èìååò íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì (2.15) è (2.16), èñàìè ýòè ðåøåíèÿ.
Îáùåå ðåøåíèå (2.17) çàïèñûâàåòñÿ â âèäåX(x) = C1 cos λx + C2 sin λx.Åñëè x = 0, òî ñëåäóåò ðàâåíñòâî C1 = 0. Íàõîäèì ïðîèçâîäíóþX 0 (x) = C2 λ cos λxè, ïîëàãàÿ â ïîñëåäíåì ðàâåíñòâå x = `, ïîëó÷àåì X 0 (`) = C2 λ cos λ` = 0. Ïî55ñòîÿííóþ C2 , êîòîðàÿ íå áóäåò ðàâíÿòüñÿ íóëþ, äëÿ ïðîñòîòû ïîëàãàåì ðàâíîéåäèíèöå, λ òîæå íå ðàâíà íóëþ.
Çíà÷èò, âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî cos λ` = 0 èλ` = π2 (2k+1), k ∈ Z . Îòñþäà íàõîäèì λk =π2` (2k+1)πè Xk (x) = sin 2`(2k+1)x.Çàìåòèì, ÷òî îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ k íå äàþò ñóùåñòâåííî íîâûõ ðåøåíèéè ïîýòîìó ïîëàãàåì k = 0; 1; è òàê äàëåå.Ïåðåéäåì ê îïðåäåëåíèþ ñîìíîæèòåëåé T (t), êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ T 00 (t) +πa2` (2k+ 1)2T (t) = 0 Îáùåå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ îáîçíà-÷èì Tk (t) è çàïèøåì â âèäåTk (t) = ak cosππ(2k + 1)at + bk sin (2k + 1)at2`2`, çäåñü ak è bk íåêîòîðûå íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû. Èñêîìûå ÷àñòíûåðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (2.4) uk = Xk (x)Tk (t).
Ôîðìàëüíîå ðåøåíèå ïðåäñòàâëÿåìâ âèäå ðÿäàu(x, t) =∞ Xk=0πππak cos (2k + 1)at + bk sin (2k + 1)at sin (2k + 1)x. (2.18)2`2`2`Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ðÿä (2.18) ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî â îáëàñòè 0 < x < `, t > 0.Íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû íàéäåì èç ðàñ÷åòà óäîâëåòâîðèòü íà÷àëüíûì óñëîâèÿì (2.12) è (2.13).
Âûïîëíåíèå óñëîâèÿ (2.12), ðàâåíñòâî íóëþ íà÷àëüíûõñêîðîñòåé, îçíà÷àåò, ÷òî âñå bk = 0 . Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ak â ðàâåíñòâå (2.18)ïîëîæèì t = 0 è ó÷òåì òðåáîâàíèå (2.13). Ïîëó÷àåìu(x, 0) =∞Xk=0ak sinπQ(2k + 1)x =x.2`Eσ(2.19)πÇàìåòèì, ÷òî ñèñòåìà ñèíóñîâ {sin 2`(2k + 1)x} îðòîãîíàëüíà íà îòðåçêå [0, `]èR`0πsin2 2`(2k + 1)dx =`2äëÿ ëþáîãî öåëîãî k ≥ 0. Ýòî ïîçâîëÿåò ñ÷èòàòü ðÿä(2.19) îáîáùåííûì ðÿäîì Ôóðüå.
Êîýôôèöèåíòû åãî çàïèñûâàþòñÿ â âèäå56ak =2`R`0QπEσ x sin 2` (2k+ 1)xdx . Èíòåãðàë áåðåòñÿ ïî ÷àñòÿì, ïîëàãàÿ u = x,2`ππ(2k + 1)xdx. Äàëåå du = dx, v = − π(2k+1)cos 2`(2k + 1)x . Òåïåðüdv = sin 2`ak = −4Qx cos π (2k + 1)x |`0 −Eσπ(2k + 1)2`Z`cosπ(2k + 1)xdx .2`0Âíåûíòåãðàëüíûé ÷ëåí ðàâåí íóëþ, íà íèæíåì ïðåäåëå çà ñ÷åò ìíîæèòåëÿ x,íà âåðõíåì â ñèëó ðàâåíñòâà íóëþ êîñèíóñà. Âû÷èñëÿÿ îñòàâøèéñÿ èíòåãðàë,óñòàíàâëèâàåì, ÷òî`8Q`π .ak =sin(2k+1)x22Eσπ (2k + 1)2`0Ïîäñòàâëÿÿ ïðåäåëû èíòåãðèðîâàíèÿ è ó÷èòûâàÿ, ÷òî sin π2 (2k + 1) = (−1)kÎêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåìak = (−1)k8Q`.Eσπ 2 (2k + 1)2Íàéäåííûå êîýôôèöèåíòû ïîäñòàâëÿåì â ñîîòíîøåíèå (2.18) è ïî òðàäèöèèïîñòîÿííûå ìíîæèòåëè (íå çàâèñÿùèå îò k ) âûíîñèì çà çíàê ñóììû. Èñêîìîåðåøåíèå ðàâíî∞8Q` X (−1)kππu(x, t) =cos(2k+1)atsin(2k + 1)x.Eσπ 2(2k + 1)22`2`k=02.3 Îáùàÿ ñõåìà Ôóðüå.Ó÷èòûâàÿ ìíîãîîáðàçèå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è êðàåâûõ óñëîâèé ïîëåçíî ðàññìîòðåòü äîñòàòî÷íî îáùóþ ïîñòàíîâêó çàäà÷, îáúåäèíåííûìè áëèçêèìè ìåòîäàìè ðåøåíèÿ.
Ïóñòü â îáëàñòè 0 < x < l, t > 0 òðåáóåòñÿ57íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ∂ 2u∂∂uρ(x) 2 =p(x)− q(x)u,∂t∂x∂x(3.1)óäîâëåòâîðÿþùåå êðàåâûì óñëîâèÿìαu(0, t) − β∂u(0, t) = 0,∂x(3.2)γu(`, t) + δ∂u(`, t) = 0,∂x(3.3)ïðè t > 0 è íà÷àëüíûì óñëîâèÿìu(x, 0) = f (x),(3.4)∂u(x, 0) = F (x),∂t(3.4)ãäå f (x) è F (x) äîñòàòî÷íî ãëàäêèå íà [0, `] ôóíêöèè. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ρ(x),p(x), p0 (x) è q(x) íåïðåðûâíû íà [0, `], ρ(x) > 0, p(x) > 0, q(x) ≥ 0; α, β , γ , δ íåîòðèöàòåëüíûå ïîñòîÿííûå è α + β > 0, γ + δ > 0.Ïîñòàâëåííàÿ íà÷àëüíàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à ìîæåò áûòü ðåøåíà ìåòîäîì Ôóðüå.
Èùåì ñíà÷àëà íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (3.1) â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ u(x, t) = X(x)T (t), óäîâëåòâîðÿþùèå êðàåâûì óñëîâèÿì (3.2) è (3.3).Ïîäñòàâëÿÿ u(x, t) â (3.1), ïîëó÷àåìρ(x)T 00 (t)X(x) = T (t)dXd(p(x)) − q(x)T (t)X(x).dxdxÐàçäåëèì ïåðåìåííûå(p(x)X 0 (x))0 − q(x)X(x) T 00 (t)== −λ.ρ(x)T (t)Çäåñü ìû, êàê è âûøå, ïðèðàâíÿåì ëåâóþ è ïðàâóþ ÷àñòè ïîñòîÿííîé −λ, èñõîäÿ èç ðàíåå ïðèâåäåííûõ ðàññóæäåíèé îá óñëîâèè òîæäåñòâåííîãî ðàâåíñòâà58äâóõ ôóíêöèé îò ðàçíûõ, íåçàâèñèìûõ àðãóìåíòîâ. Òåïåðü äëÿ X(x) èìååìóðàâíåíèå(p(x)X 0 (x))0 + (λρ(x) − q(x))X(x) = 0(3.7)ñ íåèçâåñòíûì ïàðàìåòðîì λ.
Äëÿ (3.7) ñòàâèòñÿ êðàåâàÿ çàäà÷à. Èñêîìîåðåøåíèå X(x) äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿì:αX(0) − βX 0 (0) = 0,(3.8)γX(`) + δX 0 (`) = 0.(3.9)Ïîñòàâëåííàÿ çàäà÷à íàçûâàåòñÿ çàäà÷åé Øòóðìà-Ëèóâèëëÿ è ñòðîãî ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.ÇÀÄÀ×À ØÒÓÐÌÀ-ËÈÓÂÈËËß. Íàéòè òàêèå çíà÷åíèÿ λ, íàçûâàåìûåñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè, ïðè êîòîðûõ ñóùåñòâóåò íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèåóðàâíåíèÿ (3.1), óäîâëåòâîðÿþùåå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (3.2), (3.3), à òàêæåíàéòè ýòè ðåøåíèÿ, íàçûâàåìûå ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè.Èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå îñíîâíûå òåîðåìû äëÿ çàäà÷è Øòóðìà - Ëèóâèëëÿ.1.
Ñóùåñòâóåò ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèéλ1 < λ2 < . . . < λn < . . . ,êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò ñîáñòâåííûå ôóíêöèè ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãîìíîæèòåëÿX1 (x), X2 (x), ... Xn (x), ...2. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ íåîòðèöàòåëüíû, ïðè÷åì λ = 0 ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåí59íûì çíà÷åíèåì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà q(x) ≡ 0 íà [0, `] è α = γ = 0.3.
Cîáñòâåííûå ôóíêöèè íà îòðåçêå [0, `] îáðàçóþò îðòîãîíàëüíóþ ñèñòåìóñ âåñîì ρ(x), òî åñòüZ`0 0, m 6= nρ(x)Xm (x)Xn (x)dx = 6= 0, m = n4. Òåîðåìà Ñòåêëîâà. Âñÿêàÿ ôóíêöèÿ f (x), óäîâëåòâîðÿþùàÿ ãðàíè÷íûìóñëîâèÿì (3.8), (3.9) è èìåþùàÿ äâå íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûå, ðàçëàãàåòñÿâ àáñîëþòíî è ðàâíîìåðíî ñõîäÿùèéñÿ ðÿä Ôóðüå ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿìXn (x):f (x) =∞Xan Xn (x),0 ≤ x ≤ `,n=1R`an =ρ(x)f (x)Xn (x)dx0R`.ρ(x)Xn2 (x)dx0Äëÿ êàæäîãî ñîáñòâåííîãî çíà÷åíèÿ λn ðåøàåì óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíîT (t)T 00 (t)= −λnT (t)èëèTn00 (t) + λn Tn (t) = 0,Îáùèå ðåøåíèÿ ýòèõ óðàâíåíèé èìåþò âèä:60n = 1; 2....Tn (t) = An cos√λn t + Bn sin√λn t,ãäå An , Bn - ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷èì ñ÷åòíîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (3.1) âèäàun (x, t) = Tn (t)Xn (x) = (An cosppλn t + Bn sin λn t)Xn (x),êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (3.8) è (3.9).×òîáû óäîâëåòâîðèòü íà÷àëüíûì óñëîâèÿì (3.4) è (3.5), ñîñòàâèì ðÿäu(x, t) =∞X(An sinppλn t + Bn cos λn t)Xn (x)(3.10)n=1Åñëè ýòîò ðÿä ñõîäèòñÿ ðàâíîìåðíî, òàê æå êàê è ðÿäû, ïîëó÷àþùèåñÿ èç íåãîäâóêðàòíûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïî x è ïî t, òî ñóììà åãî áóäåò óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ (3.1) è êðàåâûì óñëîâèÿì (3.2) è (3.3).Òîãäà äëÿ âûïîëíåíèÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé (3.4) è (3.5) íàäî, ÷òîáûu(x, t) =∞XAn Xn (x) = f (x),(3.11)n=1∞∂u(x, 0) X p=λn Bn Xn (x) = F (x).∂tn=1(3.12)Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ôóíêöèè f (x) è F (x) óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì òåîðåìûÑòåêëîâà, òåïåðü èõ äåéñòâèòåëüíî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðÿäîâ (3.11) ,(3.12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
