А.Д. Алексеев, С.Н. Кудряшов - Уравнения с частными производными в примерах и задачах (1120422)
Текст из файла
Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå îáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèåâûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ"ÞÆÍÛÉ ÔÅÄÅÐÀËÜÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ"Àëåêñååâ À.Ä., Êóäðÿøîâ Ñ.Í.ÓÐÀÂÍÅÍÈß Ñ ×ÀÑÒÍÛÌÈ ÏÐÎÈÇÂÎÄÍÛÌÈ ÂÏÐÈÌÅÐÀÕ È ÇÀÄÀ×ÀÕ(ó÷åáíîå ïîñîáèå)Ðîñòîâ-íà-Äîíó2008Àëåêñååâ Àíàòîëèé Äìèòðèåâè÷ äîöåíò êàôåäðû äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé ÞÔÓ.Êóäðÿøîâ Ñòàíèñëàâ Íèêèôèðîâè÷ äîöåíò êàôåäðû äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé ÞÔÓ.Óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè â ïðèìåðàõ è çàäà÷àõ.Ó÷åáíîå ïîñîáèå, Ðîñòîâ-íà-Äîíó, 2008, 98 ñòð.
Äàííîå ó÷åáíîå ïîñîáèå ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì çíà÷èòåëüíîé ïåðåðàáîòêè ÷åòûðåõ ìåòîäè÷åñêèõ óêàçàíèéÀëåêñååâà À.Ä. , Ðàä÷åíêî Ò.Í. , Ðîãîæèíà Â.Ñ. è Õàñàáîâà Ý.Ã. , îïóáëèêîâàííûõ â ÓÏË ÐÃÓ â 1992 ãîäó. Äîáàâëåíî ìíîãî íîâûõ çàäà÷, ïðèâåäåíûïîäðîáíûå ðåøåíèÿ ñòàíäàðòíûõ çàäà÷. Ðàñøèðåíà òåîðåòè÷åñêàÿ ÷àñòü. ïîñîáèè ðàññìàòðèâàþòñÿ çàäà÷è íà êëàññèôèêàöèþ äèôôåðåíöèàëüíûõóðàâíåíèé ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè âòîðîãî ïîðÿäêà, ïðèâåäåíèþ èõ ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó, íàõîæäåíèþ îáùåãî ðåøåíèÿ è ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿóðàâíåíèé ãèïåðáîëè÷åñêîãî òèïà.Îíî áóäåò ïîëåçíî ïðè èçó÷åíèè òåîðåòè÷åñêîãî êóðñà "Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè"ñòóäåíòàìè ôàêóëüòåòà ìåõàíèêè, ìàòåìàòèêè è êîìïüþòåðíûõ íàóê, ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà è ôàêóëüòåòà âûñîêèõ òåõíîëîãèé.1. ÏÐÈÂÅÄÅÍÈÅ Ê ÊÀÍÎÍÈ×ÅÑÊÎÌÓ ÂÈÄÓ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ Â×ÀÑÒÍÛÕ ÏÐÎÈÇÂÎÄÍÛÕ ÂÒÎÐÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ. ýòîì ðàçäåëå ðàññìàòðèâàþòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà, ëèíåéíûå îòíîñèòåëüíî âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ,ñëåäóþùåãî âèäà:∂ 2u∂ 2u∂ 2u∂u ∂uA 2 + 2B+ C 2 + f (x, y, u, , ) = 0.∂x∂x∂y∂y∂x ∂y(1.1)Çäåñü u = u(x, y) - èñêîìàÿ ôóíêöèÿ, A = A(x, y), B = B(x, y), C = C(x, y),∂uf (x, y, u, ∂u∂x , ∂y ) - çàäàííûå ôóíêöèè, ïðè÷åì À, Â, Ñ â ðàññìàòðèâàåìûõ îá-ëàñòÿõ íåïðåðûâíû âìåñòå ñî ñâîèìè ïðîèçâîäíûìè.Âûðàæåíèå ∆ = B 2 − AC íàçûâàåòñÿ äèñêðèìèíàíòîì ýòîãî óðàâíåíèÿ.Åñëè â íåêîòîðîé îáëàñòè D ïëîñêîñòè õó âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî ∆ > 0,óðàâíåíèå (1.1) íàçûâàåòñÿãèïåðáîëè÷åñêèìâ îáëàñòè D óðàâíåíèå (1.1) íàçûâàåòñÿâ ýòîé îáëàñòè.
Ïðè ∆ = 0ïàðàáîëè÷åñêèì,à ïðè ∆ < 0 âD − ýëëèïòè÷åñêèì â îáëàñòè D.Çàìåíîé ïåðåìåííûõ õ, ó íà íîâûå ξ , η ïî ôîðìóëàìξ = ϕ1 (x, y), η = ϕ2 (x, y)ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì âûáîðå ôóíêöèé ϕ1 (x, y),(1.2)ϕ2 (x, y) â êàæäîì èç óêàçàí-íûõ òðåõ ñëó÷àåâ óðàâíåíèå (1.1) ìîæåò áûòü ïðèâåäåíî ê òàê íàçûâàåìîìóêàíîíè÷åñêîìó∂2u∂ξ∂η∂2u∂2ηâèäó, à èìåííî, ê âèäó∂u= F (ξ, η, u, ∂u∂ξ , ∂η ) â ñëó÷àå ãèïåðáîëè÷åñêîãî,∂u= F (ξ, η, u, ∂u∂ξ , ∂η ) â ñëó÷àå ïàðàáîëè÷åñêîãî è∂2u ∂2u∂2ξ + ∂2η∂u= F (ξ, η, u, ∂u∂ξ , ∂η ) â ñëó÷àå ýëëèïòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (ïðè ýòîì óðàâ-íåíèå (1.1) ÷àñòî çàìåòíî óïðîùàåòñÿ).Ïðè îñóùåñòâëåíèè óêàçàííîé çàìåíû ïåðåìåííûõ ïîíàäîáèòñÿ âûðàæå3íèå õ è ó ÷åðåç ξ è η .
Ò. å. ñèñòåìà óðàâíåíèé (1.2) äîëæíà áûòü ðàçðåøèìîéîòíîñèòåëüíî õ è ó. Èçâåñòíî, ÷òî óñëîâèåì òàêîé ðàçðåøèìîñòè ÿâëÿåòñÿíåðàâåíñòâî∂(ϕ1 , ϕ2 )= det∂(x, y)∂ϕ1 ∂x∂ϕ1∂y ∂ϕ2∂xÏîýòîìó ïðè âûáîðå ôóíêöèé ϕ1 ,∂ϕ2∂y= det∂ξ ∂x∂η∂x∂ξ∂y ∂η∂y6= 0(1.3)ϕ2 ìû äîëæíû çàáîòèòüñÿ î òîì, ÷òîáû âðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè îíè óäîâëåòâîðÿëè ýòîìó íåðàâåíñòâó.Äëÿ íàõîæäåíèÿ ôóíêöèé ϕ1 (x, y),ϕ2 (x, y), ïðè êîòîðûõ çàìåíà ïåðåìåí-íûõ (1.2) ïðèâîäèò óðàâíåíèå (1.1) ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó, ñîñòàâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèåAdy 2 − 2Bdxdy + Cdx2 = 0Îíî íàçûâàåòñÿõàðàêòåðèñòè÷åñêèì(1.4).äëÿ óðàâíåíèÿ (1.1).Åñëè A(x, y) ≡ C(x, y) ≡ 0 â îáëàñòè D, òî B(x, y) 6= 0 â D (èíà÷å óðàâíåíèå (1.1) íå ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì âòîðîãî ïîðÿäêà â ýòîé îáëàñòè).
Òîãäàóðàâíåíèå (1.1) ÿâëÿåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêèì â óêàçàííîé îáëàñòè è ïîñëå äåëåíèÿ íà Â(õ,ó) ïðèîáðåòàåò êàíîíè÷åñêèé âèä. Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì íàñáóäóò èíòåðåñîâàòü ñëó÷àè, êîãäà â D èëè A 6= 0, èëè C 6= 0.Ïðè A 6= 0 óðàâíåíèå (1.4)ðàçðåøàåòñÿ îòíîñèòåëüíî dy è ðàñïàäàåòñÿ íàäâà óðàâíåíèÿAdy − (B +Ady − (B −√∆)dx = 0(1.51 )√∆)dx = 0(1.52 )(ïðè C 6= 0 óðàâíåíèå (1.4)ðàñïàäàåòñÿ íà äâà óðàâíåíèÿCdx − (B +√Cdx − (B −∆)dy = 0,4√∆)dy = 0).1) Ïóñòü óðàâíåíèå (1.1) â îáëàñòè D ÿâëÿåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêèì (∆ > 0)è, äëÿ îïðåäåëåííîñòè A 6= 0.
Òîãäà óðàâíåíèÿ (1.51 ) è (1.52 ) ðàçëè÷íû è äåéñòâèòåëüíû.  ýòîì ñëó÷àå äëÿ ïðèâåäåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.1) ê êàíîíè÷åñêîìóâèäó ñëåäóåò â ôîðìóëàõ (1.2) â êà÷åñòâå ϕ1 (x, y) âçÿòü êàêîé-íèáóäü èíòåãðàë óðàâíåíèÿ (1.51 ), à â êà÷åñòâå ϕ2 (x, y) - êàêîé-íèáóäü èíòåãðàë óðàâíåíèÿ (1.52 ) (èëè íàîáîðîò), òàê ÷òîáû äëÿ íèõ âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî (1.3).Òàêîé âûáîð èíòåãðàëîâ óêàçàííûõ óðàâíåíèé âñåãäà âîçìîæåí.Åñëè îáùåå ðåøåíèå îáûêíîâåííîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà ðàçðåøåíî îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëüíîé ïîñòîÿííîé, òî åñòü çàïèñàíî â âèäå ðàâåíñòâà ϕ(x, y) = C , òî ýòî ðàâåíñòâî íàçûâàåòñÿ îáùèì èíòåãðàëîì ðàññìàòðèâàåìîãî óðàâíåíèÿ, à âõîäÿùàÿ â íåãî ôóíêöèÿ ϕ(x, y) èíòåãðàëîì ýòîãî óðàâíåíèÿ.2)  ñëó÷àå ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (∆ = 0) óðàâíåíèÿ (1.51 ) è (1.52 )îäèíàêîâû è èìåþò âèä:Ady − Bdx = 0.(1.5) ýòîì ñëó÷àå äëÿ ïðèâåäåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.1) ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó â êà÷åñòâå îäíîé èç ôóíêöèéϕ1 (x, y),ϕ2 (x, y)ñëåäóåò âçÿòü êàêîé-íèáóäü èíòåãðàë óðàâíåíèÿ (1.5).
Äðóãóþ æå èç ýòèõôóíêöèé ìîæíî âûáðàòü ïðîèçâîëüíî, íî òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî (1.3) (ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî â êà÷åñòâå ýòîé äðóãîé ôóíêöèè âñåãäà ãîäèòñÿ èëè õ, èëè ó).3) Åñëè ∆ < 0 â îáëàñòè D, ò.å. óðàâíåíèå (1.1)ëàñòè, òî êîýôôèöèåíòû B ±√ýëëèïòè÷åñêîåâ ýòîé îá-∆ â óðàâíåíèÿõ (1.51 ) è (1.52 ) êîìïëåêñíû.Ïîýòîìó êîìïëåêñíû è èíòåãðàëû ýòèõ óðàâíåèé.
Äëÿ ïðèâåäåíèÿ óðàâíåíèÿ(1.1) ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó â ýòîì ñëó÷àå äîñòàòî÷íî âçÿòü êàêîé-íèáóäü èí5òåãðàë ϕ(x, y) ëþáîãî èç óðàâíåíèé (1.51 ), (1.52 ) è â ôîðìóëàõ (1.2) ïîëîæèòüϕ1 (x, y) = Reϕ(x, y), ϕ2 (x, y) = Imϕ(x, y) (èëè íàîáîðîò).Ïðè çàìåíå ïåðåìåííûõ (1.2) ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè u ïî ñòàðûì ïåðåìåííûì õ, ó, êàê èçâåñòíî èç àíàëèçà, âûðàæàþòñÿ ÷åðåç åå ïðîèçâîäíûå ïî íîâûìïåðåìåííûì ξ,η ïî ñëåäóþùèì ôîðìóëàì:∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η=+,∂x∂ξ ∂x ∂η ∂x∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η=+,∂y∂ξ ∂y ∂η ∂y∂ 2 u ∂ 2 u ∂ξ 2∂ 2 u ∂ξ ∂η ∂ 2 u ∂η 2 ∂u ∂ 2 ξ ∂u ∂ 2 η=(( ) ++,)+2+∂x2∂ξ 2 ∂x∂ξ∂η ∂x ∂x ∂η 2 ∂x∂ξ ∂x2 ∂η ∂x2(1.6)∂ 2 u ∂ 2 u ∂ξ 2∂ 2 u ∂ξ ∂η ∂ 2 u ∂η 2 ∂u ∂ 2 ξ ∂u ∂ 2 η= 2( ) + 2( ) ++,+∂y 2∂ξ ∂y∂ξ∂η ∂y ∂y ∂η 2 ∂y∂ξ ∂y 2 ∂η ∂y 2∂ 2u∂ 2 u ∂ξ ∂ξ∂ 2 u ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η∂ 2 u ∂η ∂η ∂u ∂ 2 ξ∂u ∂ 2 η= 2+(+)+ 2++.∂x∂y∂ξ ∂x ∂y ∂ξ∂η ∂x ∂y ∂y ∂x∂η ∂x ∂y ∂ξ ∂x∂y ∂η ∂x∂yÏîäðîáíîå îáîñíîâàíèå îïèñàííîãî ìåòîäà ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, âÈ.Ã. Ïåòðîâñêèé, Ëåêöèè îá óðàâíåíèÿõ ñ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûìè, 1961 ã.ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 1.
Ïðè íàõîæäåíèè ôóíêöèé ϕ1 (x, y),ϕ2 (x, y) ïîëåçíîèìåòü â âèäó ñëåäóþùèé èçâåñòíûé èç òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ôàêò:åñëè ϕ(x, y) åñòü èíòåãðàë óðàâíåíèÿ M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 (óðàâíåíèÿ(1.51 ), (1.52 ), (1.5) èìåííî òàêîâû), òî Φ(ϕ(x, y)), ãäå Φ(z) - ëþáàÿ äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ, òàêæå ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì ýòîãî óðàâíåíèÿ.6Íàïðèìåð, åñëè ln(x + y − 5) ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì óêàçàííîãî óðàâíåíèÿ,òî ôóíêöèÿ õ+ó òàêæå ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì ýòîãî óðàâíåíèÿ.
 ñàìîì äåëå, x + y = eln(x+y−5) + 5, à ôóíêöèÿ Φ(z) = ez + 5 äèôôåðåíöèðóåìà ïðèëþáîì z.ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 2. Àíàëîãè÷íîå ðàññóæäåíèå îòíîñèòñÿ è ê óðàâíåíèÿì ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà. Òàê, åñëè ϕ(x, y) = c îáùèé èíòåãðàë óðàâíåíèÿ (1.5), òîâ êà÷åñòâå çàìåíû áåðåìξ = ϕ(x, y)èëèξ = Φ(ϕ(x, y)),ãäå Φ(z) òîæå, ÷òî è âûøå. Ïóñòü, íàïðèìåð, (1.5) çàïèñàëîñü â âèäå3xdy + ydx = 0.Ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå, ïîëó÷èìdydx=−y3xèëèlnx+ ln c.3√√Îòñþäà îáùèé èíòåãðàë çàïèøåòñÿ â âèäå y 3 x = c. Íî çàìåíà ξ = y 3 x√íåóäîáíà. Ëó÷øå ξ = (y 3 x)3 èëè ξ = y 3 x. Ïðè ïîäñòàíîâêå ïîñëåäíåé ðåäàêln |y| = −öèè ξ "õëîïîò" áóäåò ïîìåíüøå.Äëÿ óðàâíåíèÿ ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà èçìåíÿòü ϕ1 (x, y) è ϕ2 (x, y) íåëüçÿ.Ìàêñèìóì äîïóñòèìîãî óìíîæèòü íà −1 äëÿ óäîáñòâà.
Ñìîòðèòå ñëåäóþùèéïðèìåð 1.Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ïðèìåðû çàäà÷.7ÏÐÈÌÅÐ 1. Óðàâíåíèå2u∂ 2u∂u2∂ uy+2xy+2x+y=0∂x2∂x∂y∂y 2∂y2∂2ïðèâåñòè ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó â îáëàñòè x 6= 0,(1.7)y 6= 0.Èìååì: ∆ = B 2 −AC = x2 y 2 −2x2 y 2 < 0 â óêàçàííîé îáëàñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîé îáëàñòè çàäàííîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ ýëëèïòè÷åñêèì. Ñîñòàâëÿåìäëÿ íåãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå:y 2 dy 2 − 2xydxdy + 2x2 dx2 = 0.Ðàçðåøàÿ åãî îòíîñèòåëüíî dy, ïîëó÷àåì äâà óðàâíåíèÿ:ydy − (1 + i)xdx = 0 è ydy − (1 − i)xdx = 0.Íàéäåì èíòåãðàë êàêîãî-íèáóäü èç ýòèõ óðàâíåíèé (íàïðèìåð, ïåðâîãî).
Òàêêàê−y 2 + (1 + i)x2 = Cåñòü îáùåå ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ, åãî èíòåãðàëîì ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíàÿôóíêöèÿϕ(x, y) = x2 − y 2 + ix2 .Êàê óêàçûâàëîñü âûøå, äëÿ ïðèâåäåíèÿ çàäàííîãî óðàâíåíèÿ ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó äîñòàòî÷íî ïðîèçâåñòè çàìåíó ïåðåìåííûõ:ξ = Reϕ(x, y) = x2 − y 2 ,η = Imϕ(x, y) = x2 .(1.8)Ëåãêî âèäåòü, ÷òî óñëîâèå (1.3) äëÿ ýòèõ ôóíêöèé âûïîëíÿåòñÿ. Ïðîèçâîäÿ8çàìåíó (1.8), ìû ïî ôîðìóëàì (1.6) ïîëó÷àåì:∂u ∂u∂u=2x +2x,∂x∂ξ∂η∂u∂u= −2y ,∂y∂ξ2∂u∂ 2u2∂ u= −2+ 4y,∂y 2∂ξ∂ξ 2∂ 2u∂ 2u∂ 2u= −4xy( 2 +),∂x∂y∂ξ∂ξ∂η2∂ 2u∂u∂u∂u∂ 2u2 ∂ u=2+2+ 4x ( 2 + 2+).∂x2∂ξ∂η∂ξ∂ξ∂η ∂η 2Ïîäñòàâèâ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ â (1.7) è çàìåíèâ õ è ó íà ξ è η ïî ôîðìóëàì(1.8), ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó êàíîíè÷åñêîìó óðàâíåíèþ1 ∂u1 ∂u∂ 2u ∂ 2u+−+= 0.∂ξ 2 ∂η 2 η − ξ ∂ξ 2η ∂ηÈíîãäà ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó óðàâíåíèå íàñòîëüêî óïðîùàåòñÿ, ÷òî åãî îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì ðåøèòü.
Ïðåæäå ÷åì ïðèâåñòè òàêèåïðèìåðû, ðàññìîòðèì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå (ïîõîæåå íà îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè),∂v= f (ξ)g(v),∂ξãäå v = v(ξ, η) - èñêîìàÿ, à f (ξ) è g(v) - çàäàííûå ôóíêöèè. Ïóñòü dξ v =(1.9)∂v∂ξ dξåñòü ÷àñòíûé äèôôåðåíöèàë (äèôôåðåíöèàë ôóíêöèè v ïðè dη = 0, ò.å. âûçâàííûé ïðèðàùåíèåì dξ îäíîé ëèøü ïåðåìåííîé ξ ) ïî ξ ôóíêöèè v(ξ, η).Òîãäà ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿäâóõ äèôôåðåíöèàëîâ:∂v∂ξ=∂v∂ξ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå îòíîøåíèÿdξ vdξ . Ýòî ïîçâîëÿåò íàì óðàâíåíèþ (1.9) ïðèäàòü9ñëåäóþùèé âèä:Zdξdξ vg(v)− f (ξ)dξ = 0. À òàê êàêZZ∂dvddv ∂vdξ vdv= ()dξ = () dξ =g(v) ∂ξg(v)dvg(v) ∂ξg(v)èZdf (ξ)dξ = f (ξ)dξ,åãî ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:Zdξdv−dg(v)Z(1.91 )f (ξ)dξ = 0.à) ïóñòü ôóíêöèÿ v = ve(ξ, η), åñòü êàêîå-íèáóäü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.91 )(à, ñëåäîâàòåëüíî, è óðàâíåíèÿ (1.9)). Òîãäà ñïðàâåäëèâîZdξ (dv|v=ev(ξ,η) ) − dg(v)ZZf (ξ)dξ = dξ (dv|v=ev(ξ,η) −g(v)Zf (ξ)dξ) ≡ 0, (1.10)À ýòî çíà÷èò, ÷òî âûðàæåíèå â ñêîáêàõ íå çàâèñèò îò ξ , ò.å.Zdv|v=ev(ξ,η) −g(v)Zf (ξ)dξ ≡ C(η),(1.11)ãäå C(η) - ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
