А.Д. Алексеев, С.Н. Кудряшов - Уравнения с частными производными в примерах и задачах (1120422), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Õàðàêòåðèñòèêè ϕ1 (x, y) = C1 ,ϕ2 (x, y) = C2 íàçûâàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, åñëè íåçàâèñèìû èíòåãðàëû ϕ1 (x, y),ϕ2 (x, y), ò.å. åñëè äëÿ íèõ âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî (1.3)).Ðàññìîòðèì åùå îäèí ïðèìåð.ÏÐÈÌÅÐ 5. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ∂ 2u∂u∂ 2u− 3y 2 + 3= 0,2x∂x∂y∂y∂yóäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíûì óñëîâèÿìu|y=1 = x2 − 2,∂u|y=1 = x3 .∂y(1.32)Ðåøåíèå. Ñîñòàâèì õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå−2xdxdy − 3ydx2 = 0,(1.33)(2xdy + 3ydx)dx = 0,Ïðèðàâíèâàåì ïî î÷åðåäè íóëþ ñîìíîæèòåëè. Ðàâåíñòâî 2xdy + 3ydx = 0ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè.Ðàçäåëÿÿ èõ, ïîëó÷èì2dy 3dx+= 0.yxÈíòåãðèðóåì êàæäîå ñëàãàåìîå2ln|y| + 3ln|x| = lnC1 ,îòñþäàx3 y 2 = C1 .19Äàëåå dx = 0 è x = C2 Ïåðâûé âàðèàíò çàìåíû ξ = x3 y 2 , η = x.Ôóíêöèÿ ξ ,êàê è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, íà ïðÿìîé y = 1 ïðèíèìàåò çíà÷åíèå ξ|y=1 = x3 , ÷òî ìàëî ñîãëàñóåòñÿ ñ äàííûìè (1.32), íî ìû íå ìåíÿåìåå, à êàê è â ïðèìåðå 4 çàïèøåì óäîáíîå îáùåå ðåøåíèå.
Ýòî ïðåîáðàçîâàíèåâïîëíå áóäåò îïðàâäàíî ïðîñòîé çàìåíîé ïåðåìåííûõ. Âû÷èñëÿåì ïðîèçâîäíûå ïðè ξ = x3 y 2 , η = x∂u ∂u 2 2 ∂u=3x y +;∂x∂ξ∂η∂u ∂u 3=2x y;∂y∂ξ∂ 2u∂ 2u 5 3∂ 2u 3∂u 2= 2 6x y +2x y +6x y;∂x∂y∂ξ∂ξ∂η∂ξ∂ 2 u ∂ 2 u 6 2 ∂u 3= 2 4x y +2x .∂y 2∂ξ∂ξ|×3| × 2x| × −3yÏîäñòàâèì íàéäåííûå ïðîèçâîäíûå â äàííîå óðàâíåíèå:∂ 2u∂ 2u 4∂u6 36 3(12xy−12xy)+4xy+(12x3 − 6x3 y + 6x3 y) = 0.2∂ξ∂ξ∂η∂ξÏîñëå ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ ïîëó÷àåì∂ 2u∂u4x y+ 12x3 y= 0,∂ξ∂η∂ξ4ñîêðàùàåì íà 4x4 y è ìåíÿåì x íà η∂ 2u3 ∂u+= 0.∂ξ∂η η ∂ξÏóñòü v =∂u∂ξòîãäà∂v∂η= − 3vη.Âîñïîëüçóåìñÿ ðàâåíñòâîì (1.12) , ïîìåíÿâ â íåì ìåñòàìè ξ è η ,Zdv= −3vZdη(ξ)+ lnC(ξ);ηln|v| = −3ln|η| + lnC(η).20Òåïåðüv=C(ξ);η3∂u C(ξ)= 3 .∂ξηÄàëåå1u(ξ, η) = 3ηZ1ψ(ξ) + ϕ(η).η3C(ξ)dξ + ϕ(η) =Çäåñü C(ξ),ϕ(η) è ψ(ξ) ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèèZψ(ξ) =C(ξ)dξ.Ïåðåõîäèì ê ïåðåìåííûì x è yu(x, y) =1ψ(x3 y 2 ) + ϕ(x).3x2Ïðåîáðàçóåì ψ(x3 y 2 ) ê ïðîèçâîëüíîé ôóíêöèè îò àðãóìåíòà ξ1 = xy 322ψ(x3 y 2 ) = ψ((xy 3 )3 ) = g((xy 3 )) = g(ξ1 ).Èòàêu(x, y) =213 ) + ϕ(x).g(xyx3(1.34)Ïîäáåðåì ôóíêöèè g è ϕ èç ðàññ÷åòà óäîâëåòâîðèòü íà÷àëüíûì óñëîâèÿì(1.32).Íàéäåì ïðåäâàðèòåëüíî ïðîèçâîäíóþ∂u∂yèç ðàâåíñòâà (1.34)2∂u12 1= 3 gξ0 1 (xy 3 )x y − 3 .∂yx3(1.35)Ïîäñòàâèì y = 1 â ðàâåíñòâî (1.34) è (1.35) è óäîâëåòâîðèì óñëîâèÿì (1.32)1g(x) + ϕ(x) = x2 − 2,3x1 02g(x)x= x3 ,3x3213g 0 (x) = x5 .2Èíòåãðèðóåì ïîñëåäíåå ðàâåíñòâîx6g(x) =+ C.4Äàëåå ϕ(x) = x2 − 2 −1 x6x3 ( 4+ C).Ïîäñòàâëÿåì, íàéäåííûå âûðàæåíèå äëÿ g(x) è ϕ(x) â (1.34), èçìåíèâ àðãó2ìåíò â g(x) çíà÷åíèå x íà xy 32x3C1 (xy 3 )6 C2+ 3 +x −2−− 3.u(x, y) = 3x4x4xÏîñëå íåáîëüøèõ óïðîùåíèéîêîí÷àòåëüíûé ðåçóëüòàòu(x, y) =x3 (y 4 − 1)+ x2 − 2.4ÏÐÈÌÅÐ 6.
Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ∂ 2 u 1 ∂u∂ 2u+y 2 += 0,∂x2∂y2 ∂y(y < 0),√åñëè u(x, y) = ϕ1 (x) íà õàðàêòåðèñòèêå x − 2 −y = 0 ,√è u(x, y) = ϕ1 (x) íà õàðàêòåðèñòèêå x + 2 −y = 0,(1.36)(L1 )(L2 ),ãäå ϕ1 (x) è ϕ2 (x) - ôóíêöèè, çàäàííûå ñîîòâåòñòâåííî íà îòðåçêàõ 0 ≤ x ≤è12≤ x ≤ 1, ïðè÷åì ϕ1 ( 12 ) = ϕ2 ( 21 ) (ñì. ðèñóíîê).2212√Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïîäñòàíîâêîé ξ = x − 2 −y ,√η = x + 2 −y óðàâíåíèå(1.36) ïðèâîäèòñÿ ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó∂ 2u= 0.∂ξ∂ηÏîýòîìó (ñì. ïðèìåð 3) åãî îáùåå ðåøåíèå òàêîâî√√u(x, y) = θ1 (x − 2 −y) + θ2 (x + 2 −y),(1.37)ãäå θ1 è θ2 - ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè. Íàøà çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû âûáðàòüòàêèå θ1 è θ2 , ïðè êîòîðûõ ôóíêöèÿ (1.37) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì çàäà÷è.√Íà õàðàêòåðèñòèêå L1 , òî åñòü, ïðè 2 −y = x, ìû ïî óñëîâèþ èìååìθ1 (0) + θ2 (2x) = ϕ1 (x).(1.38)√Àíàëîãè÷íî, íà L2 , òî åñòü, ïðè 2 −y = 1 − x, ñïðàâåäëèâîθ1 (2x − 1) + θ2 (1) = ϕ2 (x).23(1.39)Èç (1.39), ïîëàãàÿ 2x − 1 = z , ïîëó÷àåìθ1 (z) = ϕ2 (z+1) − θ2 (1),2(1.40)à èç (1.38) ïðè z = 2x ïîëó÷àåìzθ2 (z) = ϕ1 ( ) − θ1 (0).2Òðåáóåìûå ôóíêöèè θ1 è θ2 íàéäåíû.
Ïîäñòàâëÿåì èõ â (1.37):√√x + 2 −yx − 2 −y + 1u(x, y) = ϕ2 () + ϕ2 () − (θ1 (0) + θ2 (1)).22Ïîëîæèìâ(1.40)z=0:θ1 (0)=ϕ2 ( 12 ) − θ2 (1),(1.41)îòêóäàθ1 (0) + θ2 (1) = ϕ2 ( 21 ). Òàê ÷òî èñêîìîå ðåøåíèå çàäà÷è ïðèîáðåòàåò âèä:u(x,y)=ϕ1 (√x+2 −y)2√+ ϕ2 ( x−2−y+1)2− ϕ2 ( 12 ).24ÇÀÄÀ×È.Îïðåäåëèòü òèï çàäàííîãî óðàâíåíèÿ â çàäàííîé îáëàñòè:222∂ u1.1. (y + 1) ∂∂xu2 − 2 ∂x∂y+ x ∂∂yu2 −â ïðÿìîóãîëüíèêå 1 < x < 3,22∂u∂y=00 < y < 1.2∂ u1.2. y ∂∂yu2 + x ∂∂xu2 + 2(x + y) ∂x∂y=0â êðóãå x2 + (y − 6)2 < 1.222∂u∂ u+ x2 ∂∂yu2 + y 2 ∂∂xu2 − x ∂u1.3.
2xy ∂x∂y∂y + y ∂x = 0â êâàäðàòå |x| < 1,|y| < 1.221.4. (x + y) ∂∂xu2 + (x − y) ∂∂yu2 + xu = 0â êðóãå (x − 5)2 + y 2 < 1.22∂ u1.5. (x + 1) ∂∂xu2 − 2x2 ∂u∂x + (y − 3) ∂y 2 + u = 0â êâàäðàòå 0 < x < 1,20 < y < 1.22∂ u1.6. 4 ∂∂xu2 − 2(x − y) ∂x∂y+ (1 − xy) ∂∂yu2 = 0â ïîëîñå 2 < x + y < 5.21.7. x2 ∂∂xu2 +∂2u∂y 22∂ u+ 2x ∂x∂y+ y ∂u∂x −∂u∂y=0â êîëüöå 1 < x2 + y 2 < 7.22∂ u∂u1.8.
x ∂∂xu2 + 6 ∂u∂x + (x + y) ∂y 2 − y ∂y = 0â êâàäðàòå 0 < x < 2,2220 < y < 2.∂ u1.9. 6 ∂x∂y+ y ∂∂xu2 + x ∂∂yu2 +∂u∂y=025â êâàäðàòå 1 < x < 2,∂u1.10. 2x ∂u∂x + 3 ∂y +∂2u∂x22 < y < 3.22∂ u− (x2 − 2) ∂∂yu2 − 2y ∂x∂y=0â êðóãå x2 + y 2 < 1.222∂ u+ 2y ∂∂yu2 + y ∂u1.11. 5x ∂∂xu2 − 4x ∂x∂y∂x − u = 0â ïðÿìîóãîëüíèêå 1 < x < 3,4 < y < 8.1.12.
Òî æå óðàâíåíèå â ïðÿìîóãîëüíèêå 5 < x < 9,−1 < y < 1.Óêàçàòü îäíó èç ïîäñòàíîâîê, ïðèâîäÿùèõ äàííîå óðàâíåíèå ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó, óêàçàòü òèï óðàâíåíèÿ è îæèäàåìûé êàíîíè÷åñêèé âèä:22∂ u1.13. 2 ∂∂xu2 − 2 ∂x∂y+21.14. 2 ∂∂xu2 −∂2u∂x∂y∂2u∂y 2= 0.2− 6 ∂∂yu2 = 0.1.15.∂2u∂x2∂ u− 10 ∂x∂y+ 25 ∂∂yu2 = 0.221.16.∂2u∂x2∂u+ e2x ∂∂yu2 + y ∂u∂y − x ∂x = 0.2222∂u1.17. e2y ∂∂xu2 + 2xey ∂x∂y+ x2 ∂∂yu2 = 0.222∂ u1.18.
y ∂∂xu2 + x(2y − 1) ∂x∂y− 2x2 ∂∂yu2 = 0.222∂ u+ sin2 x ∂∂yu2 = 0.1.19. 9y 4 ∂∂xu2 + 6y 2 sinx ∂x∂y26222∂ u1.20. x2 ∂∂xu2 − 2xy ∂x∂y+ (4 + y 2 ) ∂∂yu2 = 0.222∂ u1.21. y ∂∂xu2 + (ex − y) ∂x∂y− ex ∂∂yu2 = 0.222∂ u+ tgx ∂∂yu2 = 0.1.22. x ∂∂xu2 + (1 + xtgx) ∂x∂y222∂ u1.23. cos2 y ∂∂xu2 − 2sinxcosy ∂x∂y+ sin2 x ∂∂yu2 = 0.222∂ u1.24. x2 ∂∂xu2 + (2x2 − y 2 ) ∂x∂y− 2y 2 ∂∂yu2 = 0.1.25.∂2u∂x222∂ u+ 2cos2 y ∂x∂y+ cos4 y ∂∂yu2 = 0.221.26.
sin2 y ∂∂xu2 + cos2 x ∂∂yu2 = 0.222∂ u1.27. x4 ∂∂xu2 − 2x2 y ∂x∂y+ y 2 ∂∂yu2 + 3 ∂u∂x = 0.22∂2u∂y 2−∂u∂y∂ u1.29. e2x ∂∂xu2 + 2 ∂x∂y+ 2e−2x ∂∂yu2 +∂u∂x=0∂ u1.28. sin4 x ∂∂xu2 + 2sin2 x ∂x∂y+2222+ sinx ∂u∂x = 0.21.30. cos4 x ∂∂xu2 + sin4 y ∂∂yu2 − 3 ∂u∂y = 0.222∂ u1.31. tg 2 x ∂∂xu2 − 2ytgx ∂x∂y+ y 2 ∂∂yu2 −222∂u∂y∂ u1.32. e2y ∂∂xu2 + 3ey ∂x∂y+ 2 ∂∂yu2 + ey ∂u∂x −= 0.∂u∂y27= 0.222∂ u1.33.
x4 ∂∂xu2 + 4x2 ∂x∂y+ 5 ∂∂yu2 −22∂u∂x+1 ∂ux ∂y= 0.2∂ u1.34. sin2 y ∂∂xu2 − 4siny ∂x∂y+ 4 ∂∂yu2 + 2cosy ∂u∂x −1.35.∂2u∂x22∂u∂y= 0.2∂ u+ 2ctgx ∂x∂y+ ctg 2 x ∂∂yu2 − cosx ∂u∂x = 0.22∂u1.36. tg 2 x ∂∂xu2 + ctg 2 y ∂∂yu2 − sinx ∂u∂x + 2cosy ∂y = 0.222∂ u1.37. (x + y) ∂∂xu2 + 2y ∂x∂y+ (y − x) ∂∂yu2 = 0.222∂ u1.38. (x2 + 9) ∂∂xu2 − 2xy ∂x∂y+ y 2 ∂∂yu2 = 0.222∂ u1.39. x ∂∂xu2 + (x + x2 + 2y) ∂x∂y+ (x2 + 2y) ∂∂yu2 = 0.222∂ u1.40.
x2 ∂∂xu2 − (1 + xy + x2 ) ∂x∂y+ (xy + 1) ∂∂yu2 = 0.Ïðèâåñòè ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó1.41.∂2u∂x∂t1.42.∂2u∂x2+∂2u∂t2= 0.2∂ u− 2 ∂x∂y+22∂2u∂y 2∂ u1.43. 4 ∂∂xu2 − 4 ∂x∂y+22= 0.∂2u∂y 22− 2 ∂u∂x +∂ u1.44. ∂∂xu2 − 6 ∂x∂y+ 8 ∂∂yu2 +∂u∂x∂u∂y= 0.− 2 ∂u∂y = 0.281.45.∂2u∂x222∂ u− 2 ∂x∂y+ 2 ∂∂yu2 +∂u∂x−∂u∂y= 0.∂u∂x+∂u∂y= 0.22∂2u∂y 2+22∂2u∂y 2+ 2 ∂u∂x +∂u∂y= 0.22∂2u∂y 2+ 3 ∂u∂x −∂u∂y= 0.222∂ u1.46. 3 ∂∂xu2 + 2 ∂x∂y−∂ u+1.47. 5 ∂∂xu2 + 4 ∂x∂y∂ u1.48. 9 ∂∂xu2 − 6 ∂x∂y+∂ u1.49. 4 ∂∂xu2 − 8 ∂x∂y+ 3 ∂∂yu2 + 2 ∂u∂x −1.50.∂2u∂x222∂ u+ 6 ∂x∂y+ 9 ∂∂yu2 +222∂u∂x∂ u1.51.
2 ∂∂xu2 − 2 ∂x∂y+ 5 ∂∂yu2 +1.52.∂2u∂x222∂ u+ 4 ∂x∂y+ 4 ∂∂yu2 +22∂2u∂y 2222∂ u1.53. 5 ∂∂xu2 + 6 ∂x∂y++∂u∂y+ 3 ∂u∂y = 0.∂u∂x+∂u∂y= 0.∂u∂x+ 2 ∂u∂y = 0.∂u∂x+∂u∂y∂ u1.54. 5 ∂∂xu2 + 2 ∂x∂y+ 2 ∂∂yu2 + 6( ∂u∂x −2= 0.= 0.∂u∂y )= 0.22∂u∂ u1.55. 9 ∂∂xu2 − 12 ∂x∂y+ 4 ∂∂yu2 + 3 ∂u∂x − 2 ∂y = 0.222222∂ u∂u1.56.
5 ∂∂xu2 − 8 ∂x∂y+ 5 ∂∂yu2 + 3( ∂u∂x − 2 ∂y ) = 0.∂ u∂u1.57. 3 ∂∂xu2 + 5 ∂x∂y− 2 ∂∂yu2 + 7( ∂u∂x + 2 ∂y ) = 0.292∂2u∂y 2221.58.∂2u∂x2∂ u− 2 ∂x∂y+1.59.∂2u∂x2∂ u∂u+ 2 ∂x∂y− 3 ∂∂yu2 + 2 ∂u∂x + 6 ∂y = 0.22∂ u+1.60. 3 ∂∂xu2 − 4 ∂x∂y1.61.x ∂2uy ∂x2−y ∂2ux ∂y 2+∂u+ α ∂u∂x + β ∂y + cu = 0.∂2u∂y 21 ∂uy ∂x− 3 ∂u∂x +−1 ∂ux ∂y2∂u∂y= 0.= 0.2∂u1.62. (1 + x2 ) ∂∂xu2 + (1 + y 2 ) ∂∂yu2 + x ∂u∂x + y ∂y = 0.221.63. x ∂∂xu2 − 4x3 ∂∂yu2 −2= 0.∂u∂x22∂ u1.64.
x2 ∂∂xu2 − 6xy ∂x∂y+ 9y 2 ∂∂yu2 + 12y ∂u∂y = 0.21.65. 4y 2 ∂∂xu2 −2∂ u1.66. ey ∂x∂y−2∂2u∂y 2+∂2u∂y 2+ (1 + ey ) ∂u∂y = 0.2∂ u1.67. 4y 2 ∂∂xu2 − 4y ∂x∂y+2= 0.1 ∂uy ∂y∂2u∂y 2−1 ∂uy ∂y= 0.22∂ u1.68. y 2 ∂∂xu2 + 2xy ∂x∂y+ 2x2 ∂∂yu2 + y ∂u∂y = 0.22∂ u1.69. cos2 y ∂∂xu2 − 2cosy ∂x∂y+1.70.∂2u∂x22∂2u∂y 2∂u− xcos2 y ∂u∂x + (tgx − xcosy) ∂y = 0.2∂ u+ 2sinx ∂x∂y− cos2 x ∂∂yu2 = 0.302∂ u1.71. siny ∂x∂y+∂2u∂y 2∂u+ ( sinyx − ctgy) ∂y = 0.222∂ u1.72. 9x2 ∂∂xu2 − 6xy ∂x∂y+ y 2 ∂∂yu2 + y ∂u∂y = 0.222∂ u+ sin2 y ∂∂yu2 = 0.1.73. x2 ∂∂xu2 − 2xsiny ∂x∂y221.74. x2 ∂∂xu2 + cos4 y ∂∂yu2 + x ∂u∂x = 0.22∂ u1.75. sin2 y ∂∂xu2 + 2siny ∂x∂y+22∂2u∂y 2+ cosy ∂u∂x = 0.2∂ u1.76. e2y ∂∂xu2 + 3ey ∂x∂y+ 2 ∂∂yu2 − 2 ∂u∂y = 0.221.77.
y 2 ∂∂xu2 + 4 ∂∂yu2 +4 ∂uy ∂y= 0.22∂2ue2x ∂u = 0.1.78. y 2 ∂∂xu2 − 2yex ∂x∂y+ e2x ∂∂yu2 − y 2 ∂u−∂xy ∂y1.79.∂2u∂x222∂ u− 4x ∂x∂y+ 8x2 ∂∂yu2 −221 ∂ux ∂x+∂u∂y= 0.2∂ u∂u1.80. y 2 ∂∂xu2 + 4yx2 ∂x∂y+ 4x4 ∂∂yu2 + 2x2 ∂u∂x + 4xy ∂y = 0.222∂ u1.81. cos2 y ∂∂xu2 − 4cosy ∂x∂y+ 4 ∂∂yu2 + 2siny ∂u∂x = 0.1.82.∂2u∂x2∂ u+ ey ∂x∂y+ 45 e2y ∂∂yu2 + 54 e2y ∂u∂y = 0.221.83.∂2u∂x2∂ u− 2cosx ∂x∂y− sin2 x ∂∂yu2 = 0.2231222222∂ u1.84. sin2 x ∂∂xu2 − 2ysinx ∂x∂y+ y 2 ∂∂yu2 = 0.∂ u1.85.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
