А.Д. Алексеев, С.Н. Кудряшов - Уравнения с частными производными в примерах и задачах (1120422), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ðàâåíñòâî æå (1.11) îçíà÷àåò, ÷òî ðåøåíèåve(ξ, η) óðàâíåíèÿ (1.9) îïðåäåëÿåòñÿ íåÿâíî ðàâåíñòâîìZdv−g(v)Zf (ξ)dξ = C(η).(1.12)á) ïóñòü, íàîáîðîò, ve(ξ, η) åñòü ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ íåÿâíî ðàâåíñòâîì(1.12) ïðè êàêîé-íèáóäü ôóíêöèè C(η). Òîãäà âåðíî (1.11), à, ñëåäîâàòåëüíî,è (1.10). Íî ýòî çíà÷èò, ÷òî ve(ξ, η) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì (1.9).Èç à) è á) ñëåäóåò, ÷òî ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ (1.9) ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèèv(ξ, η), îïðåäåëÿåìûå ðàâåíñòâîì (1.12) ïðè ëþáîé ôóíêöèè C(η), è òîëüêîîíè.  ýòîì ñìûñëå ðàâåíñòâî (1.12) â íåÿâíîì âèäå çàäàåò îáùåå ðåøåíèå10óðàâíåíèÿ (1.9).ÏÐÈÌÅÐ 2.
Ðåøèòü óðàâíåíèåx2â îáëàñòè x 6= 0,2∂u∂u∂ 2u2∂ u−y+2x−2y= 0,∂x2∂y 2∂x∂y(1.13)y 6= 0. óêàçàííîé îáëàñòè ñïðàâåäëèâî ∆ = x2 y 2 > 0. Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîé îáëàñòè óðàâíåíèå (1.13) ãèïåðáîëè÷åñêîå. Äëÿ ïðèâåäåíèÿ åãî ê êàíîíè÷åñêîìóâèäó ñîñòàâèì õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå x2 dy 2 − y 2 dx2 = 0, êîòîðîå ðàñïàäàåòñÿ íà ïàðó ðàçëè÷íûõ óðàâíåíèé xdy − ydx = 0 è xdy + ydx = 0. Îáùèåèíòåãðàëû ýòèõ óðàâíåíèé ñîîòâåòñòâåííî òàêîâû: xy = C èöèè æå ϕ1 (x, y) = xy è ϕ2 (x, y) =yxyx= C .
Ôóíê-ÿâëÿþòñÿ èõ èíòåãðàëàìè. Ïîýòîìó âðåçóëüòàòå çàìåíû ïåðåìåííûõξ = xy,η=yx(1.14)óðàâíåíèå (1.9) áóäåò ïðèâåäåíî ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó.Âû÷èñëÿåì ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïî ôîðìóëàì (1.6)∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η∂u∂u y=+=y−∂x∂ξ ∂x ∂η ∂x∂ξ∂η x2| × 2x,∂u ∂u ∂ξ ∂u ∂η∂u∂u 1=+=x+∂y∂ξ ∂y ∂η ∂y∂ξ∂η x| × −2y,∂ 2u ∂ 2u 2y2 ∂ 2u∂ 2 u y 2 ∂u 2y= 2y − 2 2++∂x2∂ξx ∂ξ∂η ∂η 2 x4 ∂η x3∂ 2u ∂ 2u 2∂ 2u∂ 2u 1= 2x + 2+∂y 2∂ξ∂ξ∂η ∂η 2 x2| × x2 ,| × −y 2 .Ñìåøàííóþ ïðîèçâîäíóþ, åñòåñòâåííî, íå âû÷èñëÿåì. Ïîäñòàâëÿåì íàéäåí-11íûå ïðîèçâîäíûå â óðàâíåíèå (1.13) è ïðèâåäåì ïîäîáíûå ÷ëåíû∂ 2u∂ 2u 2 22 2(x y − x y ) +(−2y 2 − 2y 2 )+2∂ξ∂ξ∂η∂ 2u y2 y2∂u∂u 2y 2y 2y+ 2( 2 − 2) +(2xy − 2xy) +( −− )=0∂η xx∂ξ∂η xxxïîñëå î÷åâèäíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì∂ 2u2y ∂u−4y−=0∂ξ∂ηx ∂η2èëè1 ∂u∂ 2u+= 0.∂ξ∂η 2xy ∂ηÑ ó÷åòîì, ÷òî ξ = xy, îêîí÷àòåëüíî èìååì:∂ 2u1 ∂u+= 0.∂ξ∂η 2ξ ∂ηÎáîçíà÷èì∂u∂η(1.15)= v(ξ, η).
Òîãäà (1.15)ïðèíèìàåò âèä∂v∂ξ+v2ξ= 0.Ýòî åñòü óðàâíåíèå òèïà (1.9). Íà îñíîâàíèè (1.12) åãî îáùåå ðåøåíèå îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîìRdvv+12Rdξξ= C(η). Îòñþäà1ω(η)v = √ eC(η) = √ .ξξ(1.16)(âñëåäñòâèå ïðîèçâîëüíîñòè C(η) ôóíêöèÿ ω(η) òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíîé). Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.15) ïîëó÷àåòñÿ îòñþäà èíòåãðèðîâàíèåì ïî η :u =Rω(η)√ dηξ+ ψ(ξ). Âìåñòî ïðîèçâîëüíîé ïîñòîÿííîé ìû íàïèñàëè çäåñüïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ ψ(ξ), òàê êàê óêàçàííàÿ ôóíêöèÿ u óäîâëåòâîðÿåòóðàâíåíèþ (1.16) ïðè ïðîèçâîëüíîé ψ(ξ), â ÷åì ëåãêî óáåäèòüñÿ. Îáîçíà÷èâRω(η)dη = ϕ(η), ãäå ôóíêöèÿ ϕ(η) - ñíîâà ïðîèçâîëüíà, ìû ïîëó÷àåì îáùååðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.15) â âèäå u =√1 ϕ(η)ξ12+ ψ(ξ).
Âîçâðàùàÿñü ê ïåðåìåí-íûì x, y ïî ôîðìóëàì (1.14), âûâîäèì îáùåå ðåøåíèå èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ(1.13): u =y√1 ϕ( )xyx+ ψ(xy). Íàïîìèíàåì, ÷òî ôóíêöèè ϕ è ψ çäåñü ïðîèç-âîëüíû.ÏÐÈÌÅÐ 3. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ∂ 2u∂ 2u∂ 2u+2− 3 2 = 0,∂x2∂x∂y∂y(1.17)óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíûì óñëîâèÿì∂u|y=0 = 0.∂yu|y=0 = 3x2 ,(1.18)Íà âñåé ïëîñêîñòè õó ñïðàâåäëèâî ∆ = 1 + 3 > 0.
Ñëåäîâàòåëüíî, íà âñåéïëîñêîñòè óðàâíåíèå (1.17) ÿâëÿåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêèì, à åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå dy 2 −2dxdy −3dx2 = 0 ðàñïàäàåòñÿ íà äâà óðàâíåíèÿ dy = −dxè dy = 3dx.x + y = C è y − 3x = C èõ îáùèå èíòåãðàëû, à ôóíêöèè x + y èy − 3x - èíòåãðàëû ýòèõ óðàâíåíèé. Ïîýòîìó ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó ïðèâîäèòñëåäóþùàÿ çàìåíà ïåðåìåííûõ:ξ = x + y,η = y − 3x.(1.19) ðåçóëüòàòå ýòîé çàìåíû ìû ïîëó÷àåì óðàâíåíèe∂ 2u= 0.∂ξ∂ηÎáîçíà÷èâ∂u∂ξ= v(ξ, η), ìû ïðèâîäèì åãî ê âèäó(1.20)∂v∂η= 0, îòêóäà çàêëþ÷àåì,÷òî ôóíêöèÿ v îò η íå çàâèñèò, òî åñòü èìååò âèä: v = ω(ξ), ãäå ω(ξ) ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ.
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ôóíêöèè u ìû èìååì óðàâíåíèå∂u∂ξ= ω(ξ). Èíòåãðèðóÿ ïî ξ , íàõîäèì îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.20)13Zu=ω(ξ)dξ + ψ(η) = ϕ(ξ) + ψ(ξ). Çäåñü îáå ôóíêöèè ϕ(ξ),ψ(ξ) ïðîèçâîëüíûå. Âîçâðàùàÿñü ê ïåðåìåííûìx, y, ïîëó÷àåì îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.17):u(x, y) = ϕ(x + y) + ψ(y − 3x).(1.21)Íàøà çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû èç áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà ðåøåíèé (1.21),âûäåëèòü òî, êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (1.18).
Èíûìè ñëîâàìè, ìûäîëæíû íàéòè âïîëíå îïðåäåëåííûå ôóíêöèè ϕ è ψ , ïðè êîòîðûõ ôóíêöèÿ uóäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì (1.18). Èç (1.21) èìååì∂u∂y00= ϕ (x + y) + ψ (y − 3x).Ïîëàãàÿ çäåñü è â (1.21) y = 0 , èç (1.18) ïîëó÷àåì:ϕ(x) + ψ(−3x) = 3x2 ,00ϕ (x) + ψ (−3x) = 0.(1.22)(1.23)Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà æåëàòåëüíî ïîëó÷èòü óðàâíåíèå, â êîòîðîå âìåñòî0ïðîèçâîäíûõ ϕ (x),0ψ (−3x) âõîäèëè áû ôóíêöèè ϕ(x), ψ(−3x). Êàçàëîñüáû, ýòîé öåëè ìîæíî äîñòè÷ü, èçìåíèâ â (1.23) ñóììó ïðîèçâîäíûõ íà ïðîèçâîäíóþ ñóììû ôóíêöèé. Íî ýòîìó ìåøàåò òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî øòðèõè0â (1.23) îçíà÷àþò ïðîèçâîäíûå óêàçàííûõ ôóíêöèé ïî èõ àðãóìåíòàì (ϕ (x)0åñòü ïðîèçâîäíàÿ ïî õ, ψ (−3x) - ïðîèçâîäíàÿ ïî -3õ). Ïîýòîìó âíà÷àëå â (1.23)ïåðåéäåì ê ïðîèçâîäíûì ïî îäíîìó è òîìó æå ïåðåìåííîìó (íàïðèìåð, ïî õ).Èìååì:dψ(−3x)dx0=dψ(−3x)d(−3x)îòêóäà ψ (−3x) = − 31·d(−3x)dxdψ(−3x)dx .0= ψ (−3x) · (−3),Òåïåðü (1.23) ïðèíèìàåò âèädϕ(x) 1 dψ(−3x)d1−=(ϕ(x) − ψ(−3x)) = 0.dx3dxdx314Îòñþäà1ϕ(x) − ψ(−3x) = C.3(1.24)Èç (1.22) è (1.24) íàõîäèì33ϕ(x) = x2 + C,449x2 3ψ(−3x) =− C.44Íàêîíåö, ïîëîæèâ −3x = z , ïîëó÷àåì ψ(z) =z24− 43 C .
Òðåáóåìûå ôóíêöèè ϕè ψ íàéäåíû. Ïîäñòàâëÿÿ èõ â (1.21), ìû ïîëó÷èì èñêîìîå ðåøåíèå çàäà÷èu(x, y) = 34 (x + y)2 + 34 C +(y−3x)24− 34 C = 3x2 + y 2 .ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 3. Îñëîæíåíèÿ, ñâÿçàííûå ñ íåîäèíàêîâîñòüþ àðãóìåíòîâôóíêöèé ϕ è ψ â (1.22) è (1.23), óñòðàíÿòñÿ, è ðåøåíèå ïîñòàâëåííîé çàäà÷è óïðîñòèòñÿ, åñëè ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ ψ â(1.21) ìû ïðåäñòàâèì â âèäåeñëîæíîé ôóíêöèè ψ(ω(y− 3x)), ãäå ψe - ïðîèçâîëüíàÿ, à ω - îïðåäåëåííàÿeôóíêöèÿ, ïðè÷åì ïîñëåäíÿÿ âûáèðàåòñÿ òàê, ÷òîáû ψ(ω(y− 3x)) ïðè y = 0e .
 íàøåì ñëó÷àå, î÷åâèäíî, ñëåäóåò ïîëîæèòü ω(z) =ïðèíèìàëà âèä ψ(x)−z3 .Òîãäà îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.17) áóäåò èìåòü âèäe y − 3x ) = ϕ(x + y) + ψ(xe − y ),u(x, y) = ϕ(x + y) + ψ(−33à ïîýòîìó âìåñòî (1.22) è (1.23) ìû ïîëó÷èìeϕ(x) + ψ(x)= 3x2000eè ϕ (x) − 31 ψe (x) = (ϕ(x) − 13 ψ(x))= 0.Òîé æå öåëè ìû ìîãëè áû äîñòè÷ü,åñëè áû â(1.19) âìåñòî η = y − 3x, ìû âçÿëè η = x − y3 , âîñïîëüçîâàâøèñüÇÀÌÅ×ÀÍÈÅÌ 1.15ÏÐÈÌÅÐ 4.
Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿu∂ 2u2 ∂ux−2xy−3y= 0,∂x2∂x∂y∂y 22∂2(1.25)óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíûì óñëîâèÿì∂u|y=1 = f1 (x),∂yu|y=1 = f0 (x),(1.26)ãäå f0 (x) , f1 (x) - çàäàííûå ôóíêöèè. îáëàñòè x 6= 0,y 6= 0 ñïðàâåäëèâî ∆ = 4x2 y 2 > 0, ñëåäîâàòåëüíî, âóêàçàííîé îáëàñòè óðàâíåíèå (1.25) ÿâëÿåòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêèì. Åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå x2 dy 2 + 2xydxdy − 3y 2 dx2 = 0 ðàñïàäàåòñÿ íà äâàóðàâíåíèÿxdy − ydx = 0 è xdy + 3ydx = 0.Ôóíêöèèyxè x3 y ÿâëÿþòñÿ èíòåãðàëàìè ýòèõ óðàâíåíèé ñîîòâåòñòâåííî.
Ïî-ýòîìó äëÿ ïðèâåäåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.25) ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó ïðîèçâåäåì çàìåíó ïåðåìåííûõ ξ =yxè η = x3 y .  ðåçóëüòàòå ýòîé çàìåíû ìû ïîëó÷èìóðàâíåíèå∂ 2u1 ∂u−= 0.∂ξ∂η 4ξ ∂ξÏðè= 0. Ýòî åñòü óðàâíåíèå òèïà (1.9). ÂRR dη1ñîîòâåòñòâèè ñ (1.12) åãî îáùåå ðåøåíèå èìååò âèä dv−v4η = C(ξ), îò∂u∂ξ= v îíî ïðèíèìàåò âèä(1.27)∂v∂η−v4η1êóäà v = η 4 C1 (ξ). Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.27) ïîëó÷àåòñÿ èç óðàâíåíèÿ∂u∂ξ11= η 4 C1 (ξ) èíòåãððîâàíèåì ïî ξ : u = η 4(ôóíêöèè C(ξ),R1C1 (ξ)dξ+C2 (η) = η 4 C3 (ξ)+C2 (η)C1 (ξ), C2 (η), C3 (ξ) - ïðîèçâîëüíûå).
Âîçâðàùàÿñü ê ïåðå-ìåííûì õ, ó, ìû ïîëó÷àåì îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.25):3 1yu(x, y) = x 4 y 4 C3 ( ) + C2 (x3 y).x16(1.28)Òåïåðü íàøà çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû èç áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà ôóíêöèéC2 è C3 âûáðàòü òàêèå, ïðè êîòîðûõ (1.28) áóäåò óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèÿì(1.26).Êîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ (1.26) ìû ïîëîæèì â (1.28) y = 1, àðãóìåíòû ôóíêöèé C2 è C3 îêàæóòñÿ ðàâíûìè1xè x3 .
À ýòî, êàê âèäíî èç ïðåäûäóùåãîïðèìåðà, âûçîâåò îïðåäåëåííûå îñëîæíåíèÿ. Ïîýòîìó ïðîèçâîëüíûå ôóíêöèè C2 è C3 ìû, èìåÿ â âèäó ÇÀÌÅ×ÀÍÈÅ 3, çàìåíèì äðóãèìè ïðîèçâîëüíûìè ôóíêöèÿìè, ïîëîæèâ C3 ( xy ) = ϕ(ω1 ( xy )) è C2 (x3 y) = ψ(ω2 (x3 y)), ãäåôóíêöèè ϕ è ψ ïðîèçâîëüíû, à ω1 è ω2 âûáåðåì òàê, ÷òîáû àðãóìåíòû ôóíêöèé ϕ è ψ ïðè y = 1 îáà îêàçàëèñü ðàâíûìè õ. Äëÿ ýòîãî ñëåäóåò ïîëîæèòüω1 (z) =1z1è ω2 (z) = z 3 . Äåéñòâèòåëüíî, òîãäà ìû áóäåì èìåòü C3 ( xy ) = ϕ( xy ) è11C2 (x3 y) = ψ(x3 y 3 ) = ψ(xy 3 ). Òåïåðü îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.25) ïîëó÷àåòáîëåå ïîäõîäÿùèé âèä3 11xu(x, y) = x 4 y 4 ϕ( ) + ψ(xy 3 ).yÎòñþäà íàõîäèì(1.281 )∂u∂y :7217∂u 1 3 − 3 x10 x= x 4 y 4 ϕ( ) − x 4 y − 4 ϕ ( ) + xy − 3 ψ(xy 3 ).∂y4yy3Ïîëàãàÿ çäåñü è â (1.281 ) y=1, ìû èç (1.26) ïîëó÷àåì3x 4 ϕ(x) + ψ(x) = f0 (x),71 31 00x 4 ϕ(x) − x 4 ϕ (x) + xψ (x) = f1 (x).43(1.29)Èñêëþ÷àÿ èç ýòîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ôóíêöèè ψ(x), ìû ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè ϕ(x):1 3 03 70ϕ (x) = x− 4 f0 (x) − x− 4 f1 (x).4417Îòñþäà1 33ϕ(x) = x− 4 f0 (x) +44Z7 1x− 4 ( f0 (x) − f1 (x))dx + C4(1.30)0(ñëàãàåìîå ñ f0 (x) ìû ïðîèíòåãðèðîâàëè ïî ÷àñòÿì).
Ìû óâèäèì äàëåå, ÷òîïîñëåäóþùèå ôîðìóëû ïîëó÷àò áîëåå êîìïàêòíûé âèä, åñëè íåîïðåäåëåííûéèíòåãðàë â (1.30) ìû çàìåíèì èíòåãðàëîì îò òîé æå ôóíêöèè ñ ïåðåìåííûìâåðõíèì ïðåäåëîì. Òîãäà áóäåì èìåòü31 3ϕ(x) = x− 4 f0 (x) +44Zxx07 1z − 4 ( f0 (z) − f1 (z))dz + C,4(1.31)x0 - ïðîèçâîëüíîå ôèêñèðîâàííîå ÷èñëî. Êàê èçâåñòíî, èíòåãðàëû â ôîðìóëàõ(1.30), (1.31) ìîãóò îòëè÷àòüñÿ äðóã îò äðóãà òîëüêî íà ïîñòîÿííîå ÷èñëî,÷òî ââèäó íàëè÷èÿ â ýòèõ ôîðìóëàõ ïðîèçâîëüíîãî ïîñòîÿííîãî Ñ íè÷åãî íåìåíÿåò.Èç (1.29) è (1.31) íàõîäèì3 33ψ(x) = f0 (x) − x 444Zxx037 1z − 4 ( f (z0 ) − f1 (z))dz − Cx 4 .4Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííûå ôóíêöèè ϕ è ψ â (1.281 ), ïîëó÷àåì ðåøåíèå ïîñòàâëåííîé çàäà÷è:1 3 3 x3u(x, y) = x y ( x− 4 y 4 f0 ( ) +4y43414Zxyx07 1z − 4 ( f (z0 ) − f1 (z))dz + C)+4113 3 13+ f0 (xy 3 ) − x 4 y 444Zxy 37 13 1z − 4 ( f (z0 ) − f1 (z))dz − Cx 4 y 4 =4x0Z x11x33 3 1 y −7 1= yf0 ( ) + f0 (xy 3 ) + x 4 y 4z 4 ( f (z0 ) − f1 (z))dz.14y4443xy ñëó÷àå ãèïåðáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ åãî ÷àñòíîå ðåøåíèå ìîæåò áûòüíàéäåíî òàêæå ïî çàäàíèþ èñêîìîé ôóíêöèè íà ïàðå íåçàâèñèìûõ õàðàêòåðèñòèê ýòîãî óðàâíåíèÿ (õàðàêòåðèñòèêîé óðàâíåíèÿ (1.1) íàçûâàåòñÿ18êðèâàÿ ϕ(x, y)=C, ãäå ϕ(x, y) åñòü êàêîé-íèáóäü èíòåãðàë õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (1.4), à Ñ - ëþáàÿ ïîñòîÿííàÿ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
