А.Д. Алексеев, С.Н. Кудряшов - Уравнения с частными производными в примерах и задачах (1120422), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Ðàññìîòðèì â íà÷àëå îäíîìåðíûå ïî ãåîìåòðè÷åñêèìêîîðäèíàòàì: êîëåáàíèÿ ñòðóíû è ïðîäîëüíûå êîëåáàíèÿ ñòåðæíÿ.2.1 Óðàâíåíèÿ êîëåáàíèÿ ñòðóíû.Ñòðóíà òóãî íàòÿíóòàÿ íèòü, ïðàêòè÷åñêè íå ðàñòÿæèìàÿ, íî ëåãêî èçãèáàåìàÿ. Ïóñòü îíà èìååò äëèíó ` è â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ çàíèìàåò îòðåçîê[0, `] íà îñè Ox. Èçó÷àþòñÿ ìàëûå ïîïåðå÷íûå êîëåáàíèÿ.
Ââîäèì íåèçâåñòíóþ ôóíêöèþ u(x, t) ðàâíóþ îòêëîíåíèþ òî÷êè ñ àáñöèññîé x îò ïîëîæåíèÿðàâíîâåñèÿ â ìîìåíò âðåìåíè t. Èçâåñòíû ôèçè÷åñêèå ïàðàìåòðû ñòðóíû: ρ ëèíåéíàÿ ïëîòíîñòü, T íàòÿæåíèå ñòðóíû, p(x, t) âíåøíÿÿ ñèëà, ðàññ÷èòàííàÿ íà åäèíèöó äëèíû . Áåç âûâîäà (ñì. êíèãè [1] è [2] ) ïðèâåäåì óðàâíåíèåêîëåáàíèÿ (ïîêà áåç ó÷åòà ñîïðîòèâëåíèÿ îêðóæàþùåé ñðåäû)∂ 2u∂ 2uρ 2 = T 2 + p(x, t).∂t∂x(1.1)Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ñîïðîòèâëåíèå ñðåäû ïðîïîðöèîíàëüíî ñêîðîñòèäâèæåíèÿ òî÷åê ñòðóíû, òî åñòü ðàâíî k∂u∂t,k > 0, òî óðàâíåíèå (1.1) ïåðå-ïèøåòñÿ òàê:ρ∂ 2u∂u∂ 2u+k=T+ p(x, t)∂t2∂t∂x2(1.2)Ìàëûå êîëåáàíèÿ ñòðóíû îáû÷íî õàðàêòåðèçóþòñÿ ñîîòíîøåíèåì∂u 2∂x≈ 0.Ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî âåëè÷èíà T , íàòÿæåíèå ñòðóíû â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ, ïðàêòè÷åñêè íå çàâèñèò â ïðîöåññå êîëåáàíèÿ íè îò âðåìåíè t , íè îòêîîðäèíàòû x (ýòî ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ïðåäïîëîæåíèÿ43∂u 2∂x≈ 0).
Áóäåì âäàëüíåéøåì ñ÷èòàòü ñòðóíó îäíîðîäíîé, à ýòî îçíà÷àåò ïîñòîÿíñòâî ïëîòíîñòè ρ. Ïîäåëèì óðàâíåíèå (1.1) íà ρ è ââåäåì ïàðàìåòð a =qTρ,ïîñëå ÷åãîîíî ïðèìåò âèä2∂ 2u2∂ u=a+ g(x, t),∂t2∂x2(1.3)ãäå g(x, t) = p(x, t)/ρ.Òà æå îïåðàöèÿ ñ óðàâíåíèåì (1.2) äàåò òàêîé ðåçóëüòàò2∂ 2u∂u2∂ u+ 2ν=a+ g(x, t).∂t2∂t∂x2(1.4)Çäåñü äëÿ óäîáñòâà ïîëîæèëè 2ν = k/ρ. Åñëè âíåøíÿÿ ñèëà îòñóòñòâóåò,p(x, t) ≡ 0, òî êîëåáàíèÿ íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè èëè ñâîáîäíûìè. Îíèîïèñûâàþòñÿ óðàâíåíèåì2∂ 2u2∂ u=a∂t2∂x2(1.5)â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ñðåäà êîëåáàíèÿ íå ïðåïÿòñòâóåò äâèæåíèþ ñòðóíû.Àíàëîãè÷íî ïðåîáðàçóåòñÿ è ðàâåíñòâî (1.4).Äëÿ âñåõ ïðåäñòàâëåííûõ óðàâíåíèé ñòàâèòñÿ çàäà÷à Êîøè: íàéòè ðåøåíèåóðàâíåíèé, óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíûì óñëîâèÿìu|t=0 = f (x),(1.6)∂u = F (x).∂t t=0(1.7)Ïåðâîå òðåáîâàíèå îçíà÷àåò, ÷òî çàäàåòñÿ íà÷àëüíîå îòêëîíåíèå, ïåðâè÷íàÿôîðìà ñòðóíû, âòîðîå çàäàåòñÿ íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü.
Ýòî óñëîâèå ðåàëèçóåòñÿ íà ïðàêòèêå êàê óäàð ïî ñòðóíå ìîëîòî÷êîì, ôîðìà êîòîðîãî è ñêîðîñòüîïðåäåëÿåòñÿ ôóíêöèåé F (x).Ó÷èòûâàÿ êîíå÷íûå ðàçìåðû ñòðóíû, â òî÷êàõ x = 0 è x = l çàäàþòñÿ êðàåâûå óñëîâèÿ çàêðåïëåííûå êîíöû, òî åñòü îòêëîíåíèÿ ãðàíè÷íûõ òî÷åê44ðàâíû íóëþ äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ âðåìåíè t > 0. Àíàëèòè÷åñêè îíè çàïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîìu(0, t) = u(l, t) = 0.(1.8)Òåõíè÷åñêè ìîæíî îñóùåñòâèòü è ìÿãêîå èëè ñâîáîäíîå çàêðåïëåíèå îäíîãîèç êîíöîâ, íàïðèìåð, x = l, êîãäà îí áåç òðåíèÿ ïåðåìåùàåòñÿ ïî ïðÿìîé,ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè x â ïëîñêîñòè êîëåáàíèÿ x0u.  ýòîì ñëó÷àå ïðîåêöèÿ→−ñèë íàòÿæåíèÿ íà îñü Ox, ( T )u , áóäåò ðàâíÿòüñÿ íóëþ è, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òîâûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå∂u|= 0.∂x x=`(1.9)Àíàëîãè÷íîå óñëîâèå, åñëè ñâîáîäåí êîíåö x = 0∂u|= 0.∂x x=0(1.10)Åñëè êîíåö äâèæåòñÿ ñ ñîïðîòèâëåíèåì ïðîïîðöèîíàëüíîì îòêëîíåíèþ, òîòàêîå êðàåâîå óñëîâèå íàçûâàþò óïðóãèì.
 ýòîì ñëó÷àå èìåþò ìåñòî çàâèñèìîñòè∂u− h1 u= 0,∂xx=0∂u+ h2 u= 0,∂xx=`h1 , h2 > 0,(1.101 )Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ âèäà (1.8), (1.9), (1.10) è (1.101 ) íàçûâàþòñÿ îäíîðîäíûìè. Íà ïðàêòèêå ìîæíî ñòîëêíóòüñÿ ñ íåîäíîðîäíûìè óñëîâèÿìè, íàïðèìåð, ïîäâèæíûå êîíöû, êîãäà òî÷êè x = 0 èëè x = l ïåðåìåùàþòñÿ ïî çàäàííûì çàêîíàì.  ýòîì ñëó÷àå (1.8) ïåðåïèøóòñÿ òàêu(0, t) = ϕ(t), u(`, t) = ψ(t).(1.11)Ñîáèðàÿ âñå âìåñòå, ñôîðìóëèðóåì íà÷àëüíî êðàåâóþ çàäà÷ó î êîëåáàíèèîäíîðîäíîé ñòðóíû .
 îáëàñòè 0 < x < l, t > 0 íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.1)45èëè (1.5), óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíûì óñëîâèÿì (1, 6), (1.7) è äâóì êðàåâûìóñëîâèÿì (1.8) ( èëè (1.9), (1.10) è òàê äàëåå).Åñëè íà÷àëüíî-êðàåâàÿ çàäà÷à îäíîðîäíàÿ, òî äëÿ åå ðåøåíèÿ ìîæíî ïðèìåíèòü ìåòîä Ôóðüå (ïî-äðóãîìó ìåòîä ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ), èçëîæåíèþêîòîðîãî ïîñâÿùåí äàííûé ðàçäåë. Åñëè çàäà÷à íåîäíîðîäíàÿ, òî ñóùåñòâóþò íåñëîæíûå ïðèåìû ñâåäåíèÿ åå ê îäíîðîäíîìó ñëó÷àþ, îá ýòîì ïîãîâîðèìïîçæå, ïîñëå òîãî êàê ðàññìîòðèì îñíîâíûå îäíîðîäíûå çàäà÷è. êà÷åñòâå ïðèìåðà èññëåäóåì çàäà÷ó î ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèÿõ ñòðóíû,çàêðåïëåííîé íà êîíöàõ. Ïîâòîðèìñÿ, íî ÷åòêî ïîñòàâèì çàäà÷ó.Ïðèìåð 1.
 îáëàñòè 0 < x < l, t > 0 íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ2∂ 2u2∂ u=a,∂t2∂x2(1.5)u(0, t) = 0,(1.81 )u(`, t) = 0,(1.82 )u(x, 0) = f (x),(1.6)∂u(x, 0) = F (x).∂t(1.7)óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì:Çäåñü f (x) è F (x) äîñòàòî÷íî ãëàäêèå ôóíêöèè íà [0, `], óäîâëåòâîðÿþùèåóñëîâèÿìf (0) = f (`) = 0;F (0) = F (`) = 0.Çàäà÷ó ðåøàåì ìåòîäîì Ôóðüå.
Íà ïåðâîì ýòàïå èùåì íåòðèâèàëüíûå,÷àñòíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.5) â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ u(x, t) = X(x)T (t),óäîâëåòâîðÿþùåå òîëüêî êðàåâûì óñëîâèÿì.Èìååì∂ 2u= X(x)T 00 (t),2∂t∂ 2u= X 00 (x)T (t).2∂x46Íåèçâåñòíûå ìíîæèòåëè äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ðàâåíñòâóX(x)T 00 (t) = a2 X 00 (x)T (t)èëèT 00 (t)X 00 (x)=.a2 T (t)X(x)(1.12)Ñîîòíîøåíèå (1.12) ÿâëÿåòñÿ òîæäåñòâåííûì ñîâïàäåíèåì äâóõ ôóíêöèé îòíåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ x è t è ýòî ñîâïàäåíèå âîçìîæíî òîëüêî òîãäà, êîãäàêàæäàÿ äðîáü ðàâíà îäíîìó è òîìó æå ïîñòîÿííîìó çíà÷åíèþ, êîòîðîå ìûäëÿ íà÷àëà îáîçíà÷èì ÷åðåç µ.
 ðåçóëüòàòå ôóíêöèÿ X(x) óäîâëåòâîðÿåòäèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþX 00 (x)X(x)= µ, êîòîðîå ïåðåïèøåì â ñòàíäàðòíîéôîðìåX 00 (x) − µX(x) = 0.(1.13)Âñïîìíèì, ÷òî èñêîìàÿ ôóíêöèÿ u(x, t) äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü òðåáîâàíèÿì(1.81 ) è (1.82 ). Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà (1.81 )u(0, t) = X(0)T (t) ≡ 0.Ôóíêöèÿ T (t) ïî ïðåäïîëîæåíèþ íå áóäåò òîæäåñòâåííî ðàâíÿòüñÿ íóëþ,ñëåäîâàòåëüíî, ìû ïîëó÷àåì, ÷òîX(0) = 0.(1.14)X(l) = 0.(1.15)Òî÷íî òàêæå âûâîäèì, ÷òî èòîãå òðåáóåòñÿ íàéòè íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1.13), óäîâëåòâîðÿþùåå ñîîòíîøåíèÿì (1.14) è (1.15). Òàêàÿ çàäà÷à äëÿ äèôôåðåíöèàëüíîãîóðàâíåíèÿ 2-ãî ïîðÿäêà íàçûâàåòñÿ êðàåâîé (â îòëè÷èè îò çàäà÷è Êîøè) èëè47çàäà÷åé Øòóðìà - Ëèóâèëëÿ.
Íåáîëüøîå èññëåäîâàíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðèµ ≥ 0 ïîñòàâëåííàÿ çàäà÷à íå èìååò ðåøåíèÿ. Ïóñòü µ < 0 è äëÿ óäîáñòâൠ= −λ2 . Òåïåðü óðàâíåíèå (1.13) ïðåäñòàíåò â âèäåX 00 (x) + λ2 X(x) = 0.Îáùåå ðåøåíèå íàõîäèòñÿ ëåãêîX(x) = C1 cos λx + C2 sin λx.Êðàåâàÿ çàäà÷à (1.13), (1.14), (1.15) ðàçðåøèìà äàëåêî íå äëÿ âñåõ µ < 0.Íàéäåì ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ µ, òî÷íåå λ, à òàêæå îäíó èç ïîñòîÿííûõC1 , C2 (âòîðàÿ áóäåò ïðîèçâîëüíîé).Ïóñòü x = 0, òîãäà X(0) = C1 = 0.
Åñëè x = l, òî X(l) = C2 sin λ` = 0,C2 6= 0, à ïîòîìó sin λ` = 0, îòêóäà λ` = πk , k ∈ Z . Îáîçíà÷èì λk =πk` .2÷åíèÿ µk = ( πk` ) íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè. Êàæäîìó λk =Çíàπk`ñòî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ C2 , áóäåò îòâå÷àòü èñêîìîå ðåøåíèå, êîòîðîå, çàìåíèâ C2 íà Ak , çàïèøåì â âèäåXk (x) = Ak sinπkx.`(1.16)Çàìåòèì, ÷òî k = 0 ìû îòâåðãàåì, òàê êàê µ < 0, ïðèäåòñÿ ðàññòàòüñÿ è ñîòðèöàòåëüíûìè k, êîòîðûå íå äàþò íîâûõ íåçàâèñèìûõ ðåøåíèé, ïîýòîìók ∈ N îïðåäåëÿåò âñå áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî {Xk (x)} ðåøåíèé.
Îíè íàçûâàþòñÿ ñîáñòâåííûìè ôóíêöèÿìè çàäà÷è Øòóðìà - Ëèóâèëëÿ.Ïåðåéäåì ê ìíîæèòåëþ T (t), êîòîðûé ñîãëàñíî (1.12) áóäåò óäîâëåòâîðÿòüóðàâíåíèþT 00= −λ2k2a T (t)èëè00T +πka`2T (t) = 0.Îáùåå ðåøåíèå ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ, Tk (t), çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îá48ðàçîìTk (t) = Bk cosπkaπkat + Ck sint,``ãäå Bk è Ck ïîñòîÿííûå íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû.
Ïåðâûé ýòàï ìû çàâåðøàåì ïðåäñòàâëåíèåì áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà ÷àñòíûõ ðåøåíèé (1.5), óäîâëåòâîðÿþùèõ çàäàííûì ãðàíè÷íûì òðåáîâàíèÿìuk (x, t) =πkaπkaπkxBk cost + Ck sint Ak sin.```Èõ ìîæíî çàïèñàòü â áîëåå ïðîñòîì âèäåuk (x, t) =πkaπkaπkxak cost + bk sint sin.```(1.17)Çäåñü ak = Ak Bk , bk = Ak Ck ïðîèçâîëüíû.  öåëÿõ óïðîùåíèÿ ïðîöåäóðû ðåøåíèÿ çàäà÷ ìû, íå íàðóøàÿ îáùíîñòè, áóäåì ñ÷èòàòü ïîñòîÿííûéìíîæèòåëü ïðè Xk (x) ðàâíûì åäèíèöå. Âòîðîé ýòàï - âûïîëíåíèå íà÷àëüíûõóñëîâèé (1.6) è (1.7). Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè uk (x, t) èç(1.17) óäîâëåòâîðèòü ýòèì òðåáîâàíèÿì íå óäàñòñÿ.
Îòìåòèì, ÷òî è ëþáàÿ,êîíå÷íàÿ ñóììà ôóíêöèé uk (x, t), êîòîðàÿ õîòÿ è óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ(1.5) è êðàåâûì óñëîâèÿì (1.81 ), (1.82 ), íå ðåøèò çàäà÷ó Êîøè â îáùåì ñëó÷àå, êàê íè âûáèðàé ak è bk . Îñòàåòñÿ åäèíñòâåííàÿ âîçìîæíîñòü âçÿòü íåòîëüêî áåñêîíå÷íóþ ñóììó uk (x, t), à âåñü ðÿä, çàïèñàâu(x, t) =∞ Xk=1πkaπkxπkat + bk sint sin,ak cos```(1.18)â êîòîðûõ ak è bk , õîòÿ è íåèçâåñòíûå, íî äîëæíû îáåñïå÷èâàòü ñõîäèìîñòüðÿäà.
Ïðåäñòàâëåíèå (1.18) íàçîâåì ôîðìàëüíûì ðåøåíèåì ïîñòàâëåííîé çàäà÷è, õîòÿ îíî ìîæåò è íå áûòü ðåøåíèåì â îáû÷íîì âèäå.Ïîäáåðåì êîýôôèöèåíòû ak è bk â (1.18) òàê, ÷òîáû óñëîâèÿ (1.6) è (1.7)óäîâëåòâîðÿëèñü. Ïðåäâàðèòåëüíî ôîðìàëüíî ïðîäèôôåðåíöèðóåì ôîðìàëü49íî ðÿä (1.18) ïî t∞∂u X πkaπkaπkaπkx=−ak sint + bk cost sin.∂t````(1.19)k=1Ïîëàãàåì â (1.18) t = 0 ñ ó÷åòîì, ÷òî u(x, 0) = f (x),∞Xak sink=1πkx= f (x).`(1.20)Çàìå÷àåì, ÷òî ak ÿâëÿþòñÿ êîýôôèöèåíòàìè ðÿäà Ôóðüå ôóíêöèè f (x) , ðàçëîæåííîé íà îòðåçêå [0, `] â ðÿä òîëüêî ïî ñèíóñàì. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ñàì ðÿäâ (1.20) ñõîäèòñÿ íà [0, `] ðàâíîìåðíî, íàõîäèì2ak =`Z`f (x) sinπkxdx, k = 1; 2; ...
.`(1.21)0Òî÷íî òàêæå, ïîëàãàÿ t = 0 â ðàâåíñòâå (1.19), ñ ó÷åòîì (1.7) ïîëó÷àåì∞Xπkak=1Îòñþäàπka` bk=2`R`0`bk sinπkx= F (x).`F (x) sin πkx` dx, à` 2bk =πka `Z`F (x) sinπkxdx, k = 1; 2; ... .`(1.22)0Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ôîðìàëüíî äëÿ íåïðåðûâíûõ f (x) è F (x) ìû ïîëó÷èëèðåøåíèå çàäà÷è â âèäå ðÿäà (1.18), â êîòîðîì êîýôôèöèåíòû íàõîäÿòñÿ ïîôîðìóëàì (1.21) è (1.22).
Íî ðÿäû, ðÿäû Ôóðüå â òîì ÷èñëå, âåùü êàïðèçíàÿè íå ñõîäÿòñÿ ðàâíîìåðíî äàæå äëÿ íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé. Ìîæíî ïîêàçàòü,÷òî äëÿ ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ðÿäà (1.18) äîñòàòî÷íî, ÷òîáû f (x) èìåëàêóñî÷íî íåïðåðûâíóþ ïðîèçâîäíóþ, à F (x) áûëà ïðîñòî êóñî÷íî íåïðåðûâ50íà ïðè âûïîëíåíèè (1.81 ) è (1.82 ). Îäíàêî ýòè òðåáîâàíèÿ íå îáåñïå÷èâàþò,âîîáùå ãîâîðÿ, ñóùåñòâîâàíèÿ ó ôóíêöèè u(x, t) íåïðåðûâíûõ âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ∂2u∂x2è∂2u∂t2 ,áåç ÷åãî ãîâîðèòü îá u(x, t) êàê î ðåøåíèè óðàâíåíèÿ (1.5)íåêîððåêòíî.
Ââåäåì òàêîå îïðåäåëåíèå.Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèþ u(x, t) ïðåäñòàâëåííóþ ðÿäîì (1.18), â êîòîðîì êîýôôèöèåíòû íàõîäÿòñÿ ïî ôîðìóëàì (1.21), (1.22) íàçîâåì ðåãóëÿðíûì (êëàññè÷åñêèì) ðåøåíèåì çàäà÷è, åñëè ðÿä äîïóñêàåò äâóõêðàòíîå äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî x è t.Íåïðåðûâíîñòü ïîâòîðíûõ ïðîèçâîäíûõ àâòîìàòè÷åñêè ñëåäóåò èç ïðàâèëà ïî÷ëåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ôóíêöèîíàëüíîãî ðÿäà, òðåáóþùåãî ðàâíîìåðíîé ñõîäèìîñòè ôîðìàëüíî ïðîäèôôåðåíöèðîâàííûõ ðÿäîâ.Ïðèâåäåì áåç äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåãóëÿðíîãî ðåøåíèÿ â âèäå òðåáîâàíèÿ íà ñòåïåíü ãëàäêîñòè f (x) è F (x).Òåîðåìà. Åñëè â ïîñòàâëåííîé â ïðèìåðå 1 çàäà÷å f (x) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿìf (0) = f (`) = 0, f 00 (0) = f 00 (`) = 0 è f (x) èìååò íåïðåðûâíûå ïðîèçâîäíûåf 0 (x), f 00 (x) è êóñî÷íî íåïðåðûâíóþ f 000 (x), à F (x) óäîâëåòâîðÿåò òðåáîâàíèÿì F (0) = F (`) = 0, F 0 (x) íåïðåðûâíà, F 00 (x) êóñî÷íî íåïðåðûâíà, òî u(x, t),ïðåäñòàâëåííàÿ ðÿäîì (1.18), áóäåò ðåãóëÿðíûì ðåøåíèåì.Åñëè f (x) è F (x) îáåñïå÷èâàþò ëèøü ðàâíîìåðíóþ ñõîäèìîñòü ðÿäà (1.18),òî u(x, t) íàçûâàþò îáîáùåííûì ðåøåíèåì.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
