Turin Yu.N. - Multidimensional Gaussian Calculus (1120045)
Текст из файла
Ãëàâà 1. Íîðìàëüíûå (ãàóññîâñêèå) âåêòîðà - ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà1. Îïðåäåëåíèå è ïðîñòåéøèå õàðàêòåðèñòèêè íîðìàëüíûõâåêòîðîâ.Îïðåäåëåíèå 1.1.Ïóñòü ~η = (η1 , . . . , ηp )T - ñëó÷àéíûé âåêòîð, ãäå ηi v N (0, 1), i =1, p íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî ýòîò âåêòîð - pìåðíûé ñòàíäàðòíûé íîðìàëüíûé (èëè ãàóññîâñêèé) âåêòîð, ò.å. îí èìååòñòàíäàðòíîå p-ìåðíîå íîðìàëüíîå (èëè ãàóññîâñêîå) ðàñïðåäåëåíèå. Ñëó÷àéíûé âåêòîðξ~ = ~a + B~η(1.1)ãäå B - ïîñòîÿííàÿ (íåñëó÷àéíàÿ) ìàòðèöà ðàçìåðà n × p è ~a ∈ Rn - ïîñòîÿííûé(íåñëó÷àéíûé) âåêòîð, íàçûâàåòñÿ n - ìåðíûì íîðìàëüíûì (èëè ãàóññîâñêèì)ñëó÷àéíûì âåêòîðîì , à åãî ðàñïðåäåëåíèå - n-ìåðíûì íîðìàëüíûì (èëè ãàóññîâñêèì) ðàñïðåäåëåíèåì. Çàìåòèì, ÷òî ïðåäñòàâëåíèå ýòîãî âåêòîðà â ôîðìåξ~ = ~a + B~η íå åäèíñòâåííî (ñì.
óïðàæíåíèå 1.1 â êîíöå ãëàâû).Çàìå÷àíèå 1.2.  ñëó÷àå n = 1 ìû èìååì îáû÷íóþ (îäíîìåðíóþ) íîðìàëüíóþñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, ò. ê. åñëè a ∈ R1 , B = (b1 , . . . , bp ) - ìàòðèöà 1 × p, ò. å. ppPbi ηi - ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ íîðìàëüíûõ- ìåðíûé âåêòîð, òî ξ = a + B~η = a +i=1ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ïîñòîÿííîéâåëè÷èíû, ò.å.
ñàìà ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé.P(Åå ðàñïðåäåëåíèå - N (a, pi=1 b2i ).)Çàìå÷àíèå 1.3. Ëèíåéíîå (èëè, åñëè ãîâîðèòü òî÷íåå, àôôèííîå) ïðåîáðàçîâàíèåξ~, ò.å. ~a1 + B1 ξ~ (ãäå ~a1 ∈ Rq - ïîñòîÿííûé âåêòîð, B1 - ïîñòîÿííàÿ ìàòðèöà ðàçìåðàq × n) òàêæå ÿâëÿåòñÿ íîðìàëüíûì âåêòîðîì, ò.ê.
~a1 + B1 ξ~ = ~a1 + B1~a + B1 B~η ,ò.å. ~a1 + B1 ξ~ = B̃~η + ã äëÿ q × p ìåðíîé ìàòðèöû B̃ := B1 B è q -ìåðíîãî âåêòîðàã := ~a1 + B1~a; òàêèì îáðàçîì, äëÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ~a1 + B1 ξ~ èìååòñÿ âûðàæåíèå÷åðåç ~η òèïà (1.1), è ýòîò âåêòîð - íîðìàëüíûé q -ìåðíûé.Òåïåðü íàéäåì âåêòîð ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé è êîâàðèàöèîííóþ (äèñïåðñèîííóþ) ìàòðèöó R = Dξ~ = Var ξ~ äëÿ ξ~ = ~a + B~η .Íàïîìíèì íåêîòîðûå îïðåäåëåíèÿ èç òåîðèè âåðîÿòíîñòåé.Îïðåäåëåíèå 1.4.
Âåêòîð ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé (ñðåäíèõ çíà÷åíèé)äëÿ ñëó÷àéíîãî n-ìåðíîãî âåêòîðà ζ~ = (ζ1 , . . . , ζn )T (íå îáÿçàòåëüíî íîðìàëüíîãî)îïðåäåëåí, åñëè è òîëüêî åñëè Eζi ïðè âñåõ i = 1, n ñóùåñòâóþò è êîíå÷íû, è ðàâåí,ïî îïðåäåëåíèþ,(Eζ1 , . . . , Eζn )T .Îáîçíà÷åíèå: Eζ~. Äëÿ êðàòêîñòè ýòîò âåêòîð èìåíóåòñÿ ïðîñòî ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì èëè ñðåäíèì çíà÷åíèåì èñõîäíîãî âåêòîðà ζ~. Îãîâîðêà ïðî ñóùåñòâîâàíèå èêîíå÷íîñòü Eζi ïðè âñåõ i = 1, n íåîáõîäèìà, ò.ê. ýòî íå âñåãäà âûïîëíåíî: íàïðèìåð, åñëè ïåðâàÿ êîìïîíåíòà ~µ1 ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ~µ èìååò ðàñïðåäåëåíèå Êîøè, òîEµ1 , à, çíà÷èò, è E~µ íå ñóùåñòâóåò. Äëÿ òàêèõ âåêòîðîâ âûïîëíåíû ïðîñòûå ñâîéñòâà(óêàçàííûå â óïðàæíåíèè 1.2).Îïðåäåëåíèå 1.5.
Ìàòðèöåé êîâàðèàöèé (èëè êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöåé, äèñïåðñèîííîé ìàòðèöåé) äàííîãî n-ìåðíîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ζ~ íàçûâà-åòñÿ, ïî îïðåäåëåíèþ, êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n (îáîçíà÷àåìàÿ êàê Dζ~, Var ζ~,Rζ~ ), ij -é ýëåìåíò êîòîðîé ðàâåí cov(ζi , ζj ). È ýòà ìàòðèöà îïðåäåëåíà, åñëè è òîëüêîåñëè Eζi2 êîíå÷íû ïðè âñåõ i = 1, n - ýòî óñëîâèå ðàâíîñèëüíî òîìó, ÷òî cov(ζi , ζj ) =E(ζi − Eζi )(ζj − Eζj ) êîíå÷íû ïðè âñåõ i, j = 1, n. Ýòà îãîâîðêà âàæíà - ïî òåìæå ïðè÷èíàì, ïî êîòîðûì íåîáõîäèìà àíàëîãè÷íàÿ îãîâîðêà â îïðåäåëåíèè âåêòîðà1ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé: Eζi2 ìîæåò è íå áûòü êîíå÷íî (åñëè, íàïðèìåð, ζi èìååò ðàñïðåäåëåíèå Êîøè).
Ìàòðèöà êîâàðèàöèé ñëó÷àéíîãî âåêòîðà òàêæå îáëàäàåòíåêîòîðûìè âàæíûìè ñâîéñòâàìè - ñì. óïðàæíåíèå 1.3. äàëüíåéøåì íàì ïîíàäîáèòñÿ ïîíÿòèå ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ìàòðèöû.Îïðåäåëåíèå 1.6. Ïóñòü X - ñëó÷àéíàÿ ìàòðèöà, ò.å. ìàòðèöà, ýëåìåíòû êîòîðîé - ýòî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû; ìîæíî òàêæå ðàññìàòðèâàòü òàêóþ ìàòðèöó (ðàçìåðàk × l) êàê ñëó÷àéíûé âåêòîð ðàçìåðíîñòè kl, çàïèñàííûé â âèäå ìàòðèöû. Ìàòðèöàìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé (ñðåäíèõ çíà÷åíèé), èëè ïðîñòî ìàòåìàòè÷åñêîåîæèäàíèå (ñðåäíåå çíà÷åíèå) äàííîé ìàòðèöû X îïðåäåëåíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ó âñåõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí - ýëåìåíòîâ X - ñóùåñòâóåò è êîíå÷íî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå, è îïðåäåëÿåòñÿ êàê ÷èñëîâàÿ ìàòðèöà òîãî æå ðàçìåðà, ij -éýëåìåíò êîòîðîé ìàòåìàòè÷åñêîìó îæèäàíèþ ij -ãî ýëåìåíòà ìàòðèöû X .Äëÿ ýòîé îïåðàöèè òàêæå âûïîëíåíû íåêîòîðûå ïðîñòåéøèå ñâîéñòâà - îíè ïåðå÷èñëåíû â óïðàæíåíèè 1.2.Èç ñâîéñòâ îïåðàöèè âçÿòèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ äëÿ âåêòîðîâ (ñì.
óïðàæíåíèå 1.2) Eξ~ = E~a + BE~η = ~a. Ìû èñïîëüçîâàëè òî, ÷òî ηi v N (0, 1), îòêóäà Eηi = 0äëÿ i = 1, p è E~η = (Eη1 , . . . , Eηp )T = (0, . . . , 0)T . Ò. å. ~a - âåêòîð ìàòåìàòè÷åñêèõîæèäàíèé äëÿ ξ~.~ = ~η , A = B, ~b = ~a, èìååì: Var ξ~ = B Var ~η B T =Ïîëàãàÿ (â óïðàæíåíèè 1.3.3) XBB T (âåäü ηi v N (0, 1), i = 1, p íåçàâèñèìû è cov(ηi , ηj ) = 0 äëÿ i, j = 1, n, i 6= j , àcov(µi , µi ) = Var ηi = 1 äëÿ i = 1, n, è, ñëåäîâàòåëüíî, Var ~η = Ip , ãäå Ip - åäèíè÷íàÿìàòðèöà ïîðÿäêà p; ýòî îáîçíà÷åíèå Ip áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ è äàëüøå).Èòàê, âåðíîÓòâåðæäåíèå 1.7.
Âåêòîð ñðåäíèõ çíà÷åíèé äëÿ ξ~ èç ôîðìóëû (1.1) ðàâåí ~a, àìàòðèöà êîâàðèàöèé - BB T .2. Îáùèå ñâîéñòâà ìíîãîìåðíûõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé.Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè íîðìàëüíûõ âåêòîðîâ.Îïðåäåëåíèå 1.8. Åñëè ξ~ = (ξ1 , . . . , ξn )T - n-ìåðíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð, òî åãîìíîãîìåðíîé (èëè n-ìåðíîé) õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé íàçûâàåòñÿ, ïîîïðåäåëåíèþ, ôóíêöèÿ ϕ : Rn → C, çàäàâàåìàÿ òàê: äëÿ t ∈ RnZTT~~ϕξ~(t) = E exp(it ξ) = E exp(i(t, ξ)) = eit x P (dx),Rnãäå ñêîáêè (·, ·) îáîçíà÷àþò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå, à P - ðàñïðåäåëåíèå âåêòîðà ξ~â Rn .(Ýòî - åñòåñòâåííîå îáîáîùåíèå ïîíÿòèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè ñëó÷àéíîéâåëè÷èíû: ôóíêöèÿ ϕξ : R → R, çàäàâàåìàÿ òàê: ϕξ (t) == E exp(itξ), êàê ìû çíàåì, íàçûâàåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé ñëó÷àéíîéâåëè÷èíû ξ .
 äàëüíåéøåì ìû áóäåì èìåííî òàê - ñèìâîëàìè ϕξ , ϕξ~ - îáîçíà÷àòüõàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè.)Åå ñâîéñòâà:1. ϕξ~(0) = 1, |ϕξ~(t)| ≤ 1 ïðè âñåõ t ∈ Rn .2. ϕξ~ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíà íà Rn .~ = a + BX~ , ãäå X~ - ñëó÷àéíûé n-ìåðíûé âåêòîð, a - ïîñòîÿííûé (íåñëó3. Åñëè Y÷àéíûé) âåêòîð ðàçìåðíîñòè m, B - íåñëó÷àéíàÿ (ïîñòîÿííàÿ) ìàòðèöà ðàçìåðàm × n, òîϕY~ (t) = ei(t,a) ϕX~ (B T t),ãäå ñêîáêè (·, ·) îáîçíà÷àþò ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå.2~ , Y~ - ñëó÷àéíûå âåêòîðà ðàçìåðíîñòè n, òî ϕ ~ ≡ ϕ ~ íà Rn òîãäà è òîëüêî4. Åñëè XXY~ è Y~ ñîâïàäàþò.
(Ïîýòîìó òàêæåòîãäà, êîãäà ðàñïðåäåëåíèÿ âåêòîðîâ XZTϕ(t) = eit x P (dx)Rníàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ P â Rn . Ò.å. ôóíêöèÿðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà åñòü ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ äëÿ åãî ðàñïðåäåëåíèÿ.)~ j , j = 1, m - n-ìåðíûå ñëó÷àéíûå âåêòîðà, òî îíè íåçàâèñèìû, åñëè è5. Åñëè Xòîëüêî åñëè äëÿ âñåõ t ∈ RnmYϕX~ (t) =ϕX~ j (t),j=1~ =ãäå XPm~ j.X~ j - kj -ìåðíûé ñëó÷àéíûé âåêòîð, j = 1, m, à ó ñëó÷àéíîãî k = Pm kj 6. Åñëè Xj=1~ ïåðâûå k1 êîìïîíåíò ñîñòàâëÿþò âåêòîð X~ 1 , ñëåäóþùèå k2 êîììåðíîãî âåêòîðà X~ 2 , . . ., ïîñëåäíèå km êîìïîíåíò - âåêòîð X~ m , òî X~ j , j = 1, m íåçàïîíåíò - âåêòîð Xkâèñèìû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðè âñåõ t ∈ RYϕX~ (t) =ϕX~ j (tj ),j=1ãäå tj ∈ Rkj , j = 1, m, à âåêòîð t ñîñòàâëåí èç âåêòîðîâ tj , j = 1, m: ïåðâûå k1 êîìïîíåíò âåêòîðà t ñîñòàâëÿþò âåêòîð t1 , ñëåäóþùèå k2 êîìïîíåíò - âåêòîð t2 è ò.ä. ÷àñòíîñòè, êîìïîíåíòû ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ~ = (ξ1 , .
. . , ξn ) íåçàâèñèìû, åñëè èòîëüêî åñëènYϕξ~(t) =ϕξj (tj )j=1ïðè âñåõ t = (t1 , . . . , tn ) ∈ R .n7. Òåîðåìà íåïðåðûâíîñòè. Ïóñòü {Fm }∞m=1 - ïîñëåäîâàòåëüíîñòüôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ â Rn , ϕm - n-ìåðíàÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ðàñïðåäåëåíèþ â Rn ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ Fm . Òîãäà:- Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {Fm }∞m=1 ñëàáî ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîé n-ìåðíîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ F (ýòî îçíà÷àåò, ÷òî Fn (x) → F (x), n → ∞ â êàæäîé òî÷êå x ∈ Rn ,â êîòîðîé F íåïðåðûâíà), òî ∀ t ∈ Rnϕn (t) → ϕ(t),ïðè n → ∞, ò.å. õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ôóíêöèè ïîòî÷å÷íî ñõîäÿòñÿ ê õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè ïðåäåëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Áîëåå òîãî, íà êîìïàêòàõ â Rn ýòà ñõîäèìîñòü - ðàâíîìåðíàÿ.- Åñëè ïðè âñåõ t ∈ Rn ïðåäåë limm→∞ ϕm (t) ñóùåñòâóåò, è ôóíêöèÿlim ϕm (t) = ϕ(t)m→∞íåïðåðûâíà â òî÷êå t = 0, òî îíà ÿâëÿåòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèåé íåêîòîðîãîðàñïðåäåëåíèÿ âåðîÿòíîñòåé â Rn ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F , è ïîñëåäîâàòåëüníîñòü {Fm }∞m=1 ñëàáî ñõîäèòñÿ ê ôóíêöèè F íà R .(Âñå âûøåïåðå÷èñëåííûå ñâîéñòâà âåðíû äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ,à íå òîëüêî äëÿ íîðìàëüíûõ.)Äîêàçàòåëüñòâà äàííûõ ñâîéñòâ ìîæíî íàéòè â êíèãå [2] (ãëàâà 2, $ 12; ãëàâà 3, $1).
Ñì. òàêæå óïðàæíåíèå 1.7.3Óòâåðæäåíèå 1.9. Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ äëÿ íîðìàëüíîãî âåêòîðà - äëÿñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ~ âèäà (1.1) - ðàâíà1ϕξ~(t) = ei(t,~a)− 2 (BBT t,t)1= ei(t,~a)− 2 (Rt,t) ,ãäå R = BB T - ìàòðèöà êîâàðèàöèé íîðìàëüíîãî âåêòîðà ξ~ - ñì. ï.1 äàííîé ãëàâû.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïî ñâîéñòâó 3 õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé, îòìå÷åííîìó âûøå,ϕξ~(t) = ei(t,~a) ϕη (B T t).Íî åñëè îáîçíà÷èòü v := B T t = (v1 , .
. . , vp ) ∈ Rp , òîTϕη (B t) = ϕη (v) =pYϕηk (vk ),k=1ò.ê. êîìïîíåíòû ηk , k = 1, p ñëó÷àéíîãî âåêòîðà η íåçàâèñèìû (ìû âîñïîëüçîâàëèñüñâîéñòâîì 6 õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé). Èçâåñòíî, ÷òî ϕηk (vk ) = exp(−vk2 /2) âåäü ηk v N (0, 1) äëÿ âñåõ k = 1, p. Çíà÷èò,pYϕηk (vk ) =k=1pY12e−vk /2 = e− 2Ppk=1vk21= e− 2 (v,v) =k=11= e− 2 (BT t,B T t)1= e− 2 (BBT t,t)1= e− 2 (Rt,t)(âñïîìíèì, ÷òî R = BB T - ìàòðèöà êîâàðèàöèé âåêòîðà ξ~). Îòñþäà1ϕξ~(t) = exp(i(~a, t) − (Rt, t)).2(1.2)Äîêàçàòåëüñòâî çàâåðøåíî. ¥Çàìå÷àíèå 1.10. Îòìåòèì êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé ïîëó÷åííîé ôîðìóëû, ÷òî äëÿp-ìåðíîãî ñòàíäàðòíîãî íîðìàëüíîãî âåêòîðà ~η ϕη~ (t) = exp(−(t, t)/2).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
