Turin Yu.N. - Multidimensional Gaussian Calculus (1120045), страница 12
Текст из файла (страница 12)
- èíîãäà áîëåå ïðîñòûõ, à èíîãäà äîâîëüíî ñëîæíûõ, êàê, íàïðèìåð, â çàêîíå áîëüøèõ÷èñåë èëè öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìå. À ñòàòèñòèêà çàíèìàåòñÿ òåì, ÷òî ïîäàííîé âåëè÷èíå (íàáëþäåíèþ) X ∈ X ïûòàåòñÿ ñêîëüêî-íèáóäü òî÷íî âîññòàíîâèòüâåðîÿòíîñòíóþ ìåðó P ∈ P íà (X, F).×àñòî ìíîæåñòâî P ïàðàìåòðèçîâàíî, ò.å.
P = {Pθ |θ ∈ Θ}, ãäå Θ 6= ∅ - íåêîòîðîåìíîæåñòâî èíäåêñîâ, ïðè÷åì Pθ 6= Pθ0 ïðè ëþáûõ θ, θ0 ∈ Θ, θ 6= θ0 . (Ïðîùå ãîâîðÿ,êàæäîé ìåðå P ∈ P âçàèìíî-îäíîçíà÷íî ñîïîñòàâëÿåòñÿ èíäåêñ θ ∈ Θ.) Ðàçóìååòñÿ,òîãäà ñóùåñòâóåò êàêîå-òî íåèçâåñòíîå íàì èñòèííîå çíà÷åíèå èíäåêñà θ ∈ Θ (òîëüêîîäíî).
È òîãäà ñäåëàòü âûâîä îá èñòèííîé âåðîÿòíîñòíîé ìåðå P - ðàâíîñèëüíî òîìó,÷òîáû ñäåëàòü âûâîä îá èñòèííîì çíà÷åíèè èíäåêñà θ ∈ Θ. Âû óæå çíàåòå, ÷òî ýòîìîæíî ñäåëàòü ðàçíûìè ñïîñîáàìè, à èìåííî òðåìÿ:- ïîñòðîèòü òî÷å÷íóþ îöåíêó;- ïîñòðîèòü äîâåðèòåëüíîå ìíîæåñòâî;- ïðîâåðèòü ãèïîòåçó. ýòîé ãëàâå ìû îñòàíîâèìñÿ íà òî÷å÷íûõ îöåíêàõ äëÿ êîíêðåòíîãî ñëó÷àÿ ýòîéîáùåé ìîäåëè - äëÿ ïàðàìåòðîâ ìíîãîìåðíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ; à ïîçæå,â ñëåäóþùèõ ãëàâàõ, ïîéäåò ðå÷ü î äâóõ äðóãèõ ñïîñîáàõ.Ïðîèëëþñòðèðóåì àáñòðàêòíîå ïîíÿòèå ñòàòèñòè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà íà êîíêðåòíîì ïðèìåðå, êîòîðûé, êñòàòè, äëÿ íàñ åùå î÷åíü ïðèãîäèòñÿ. Ïóñòü ìû äåëàåì nïîñëåäîâàòåëüíûõ íåçàâèñèìûõ íàáëþäåíèé X1 , . .
. , Xn , è íàì çàâåäîìî èçâåñòíî,÷òî äëÿ k = 1, n Xk v N (lk , σ 2 ). Ïðè ýòîì ìû íå çíàåì íè ïàðàìåòðîâ lk , k = 1, n(áóäåì òàêæå çàïèñûâàòü èõ â âèäå âåêòîðà - ñòîëáöà l = (l1 , . . . , ln )T ), íè ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ σ . Ïðàâäà, ñ÷èòàåòñÿ èçâåñòíûì, ÷òî σ > 0. Ñòàâèòñÿ48åñòåñòâåííàÿ çàäà÷à: ñäåëàòü âûâîäû îá ýòèõ íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðàõ l è σ . Íî êàêýòî ôîðìàëèçîâàòü - êàê ïîñòðîèòü ñòàòèñòè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî äëÿ òàêîé ñèòóàöèè?Ìîæíî ñäåëàòü ýòî ñïåöèàëüíûì ïðèåìîì, èñïîëüçóåìûì â òåîðèè âåðîÿòíîñòåé,à èìåííî: íåïîñðåäñòâåííî çàäàòü ñëó÷àéíûé âåêòîð X = (X1 , .
. . , Xn )T . ×òî ýòîîçíà÷àåò?Îïðåäåëåíèå À2.2. Ïóñòü äàíà ôóíêöèÿ ξ : Ω → S , çàäàííàÿ íà èçìåðèìîìïðîñòðàíñòâå (Ω, F) ñî çíà÷åíèÿìè â èçìåðèìîì ïðîñòðàíñòâå (S, B), ÿâëÿþùàÿñÿB/F -èçìåðèìîé, ò.å. ïðè B ∈ B ξ −1 (B) ∈ F . Îíà íàçûâàåòñÿ íåïîñðåäñòâåííîçàäàííîé, åñëè Ω = S, F = B è ξ - òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå, ò.å. ïðè ω ∈ Ωξ(ω) = ω .Òàêèå ôóíêöèè èíîãäà óäîáíû â òåîðåòè÷åñêèõ äîêàçàòåëüñòâàõ ñóùåñòâîâàíèÿ.Íàïðèìåð, åñëè âû èçó÷àëè äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû Êîëìîãîðîâà î ñóùåñòâîâàíèèñëó÷àéíîãî ïðîöåññà, òî çíàåòå: òàì èñêîìûé ïðîöåññ ñòðîèòñÿ èìåííî êàê íåïîñðåäñòâåííî çàäàííûé. È çäåñü ìû ïîñòðîèì ñëó÷àéíûé âåêòîð X êàê íåïîñðåäñòâåííîçàäàííûé - ïðàâäà, ñèòóàöèÿ ó íàñ íåñðàâíåííî ïðîùå, ÷åì â òåîðåìå Êîëìîãîðîâà.À èìåííî: ïóñòü X := Rn , F := B(Rn ) - áîðåëåâñêàÿ σ−àëãåáðà íà Rn .
Ïóñòü, äàëåå,Θ := {(l, σ)|l ∈ Rn , σ > 0} è äëÿ θ = (l, σ) ∈ Θ èìååì:OO OPθ = N (l1 , σ 2 )N (l2 , σ 2 )...N (ln , σ 2 ).(A2.1)N(Çíàêîáîçíà÷àåò ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ìåð; ýòî ïîíÿòèå ñ÷èòàåòñÿ èçâåñòíûì,ñì., âïðî÷åì, [2], ãë. 2, $6 èëè [4], ãë. 12, èëè ëþáîå ðóêîâîäñòâî ïî òåîðèè ìåðû èèíòåãðàëà.)È íàêîíåö, ïóñòü X : Ω → Rn - íåïîñðåäñòâåííî çàäàííûé ñëó÷àéíûé âåêòîð,à ïðîùå ãîâîðÿ - òîæäåñòâåííîå îòîáðàæåíèå Rn → Rn , è ïóñòü ïðè k = 1, n Xk åãî k -ÿ êîìïîíåíòà, ò.å. ôóíêöèÿ Ω → R, çàäàííàÿ òàê: äëÿ x = (x1 , .
. . , xn )T ∈ RXk (x) := xk . Òîãäà Xk , k = 1, n - íåçàâèñèìûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû, ïðè÷åì åñëèθ = (l, σ) - èñòèííîå çíà÷åíèå èíäåêñà, l = (l1 , . . . , lk )T , òî Xk v N (lk , σ 2 ). (Îáîñíîâàòü ýòî, èñõîäÿ èç òîãî, ÷òî Pθ - ýòî ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå îäíîìåðíûõ ìåð!)Òàê ìû ïîñòðîèëè ñòàòèñòè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, ðåàëèçóþùåå âîçíèêøóþ ñèòóàöèþíåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí X1 , . . . , Xn , ðàñïðåäåëåííûõ ñëåäóþùèì îáðàçîì:Xk v N (lk , σ 2 ).Ñëó÷àéíûé âåêòîð X èìååò ðàñïðåäåëåíèå Nn (l, σ 2 In ) (ïðîâåðüòå ýòî ñàìè!) Òàêîéâåêòîð åñòü îñíîâíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ëèíåéíîé ãàóññîâñêîé ìîäåëè - êëàññè÷åñêîéãëàâû ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè.Åñëè â ïðåäûäóùåé ñèòóàöèè íàì çàâåäîìî èçâåñòíî, ÷òî l ∈ L, ãäå L - íåêîòîðîå ôèêñèðîâàííîå ëèíåéíîå ïîäïðîñòðàíñòâî ïðîñòðàíñòâà Rn , à ìû õîòèì ñäåëàòüâûâîäû î íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðàõ l è σ , óæå çíàÿ ýòîò ôàêò (ò.å.
÷òî l ∈ L), òîñîîòâåòñòâóþùåå ñòàòèñòè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ñòðîèòñÿ òàê: X := Rn , F := B(Rn ),Θ := {(l, σ)|l ∈ L, σ > 0} è äëÿ θ := (l, σ) ∈ Θ ìåðà Pθ îïðåäåëÿåòñÿ òàê æå, êàê èäëÿ ïðåäûäóùåãî ñòàòèñòè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà - ò.å. ïî ôîðìóëå (A2.1).Òåïåðü ïðèñòóïèì ê ââåäåíèþ âàæíåéøåãî ïîíÿòèÿ ñòàòèñòèêè - à èìåííî, ïîíÿòèÿ îöåíêè ïàðàìåòðà ðàñïðåäåëåíèÿ.Ïóñòü T - íåêîòîðîå íåïóñòîå ìíîæåñòâî, τ : Θ → T - çàäàííàÿ ôóíêöèÿ.
Ìûìîæåì ãîâîðèòü, ÷òî ñóùåñòâóåò íåêîòîðîå (åäèíñòâåííîå) èñòèííîå çíà÷åíèå ýòîéôóíêöèè - ðàçóìååòñÿ, ýòî τ (θ0 ), ãäå θ0 - èñòèííîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà θ. Áóäåìäåëàòü âûâîäû îá ýòîì èñòèííîì çíà÷åíèè ôóíêöèè.Îïðåäåëåíèå À2.3. Îöåíêà èñòèííîãî çíà÷åíèÿ τ - ýòî ëþáàÿ ôóíêöèÿ δ :X → T, äîñòàòî÷íî õîðîøî ïðèáëèæàþùàÿ íåèçâåñòíîå èñòèííîå çíà÷åíèå τ . ×àñòîãîâîðÿò ïðîñòî: îöåíêà τ . ×àñòíûé ñëó÷àé ýòîãî ïîíÿòèÿ - îöåíêà τ äëÿ T := Θ49è äëÿ τ - òîæäåñòâåííîãî îòîáðàæåíèÿ Θ. Òàêàÿ ôóíêöèÿ δ : X → T íàçûâàåòñÿîöåíêîé èñòèííîãî çíà÷åíèÿ θ.
Ýòî, êàê ëåãêî âèäåòüÄëÿ ÷åãî ñëóæèò òàêîå îïðåäåëåíèå? Ìû ïîëó÷èëè íàáëþäåíèå X ∈ X è õîòåëèáû ïî íåìó âîññòàíîâèòü èñòèííîå çíà÷åíèå τ - ïóñòü íå òî÷íî, õîòÿ áû ïðèáëèæåííî.Ýòî ìîæíî ñäåëàòü, åñëè ìû ðàñïîëàãàåì îöåíêîé τ .Íî ïîñëåäíåå îïðåäåëåíèå, åñòåñòâåííî, íå ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ ìàòåìàòè÷åñêè ñòðîãèì. ×òî îçíà÷àþò ñëîâà "äîñòàòî÷íî õîðîøî ïðèáëèæàþùàÿ"? Íåîáõîäèìî êàê-òîìàòåìàòè÷åñêè ôîðìàëèçîâàòü ýòî.Îïðåäåëåíèå À2.4. Ïóñòü X ⊂ Rn - áîðåëåâñêîå ïîäìíîæåñòâî Rn , F = B(X)- σ -àëãåáðà âñåõ áîðåëåâñêèõ ïîäìíîæåñòâ X è ïðè âñåõ θ ∈ Θ Pθ - âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà, àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ îòíîñèòåëüíî êëàññè÷åñêîé ìåðû Ëåáåãà íà B(X),ò.å.
èìåþùàÿ ïëîòíîñòü (èëè, áîëåå òî÷íî, ïðîèçâîäíóþ Ðàäîíà - Íèêîäèìà îòíîñèòåëüíî ýòîé ìåðû Ëåáåãà) fθ : X → Rn . (Ýòè ïîíÿòèÿ - àáñîëþòíàÿ íåïðåðûâíîñòü,ïðîèçâîäíàÿ Ðàäîíà - Íèêîäèìà - ñ÷èòàþòñÿ èçâåñòíûìè èç êóðñà äåéñòâèòåëüíîãîàíàëèçà.) Âìåñòî fθ (x) áóäåì ïèñàòü òàê: f (x, θ). Òîãäà ïðè ôèêñèðîâàííîì X ∈ Xôóíêöèÿ Θ → Rn , θ 7→ f (X, θ) íàçûâàåòñÿ ïðàâäîïîäîáèåì.Îïðåäåëåíèå A2.5. Åñëè ïðè ëþáîì X ∈ X ïðàâäîïîäîáèå, ñîîòâåòñòâóþùååýòîìó X , èìååò ñòðîãèé ãëîáàëüíûé ìàêñèìóì - èëè, áîëåå ôîðìàëüíî, íàéäåòñÿòàêîå çíà÷åíèå θX ∈ Θ, ÷òî ïðè âñåõ θ ∈ Θ f (X, θ) ≤ f (X, θX ), ïðè÷åì ðàâåíñòâîäîñòèãàåòñÿ òîëüêî ïðè θ = θX , òî ôóíêöèÿ δ : X → Θ, ñîïîñòàâëÿþùàÿ íàáëþäåíèþ X ∈ X çíà÷åíèå θX , íàçûâàåòñÿ îöåíêîé íàèáîëüøåãî ïðàâäîïîäîáèÿ (èëèîöåíêîé ìàêñèìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ).Ïî÷åìó æå òàê îïðåäåëåííàÿ ôóíêöèÿ δ : X → Θ äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ îöåíêîé,ò.å.
ïî÷åìó îïðàâäàíî íàçâàíèå "îöåíêà íàèáîëüøåãî ïðàâäîïîäîáèÿ"? Ïî íåñòðîãîìó îïðåäåëåíèþ A2.3, îöåíêà äîëæíà õîðîøî50.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
