Turin Yu.N. - Multidimensional Gaussian Calculus (1120045), страница 11
Текст из файла (страница 11)
ðàñïðåäåëåíèÿ Ôèøåðà F (ν1 , ν2 , ∆) ñòîõàñòè÷åñêè âîçðàñòàþò ïðè âîçðàñòàíèè∆.42Ãëàâà 7. Ïðîâåðêà íåçàâèñèìîñòè.Ïóñòü (Xk , Yk )T , k = 1, n - âûáîðêà èç ðàñïðåäåëåíèÿ N2µ((a, b)T , Σ), ãäå ìàòðèöà¶σx2ρσx σyêîâàðèàöèé Σ - êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà 2 - èìååò âèä, çäåñüρσx σyσy2σx2 = Var X, σy2 Var Y, ρ = corr(X, Y ) äëÿ (X, Y )T v N2 ((a, b)T , Σ). Ïîñòðîèì ïðàâèëîäëÿ ïðîâåðêè ãèïîòåçû ρ = 0, ò.å. ãèïîòåçû î òîì, ÷òî X, Y íåêîððåëèðîâàíû (èëè,÷òî òî æå ñàìîå, íåçàâèñèìû - ýòî ðàâíîñèëüíûå ïðåäïîëîæåíèÿ, ò.ê. X, Y èìåþòñîâìåñòíîå ãàóññîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå, ñì.
$4 ãëàâû 1).43Ïðèëîæåíèå.Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû î çàìåíå ïåðåìåííûõ â èíòåãðàëåËåáåãà ïî ìíîæåñòâàì â åâêëèäîâîì n−ìåðíîì ïðîñòðàíñòâå.Ïóñòü D, G ⊂ Rn - îòêðûòûå ìíîæåñòâà, α : D → G - áèåêöèÿ, ïðè÷åì α ∈C (D), α−1 ∈ C 1 (G), è ïðè ýòîì J(t) - ÿêîáèàí ôóíêöèè α â òî÷êå t ∈ D - îòëè÷åí îòíóëÿ âî âñåõ òî÷êàõ t ∈ D. Ïóñòü, äàëåå, f : G → R - áîðåëåâñêàÿ ôóíêöèÿ, A ∈ B(D)- íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî, α(A) - åãî îáðàç ïðè îòîáðàæåíèè α.Òîãäà f ∈ L1 (α(A)), åñëè è òîëüêî åñëè f (α(t))|J(t)| ∈ L1 (A). Åñëè èìååò ìåñòîèíòåãðèðóåìîñòü, òîZZf (α(t))|J(t)|dt =f (x)dx.(1.3)1Aα(A)Äîêàçàòåëüñòâî. Øàã 1. Ñíà÷àëà çàìåòèì, ÷òî ìû ìîæåì ïåðåéòè îò ìíîæåñòâA, α(A) ê ìíîæåñòâàì D, G: f ∈ L1 (α(A)) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà Iα(A) ∈ L1 (G),è â ñëó÷àå èíòåãðèðóåìîñòèZZf (x)dx = f (x)Iα(A) (x)dx.α(A)GÀíàëîãè÷íî, f (α(t))|J(t)| ∈ L1 (A) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäàf (α(t))|J(t)|IA (t) ∈ L1 (D), è â ñëó÷àå èíòåãðèðóåìîñòèZZf (α(t))|J(t)|dt = f (α(t))|J(t)|IA (t)dt.ADÒ.å.
äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ñëåäóþùèé ôàêò äëÿ ôóíêöèè g(x) = f (x)Iα(A) (x): g(x) ∈L1 (G) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà g(αt)|J(t)| ∈ L1 (D), è â ñëó÷àå èíòåãðèðóåìîñòèZZg(x)dx = g(αt)|J(t)|dt.GØàã 2. Ïóñòü ñíà÷àëà g = IB , B =DQnk=1 [ak , bk ), ãäå ïðè k = 1, n [ak , bk ) - îãðàíè÷åííûé ïîëóèíòåðâàë íà äåéñòâèòåëüíîé Qïðÿìîé (áóäåì íàçûâàòü òàêèå ìíîæåñòâàB n-ìåðíûìè áðóñàìè), è ïðè ýòîì B = nk=1 [ak , bk ] ⊂ G (ò.å., êàê ãîâîðÿò, B êîìïàêòíî ñîäåðæèòñÿ â G). Òîãäà äîêàçûâàåìîå óòâåðæäåíèå âåðíî. Äåéñòâèòåëüíî,ñôîðìóëèðóåì òåîðåìó î çàìåíå ïåðåìåííûõ â êðàòíîì èíòåãðàëå Ðèìàíà:Ïóñòü α : V → W - áèåêöèÿ îãðàíè÷åííûõ çàìêíóòûõ êóáèðóåìûõ îáëàñòåéV, W ⊂ Rn (íàïîìíèì, ÷òî çàìêíóòàÿ îáëàñòü - ýòî çàìûêàíèå îáëàñòè â îáû÷íîìñìûñëå ýòîãî ñëîâà, ò.å.
îòêðûòîãî ñâÿçíîãî ìíîæåñòâà), ïðè÷åì ψ ∈ C 1 (V ), ψ −1 ∈C 1 (W ), J(t) - ÿêîáèàí ôóíêöèè ψ â òî÷êå t ∈ V - îòëè÷åí îò íóëÿ âî âñåõ òî÷êàõt ∈ V . Ïóñòü, äàëåå, ôóíêöèÿ h : W → R èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó íà W . Òîãäàôóíêöèÿ h(ψ(t))|J(t)| èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó íà V è èõ èíòåãðàëû ðàâíû.(Äîêàçàòåëüñòâî - ñì. [3], òîì 2, ãë. 2, $5.)Ïðèìåíèì ýòó òåîðåìó ê V = α−1 (B), W = B, ψ = α, h = 1. Çàìåòèì, ÷òî B- çàìêíóòàÿ îãðàíè÷åííàÿ êóáèðóåìàÿ îáëàñòü â Rn . Êðîìå òîãî, α−1 (B) - òàêæåîãðàíè÷åííàÿ çàìêíóòàÿ êóáèðóåìàÿ îáëàñòü â Rn . (Ñì. [3], òîì 2, ãë. 2, $ 5.) Ò.ê.ôóíêöèÿ h, òîæäåñòâåííî ðàâíàÿ åäèíèöå, èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó íà W (à êðîìåòîãî, è ïî Ëåáåãó - âåäü îíà èçìåðèìà, îãðàíè÷åíà, à ìíîæåñòâî W - áîðåëåâñêîå è44èìååò êîíå÷íóþ ìåðó Ëåáåãà), òî ïî ýòîé òåîðåìå ôóíêöèÿ h(α(t))|J(t)| èíòåãðèðóåìà ïî Ðèìàíó íà V (à êðîìå òîãî, è ïî Ëåáåãó - âåäü îíà èçìåðèìà, îãðàíè÷åíà, àìíîæåñòâî V - áîðåëåâñêîå è èìååò êîíå÷íóþ ìåðó Ëåáåãà) è âåðíî ðàâåíñòâîZZh(x)dx =h(α(t))|J(t)|dt,α−1 (B)Bèëè, âñïîìèíàÿ òî, ÷òî h = 1 íà W ,ZZdx =B|J(t)|dt.α−1 (B)Äàëåå, ò.ê.
B \ B ⊂ ∂B è µ(B \ B) ≤ µ(∂B), à n-ìåðíûé áðóñ B êóáèðóåì, ò.å.µ(∂B) = 0, òî µ(B \ B) = 0. Êðîìå òîãî, α−1 (B) \ α−1 (B) == α−1 (B \ B), à µ(B \ B) = 0. Çíà÷èò, µ(α−1 (B) \ α−1 (B)) = µ(α−1 (B \ B)) = 0. (Îáîñíîâàíèå òîãî ôàêòà, ÷òî íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîå îòîáðàæåíèå α−1 ïåðåâîäèòìíîæåñòâî ìåðû íóëü â ìíîæåñòâî ìåðû íóëü, ñì. â êíèãå [3], òîì 2, ãë. 2, $ 5, ëåììà5.) Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî h ∈ L1 (B), h(α(t))|J(t)| ∈ L1 (α−1 (B)) è ïðè ýòîìZZ|J(t)|dt.dx =Bα−1 (B)Ò.å.
g = IB èíòåãðèðóåìà ïî Ëåáåãó íà G, g(α(t))|J(t)| = Iα−1 (B) |J(t)| èíòåãðèðóåìàïî Ëåáåãó íà D, è ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî äàåò íàì ðàâåíñòâî (1.4) äëÿ ôóíêöèè g = IB .Ò.å. äîêàçûâàåìîå óòâåðæäåíèå âåðíî äëÿ g = IB .Øàã 3. Åñëè W ∈ B(G), òî ïóñòü A(W ) - ìíîæåñòâî, ñîñòîÿùåå èç âñåõ êîíå÷íûõîáúåäèíåíèé n-ìåðíûõ áðóñîâ, ëåæàùèõ â W , à òàêæå ïóñòîãî ìíîæåñòâà.
Çàìåòèì,÷òî ìíîæåñòâî n-ìåðíûõ áðóñîâ, ëåæàùèõ â W - ïîëóêîëüöî, à êîíå÷íûå îáúåäèíåíèÿ òàêèõ áðóñîâ îáðàçóþò ìèíèìàëüíîå êîëüöî, ñîäåðæàùåå ýòî ïîëóêîëüöî; òàêîåìèíèìàëüíîå êîëüöî è åñòü A(W ). Åñëè æå W = U − n−ìåðíûé áðóñ, òî ýòî ìèíèìàëüíîå êîëüöî ÿâëÿåòñÿ àëãåáðîé ïîäìíîæåñòâ U , âåäü ñàìî U ëåæèò â A(W ).Ìîæíî îïðåäåëèòü A(W ) êàê ñîâîêóïíîñòü âñåâîçìîæíûõ êîíå÷íûõ îáúåäèíåíèéíåïåðåñåêàþùèõñÿ n-ìåðíûõ áðóñîâ, ëåæàùèõ â W . (Ñì. êíèãó [4], ãë. 5, çàäà÷è 5.10,5.21, 5.22, 5.31.) ñèëó ëèíåéíîñòè èíòåãðàëà Ëåáåãà äîêàçûâàåìîå óòâåðæäåíèåâåðíî è äëÿPkôóíêöèé g = IC , C ∈ A(U ), ò.å.
äëÿ ôóíêöèé âèäà g =I,ãäåBj , j = 1, kj=1 Bj- íåïåðåñåêàþùèåñÿ n-ìåðíûå áðóñû, ëåæàùèå â U .Çàìåòèì òàêæå, ÷òî B(U ) = σ(A(U )). (Ýòî áóäåò èñïîëüçîâàíî â äàëüíåéøåìäîêàçàòåëüñòâå.) Íàïîìíèì òåîðåìó îá àïïðîêñèìàöèè:åñëè A - àëãåáðà ïîäìíîæåñòâ Ω 6= ∅, σ(A) − σ -àëãåáðà, ïîðîæäåííàÿ åé, P âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà íà σ(A), òî∀ε > 0 ∀A ∈ σ(A) ∃B ∈ A : P (A 4 B) < ε.Ïðèìåíèì ýòó òåîðåìó äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïðîìåæóòî÷íîãî ïðåäëîæåíèÿ:Ïðåäëîæåíèå. Åñëè E ∈ B(G), µE < ∞, òî ïðè âñåõ ε > 0 íàéäåòñÿ C ∈ A(G),äëÿ êîòîðîãî µ(C 4 E) < ε.Äîêàçàòåëüñòâî ïðåäëîæåíèÿ.Ïðåäñòàâëÿåì G êàê∞Sm=1Um , ãäå äëÿ âñåõ m ∈ N Um - n- ìåðíûé áðóñ, êîìïàêòíîñîäåðæàùèéñÿ â G.
Ïîäðîáíåå: ïóñòü äëÿ x ∈ G ε(x) > 0 òàêîâî, ÷òî B2√nε(x) (x) ⊂ G- ìû èñïîëüçóåì òî, ÷òî G îòêðûòî, ò.å. òî÷êà x ∈ G - âíóòðåííÿÿ. {Bε(x) (x)}x∈G- îòêðûòîå ïîêðûòèå G; ò.ê. G ñåïàðàáåëüíî êàê ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî - âåäü45G - ïîäïðîñòðàíñòâî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà Rn - òî èç ýòîãî ïîêðûòèÿ ìîæíînQâûäåëèòü ñ÷åòíîå ïîäïîêðûòèå {Bεj (xj )}j , ãäå εj = ε(xj ). Ïóñòü, äàëåå, Bj = [xji −i=1εj , xji + εj ) − n-ìåðíûé áðóñ, ãäå xj := (xj1 , .
. . , xjn ). SÎí êîìïàêòíî ñîäåðæèòñÿ â√B2 nεj (xj ), à, çíà÷èò, è â G. Íî Bεj (xj ) ⊂ Bj , ò.å. G ⊂ Bj è, òàêèì îáðàçîì, {Bj }jj- íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíîå ïîêðûòèå G.è ðàññìàòðèâàåì A = A(Um ), σ(A) = σ(A(Um )) = B(Um ) è âåðîÿòíîñòíóþ ìåðóíà σ(A), ðàâíóþ P = Pm , ãäå Pm (A) = µ(A)/µ(Um ). Ïóñòü ε > 0. Ðàçáåðåì ñëó÷àè:∞∞TS1) Ïîëó÷åííîå ïîêðûòèå ñ÷åòíî.
Òîãäà(E \ Um ) = E \ (Um = E \ G = ∅ ,m=1m=1îòêóäà â ñèëó íåïðåðûâíîñòè ìåðû µ è òîãî, ÷òî µE < ∞, ñëåäóåò, ÷òî ∃M ∈ N :∞MTSµ((E \ Um )) < ε/2. Ïîëàãàÿ V :=Um , èìååì:m=1m=M +1õE − µ(E \ V ) = µ(E \ (E \ V )) = µ(E ∩ V ) = µ∞\!(E \ Um )m=M +1ε< .2Íî ïðè âñåõ m ∈ N E∩Um ∈ B(Um ) è ïî òåîðåìå îá àïïðîêñèìàöèè ∃ Cm ∈ A(Um ) :Pm ((E ∩ Um ) 4 Cm ) <ε2m+1 µ(Um).Îòñþäà µ((E ∩ Um ) 4 Cm ) < ε/2m+1 . Îòìåòèì òåîðåòèêî - ìíîæåñòâåííûé ôàêò: åñëèXm , Ym , m = 1, N - ìíîæåñòâà (ïðîèçâîëüíûå), òîN[(Xi ) 4 (m=1N[Yi ) ⊂m=1N[(Xi 4 Yi ).m=1(Ñì. óïðàæíåíèå 1.9.) Çíà÷èò, èìååì:ÃMÃM!!ÃM
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
