Turin Yu.N. - Multidimensional Gaussian Calculus (1120045), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Ýòî áûëî âû÷èñëåíî â ïðîöåññå òîëüêî ÷òî ïðîâåäåííûõ âûêëàäîê; âïðî÷åì, ýòî ìîæíî ïîëó÷èòüè íåïîñðåäñòâåííî èç ôîðìóëû (1.2), åñëè ïîäñòàâèòü n = p, ~a = ~0, B = Ip - åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà p.Çàìå÷àíèå 1.11. Ôîðìóëà (1.2) ìîæåò áûòü ïðèíÿòà çà ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèå ìíîãîìåðíîãî íîðìàëüíîãî âåêòîðà ξ~: åñëè ñëó÷àéíûé âåêòîð èìååò òàêóþ õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ, êàê â (1.2), òî îí íàçûâàåòñÿ íîðìàëüíûì. (Âåäü ðàñïðåäåëåíèå ñëó÷àéíîãî âåêòîðà îäíîçíà÷íî âîññòàíàâëèâàåòñÿ ïî åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîéôóíêöèè - ñì. ñâîéñòâî 4 õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé, îòìå÷åííîå âûøå.)3.
Äîïîëíèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ. Âû÷èñëåíèå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ.Çàìåòèì, ÷òî òåîðèÿ ìíîãîìåðíûõ ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ âî ìíîãîì àíàëîãè÷íà òåîðèè (îäíîìåðíûõ) ñëó÷àéíûõ íîðìàëüíûõ âåëè÷èí.  ñàìîì äåëå, åñëè η vN (0, 1), òî ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ξ = a + ση èìååò ðàñïðåäåëåíèå N (a, σ), à ýòî - àíàëîã ôîðìóëû (1.1).
Ìíîãîìåðíûé àíàëîã ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ a - ýòî âåêòîðñðåäíèõ çíà÷åíèé ~a, à ìíîãîìåðíûé àíàëîã ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîãî îòêëîíåíèÿ σ (àòî÷íåå, äèñïåðñèè σ 2 ) - ýòî ìàòðèöà êîâàðèàöèé Σ.Ïîýòîìó ìíîãîìåðíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ âåêòîðîì ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ~a è ìàòðèöåé êîâàðèàöèé Σ îáîçíà÷àåòñÿ òàê: N (~a, Σ), èëè òàê: Nn (~a, Σ), ãäå n ðàçìåðíîñòü äàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
Íàïðèìåð, Np (0, Ip ), ãäå Ip - åäèíè÷íàÿ ìàòðèöàïîðÿäêà p - ýòî ñòàíäàðòíîå p-ìåðíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ó ðàñïðåäåëåíèÿ N (a, σ) ðàâíà ϕξ (t) = exp(iat−t2 σ 2 /2), è ýòà ôîðìóëàòàêæå àíàëîãè÷íà ôîðìóëå (1.2).4Òåîðåìà 1.13. Íîðìàëüíûé n - ìåðíûé âåêòîð ñ âåêòîðîì ñðåäíèõ ~a è ìàòðèöåéêîâàðèàöèé Σ ñóùåñòâóåò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ìàòðèöà Σ íåîòðèöàòåëüíîîïðåäåëåíà (ýòî çàïèñûâàåòñÿ òàê: Σ ≥ 0) , ò.å. îíà ñèììåòðè÷íà è ∀z ∈ Rn z t Σz ≥ 0.Äîêàçàòåëüñòâî.  îäíó ñòîðîíó óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî: ëþáàÿ ìàòðèöà êîâàðèàöèé ëþáîãî ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ñèììåòðè÷íà è íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåíà - ñì.óïðàæíåíèå 1.3.4. Îáðàòíî: åñëè Σ íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåíà, òî, êàê èçâåñòíî èçëèíåéíîé àëãåáðû, ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöàB , äëÿ êîòîðîé B 2 = Σ.
(Ñì. óïðàæíåíèå 1.5.)Ò.ê. B = B T , òî BB T = Σ. Ïóñòü ñëó÷àéíûé âåêòîð ~η èìååò ñòàíäàðòíîå n ìåðíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Òîãäà ïîëîæèì ξ~ = ~a + B~η , êàê â ôîðìóëå (1.1);êàê áûëî ïîêàçàíî â ï.1 äàííîé ãëàâû, ξ~ èìååò íîðìàëüíîå n - ìåðíîå ðàñïðåäåëåíèåñ âåêòîðîì ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé ~a è êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöåé BB T = Σ.¥Çàìå÷àíèå 1.14.  äàëüíåéøåì áóäåì îáîçíà÷àòü σ -àëãåáðó áîðåëåâñêèõ ìíî-æåñòâ, ëåæàùèõ â áîðåëåâñêîì ìíîæåñòâå U ∈ Rn , ÷åðåç B(U ), à σ -àëãåáðó âñåõáîðåëåâñêèõ ìíîæåñòâ èç Rn , ò.å. B(Rn ), êàê Bn . Êëàññè÷åñêóþ ìåðó Ëåáåãà â Rnîáîçíà÷èì ÷åðåç µ. Íàïîìíèì, ÷òî ôóíêöèÿ f : U → Rn , U ∈ Bm íàçûâàåòñÿ áîðåëåâñêîé, åñëè ∀B ∈ Bn f −1 (B) ∈ B(U ).Êàê âû÷èñëèòü ïëîòíîñòü n - ìåðíîãî íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ?Íàïîìíèì îïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè ñëó÷àéíîãî âåêòîðà.Îïðåäåëåíèå 1.15. Ñëó÷àéíûé âåêòîð ξ~ (íå îáÿçàòåëüíî ãàóññîâñêèé) èìååòïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ pξ~ (ïî îïðåäåëåíèþ, ýòî - áîðåëåâñêàÿ ôóíêöèÿ Rn →R), åñëè n - ìåðíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Fξ (x1 , .
. . , xn ) ñëó÷àéíîãî âåêòîðà ξ~ ïðåäñòàâèìà â âèäåZx1Fξ (x1 , . . . , xn ) =Zxn...−∞pξ (t1 , . . . , tn )dt1 . . . dtn ,−∞ãäå èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå Ëåáåãà.Îïðåäåëåíèå 1.16. Ñëó÷àéíûé âåêòîð ξ~ (íå îáÿçàòåëüíî ãàóññîâñêèé) èìååòïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ pξ~ (ïî îïðåäåëåíèþ, ýòî - áîðåëåâñêàÿ ôóíêöèÿ Rn →R), åñëè ∀A ∈ BnZ~P{ ξ ∈ A} = pξ (t)dµ,Aãäå èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå Ëåáåãà.Ýòè îïðåäåëåíèÿ ýêâèâàëåíòíû. (Ñì.
óïðàæíåíèå 1.8.)Äîêàæåì ïðåäâàðèòåëüíî ëåììó.Ëåììà 1.17. Ïóñòü D, G ⊂ Rn - îòêðûòûå ìíîæåñòâà, α : D → G - áèåêöèÿ,ïðè÷åì α ∈ C 1 (D), α−1 ∈ C 1 (G), è ïðè ýòîì J(t) - ÿêîáèàí ôóíêöèè α â òî÷êå t ∈ D- îòëè÷åí îò íóëÿ âî âñåõ òî÷êàõ t ∈ D. Ïóñòü, äàëåå, f : G → R - áîðåëåâñêàÿôóíêöèÿ, A ∈ B(D) - íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî, α(A) - åãî îáðàç ïðè îòîáðàæåíèè α.Òîãäà f ∈ L1 (α(A)), åñëè è òîëüêî åñëè f (α(t))|J(t)| ∈ L1 (A). Åñëè èìååò ìåñòîèíòåãðèðóåìîñòü, òîZZf (α(t))|J(t)|dt =f (x)dx.(1.3)Aα(A)(Äîêàçàòåëüñòâî - ñì. ïðèëîæåíèå.)Ëåììà 1.18.
Åñëè D, G ⊂ Rn - îòêðûòûå ìíîæåñòâà, α : D → G - áèåêòèâ-íîå îòîáðàæåíèå, ïðè÷åì α ∈ C 1 (D), α−1 ∈ C 1 (G), à ñëó÷àéíûé n-ìåðíûé âåêòîðξ~ ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 ïðèíàäëåæèò D è èìååò â D ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ p(t), òî5~ - ñëó÷àéíûé n-ìåðíûé âåêòîð, ëåæàùèé â G ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 è èìåþùèé â Gα(ξ)ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿq(x) =1J(α−1 (x))p(α−1 (x)),ãäå t ∈ G, J(t) - ÿêîáèàí îòîáðàæåíèÿ α â òî÷êå t. (Ñì. óïðàæíåíèå 1.11.)Óòâåðæäåíèå 1.19. Ðàññìîòðèì ðàñïðåäåëåíèå N (~a, Σ). Åñëè ìàòðèöà Σ êîâà-ðèàöèé âåêòîðà, èìåþùåãî ýòî ðàñïðåäåëåíèå, íåâûðîæäåíà (èëè, ÷òî ðàâíîñèëüíî,ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà - ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îíà ñèììåòðè÷íà è ∀z ∈ Rn , z 6=0 z t Σz > 0; ýòîò ôàêò çàïèñûâàåòñÿ êàê Σ > 0), òî ýòî ðàñïðåäåëåíèå àáñîëþòíîíåïðåðûâíî è èìååò ïëîòíîñòüµ¶11T −1√p(~x) = √exp − (~x − ~a) Σ (~x − ~a) ,(1.4)2( 2π)n det Σãäå ~x ∈ Rn .Åñëè æå Σ âûðîæäåíà è rk Σ = k < n, íàéäåòñÿ ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå (ò.å.ïëîñêîñòü) ðàçìåðíîñòè k â Rn , êîòîðîìó ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 ïðèíàäëåæèò ñëó÷àéíûéâåêòîð ñ äàííûì ðàñïðåäåëåíèåì.
À â ýòîì ìíîãîîáðàçèè äàííûé âåêòîð èìååò k ìåðíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. (Ñì. óïðàæíåíèå 1.12.)64. Ñâÿçü íåêîððåëèðîâàííîñòè è íåçàâèñèìîñòè äëÿ ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ.~ 1, X~ 2 - ïàðà ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ (íå îáÿçàòåëüíîÎïðåäåëåíèå 1.20. Ïóñòü Xãàóññîâñêèõ), èìåþùèõ íåêîòîðîå ñîâìåñòíîå ðàñïðåäåëåíèå (ò.å. çàäàííûõ íà îäíîìè òîì æå âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå; ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ýòî íàáëþäåíèÿ, ðåãèñòðèðóåìûå â îäíîì è òîì æå ýêñïåðèìåíòå). Ìàòðèöà êîâàðèàöèé ýòèõ äâóõ âåêòîðîâ,ïî îïðåäåëåíèþ, èìååò cov(X1i , X2j ) â êà÷åñòâå ij - ãî ýëåìåíòà (i = 1, n, j = 1, m),~ 1 , m = dim X~ 2 - ðàçìåðíîñòè äàííûõ ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ, X~1 =ãäå n = dim X~ 2 = (X21 , .
. . , X2m ). Îíà îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç cov(X~ 1, X~ 2 ).(X11 , . . . , X1n ), XÎïåðàöèÿ âçÿòèÿ ìàòðèöû êîâàðèàöèé äâóõ ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ îáëàäàåò âàæíûìè ñâîéñòâàìè (ñì. óïðàæíåíèå 1.13).~ 1, X~ 2 íåçàâèñèìû, òî îíè íåêîððåëèðîâàíû, ò.å. èõÓòâåðæäåíèå 1.21. Åñëè Xìàòðèöà êîâàðèàöèé - íóëåâàÿ. (Ñì. óïðàæíåíèå 1.14.)Óòâåðæäåíèå 1.22. Îáðàòíîå, âîîáùå ãîâîðÿ, íåâåðíî äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ. (Ñì. óïðàæíåíèå 1.15.)~ ðàçìåðíîñòè n + m èìååò ãàóññîâÓòâåðæäåíèå 1.23. Åñëè ñëó÷àéíûé âåêòîð X~ 1 ñîñòîèò èç ïåðâûõ åãî n êîìïîíåíò, à X~ 2 - èç ïîñëåäíèõñêîå ðàñïðåäåëåíèå, âåêòîðX~ 1 v N (~a1 , Σ1 ), è ïðè ýòîì X~ 2 v N (~a2 , Σ2 ) ãàóññîâñêèå (ýòî ñëåäóåò èç çàäà÷è 3),m, X~ 1, X~ 2 ñëåäóåòòî îáðàòíîå óòâåðæäåíèå âåðíî, ò.å.
èç íåêîððåëèðîâàííîñòè âåêòîðîâ Xèõ íåçàâèñèìîñòü.~ (ðàçìåðíîñòè n + m) ðàâíà,Äîêàçàòåëüñòâî. Ìàòðèöà êîâàðèàöèé Σ âåêòîðà Xêàê íåòðóäíî âû÷èñëèòü, èñïîëüçóÿ åå îïðåäåëåíèå,µ¶~1~ 1, X~ 2)Var Xcov(X~ 2, X~ 1)~2cov(XVar X~ 1, X~ 2 íåêîððåëèðîâàíû)ò.å. (â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî âåêòîðû Xµ¶Σ1 00 Σ2.³ ´~ , ~t ∈ Rn+mÒ.å. åñëè ~a = ~~aa12 - âåêòîð ñðåäíèõ çíà÷åíèé äëÿ ñëó÷àéíîãî âåêòîðà X- ïðîèçâîëüíûé âåêòîð, âåêòîð ~t1 ñîñòîèò èç ïåðâûõ n åãî êîìïîíåíò, à âåêòîð ~t2 èç ïîñëåäíèõ m, òî1ϕX~ (~t) = exp(i(~a, ~t) − ~tT Σ~t) = exp(i(~a1 , ~t1 ) + i(~a2 , ~t2 )−21111− ~tT1 Σ1~t1 − ~tT2 Σ2~t2 ) = exp(i(~a1 , ~t1 ) − ~tT1 Σ1~t1 ) · exp(i(~a2 , ~t2 ) − ~tT2 Σ2~t2 ) =2222= ϕX~ 1 (~t1 )ϕX~ 2 (~t2 ),îòêóäà (êàê èçâåñòíî èç îáùèõ ñâîéñòâ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé - ñì. ñâîéñòâî~ 1, X~ 2 íåçàâèñèìû. ¥6 â ï.2) ñëåäóåò, ÷òî âåêòîðû X7Çàìå÷àíèå 1.24.
 ýòîì äîêàçàòåëüñòâå ìû èñïîëüçîâàëè ïðàâèëà áëî÷íîãî ïåðåìíîæåíèÿ ìàòðèö è âåêòîðîâ.Çàìå÷àíèå 1.25. Ìîæíî áûëî áû (â ñëó÷àå íåâûðîæäåííûõ ìàòðèö Σ1 , Σ2 ) äî~ 1, X~ 2 , íî ïðèâåäåííîå äîêàêàçàòü ýòîò ôàêò ÷åðåç ôîðìóëó (1.5) äëÿ ïëîòíîñòåé Xçàòåëüñòâî ïðîùå è, êðîìå òîãî, îíî íå èñïîëüçóåò íåâûðîæäåííîñòü ìàòðèö Σ11 , Σ22êîâàðèàöèé äàííûõ âåêòîðîâ.
(Ñì. óïðàæíåíèå 1.16.)Óòâåðæäåíèå 1.26. (Îáîáùåíèå äàííîãî ïóíêòà.) Åñëè ïåðâûå m1 êîìïîíåíò~ îáðàçóþò âåêòîð X~ 1 , ñëåäóþùèå m2 êîìïîíåíòíîðìàëüíîãî n-ìåðíîãî âåêòîðà X~ 2 ,..., ïîñëåäíèå mp êîìïîíåíò - âåêòîð X~ p , Pp mk = n, òî èç óñëîâèÿ- âåêòîð Xk=1~ k, X~ l ) = 0 ïðè k, l = 1, p, k 6= líåêîððåëèðîâàííîñòè ýòèõ âåêòîðîâ, ò.å. óñëîâèÿ cov(Xñëåäóåò íåçàâèñèìîñòü ýòèõ âåêòîðîâ Xk , k = 1, p. Âûøå ýòî áûëî äîêàçàíî äëÿ p = 2.~ = (X1 , .
. . , Xn )−n-ìåðíûé íîðìàëüíûé âåêòîð, cov(Xi , Xj ) = ÷àñòíîñòè, åñëè X0 ïðè i, j = 1, n, i 6= j , òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû - êîìïîíåíòû Xi , i = 1, n íåçàâèñèìû.(Ñì. óïðàæíåíèå 1.17.)5. Óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå äëÿ íîðìàëüíûõ âåêòîðîâ. äàëüíåéøåì íàì ïîíàäîáèòñÿ ïîíÿòèå óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ äëÿ ñëó÷àéíûõ âåêòîðîâ.~ = (X1 , . . . , Xn ) - ñëó÷àéíûé âåêòîð, A - σ - ïîäàëÎïðåäåëåíèå 1.27. Ïóñòü Xãåáðà â èñõîäíîé σ - àëãåáðå F (ãäå (Ω, F, P) - èñõîäíîå âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî).Íàïîìíèì, ÷òî óñëîâíûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξîòíîñèòåëüíî A (åñëè Eξ ñóùåñòâóåò è êîíå÷íî) íàçûâàåòñÿ A - èçìåðèìàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà η : Ω → R (ò.å.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
