Turin Yu.N. - Multidimensional Gaussian Calculus (1120045), страница 5
Текст из файла (страница 5)
. , Xn ) - íîðìàëüíûé, òî ëþÓïðàæíåíèå 1.6. Åñëè ñëó÷àéíûé âåêòîð Xáîé ñëó÷àéíûé âåêòîð, ñîñòàâëåííûé èç åãî êîìïîíåíò, ò.å. âåêòîð âèäà (Xi1 , . . . , Xik ),ãäå i1 , . . . , ik ∈ {1, . . . , n} òàêæå èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. ÷àñòíîñòè, êîìïîíåíòû ýòîãî íîðìàëüíîãî âåêòîðà - íîðìàëüíûå ñëó÷àéíûå~ v Nn (~a, Q), ãäå ~a = (a1 , . . . , an )T , qij − ij−é ýëåìåíò ìàòðèöûâåëè÷èíû: åñëè Xêîâàðèàöèé Q, i, j = 1, n, òî Xi v Nn (ai , qii ) ïðè i = 1, n.~ = (X1 , .
. . , Xn ), íå ÿâëÿþùåãîñÿ íîðìàëüÏðèâåñòè ïðèìåð ñëó÷àéíîãî âåêòîðà Xíûì, äëÿ êîòîðîãî ïðè âñåõ k < n, i1 , . . . , ik ∈∈ {1, . . . , n} âåêòîð (Xi1 , . . . , Xik ) èìååò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå.Óïðàæíåíèå 1.7. Äîêàçàòü ñàìîñòîÿòåëüíî ñâîéñòâà 1 - 3, 5, 6 õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé.(Ïîäñêàçêà: ïðè äîêàçàòåëüñòâå ñâîéñòâ 5, 6 âîñïîëüçîâàòüñÿ ñâîéñòâîì 4.)Óïðàæíåíèå 1.8.
Äîêàçàòü ýêâèâàëåíòíîñòü îïðåäåëåíèé 1.15 è 1.16.(Óêàçàíèå: ïðè äîêàçàòåëüñòâå òîãî, ÷òî èç îïðåäåëåíèÿ 1.16 ñëåäóåò îïðåäåëåíèå 1.15, âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé Êàðàòåîäîðè:åñëè Ω 6= ∅ - íåêîòîðîå ìíîæåñòâî, A - àëãåáðà åãî ïîäìíîæåñòâ, µ0 −σ - êîíå÷íàÿìåðà íà A, òî åå ìîæíî åäèíñòâåííûì îáðàçîì ïðîäîëæèòü äî ìåðû íà σ(A) - íà σ−àëãåáðå, ïîðîæäåííîé A.Ïîëîæèòü â ðàññìàòðèâàåìîì êîíêðåòíîì ñëó÷àå Ω = Rn , A = A(Rn ), σ(A) = Bn .)14Óïðàæíåíèå 1.9. Åñëè Xm , Ym , m = 1, N - ìíîæåñòâà (ïðîèçâîëüíûå), òî(N[m=1Xi ) 4 (N[Yi ) ⊂m=1N[(Xi 4 Yi ).m=1Óïðàæíåíèå 1.10.
Ïîäðîáíî ïðîâåñòè ðàññóæäåíèÿ â ëåììå 1.17.Óïðàæíåíèå 1.11. Âûâåñòè ëåììó 1.18. èç ëåììû 1.17.Óïðàæíåíèå 1.11. Äîêàçàòü óòâåðæäåíèå 1.21.Óïðàæíåíèå 1.12. Äîêàçàòü óòâåðæäåíèå 1.22.Óïðàæíåíèå 1.12. Äîêàçàòü óòâåðæäåíèå 1.19. ñ ïîìîùüþ ëåììû 1.18.(Óêàçàíèå: â ñëó÷àå íåâûðîæäåííîé Σ ïîëîæèòü D = G = Rn , α(t) = Σ1/2 t + a. Àåñëè Σ âûðîæäåíà, òî ïîëîæèòü CΣC T = Λ - äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñ ñîáñòâåííûìèçíà÷åíèÿìè ìàòðèöû Σ íà ãëàâíîé äèàãîíàëè, ζ~ := C ξ~)Óïðàæíåíèå 1.13.
Ïðîâåðèòü ñëåäóþùèå ñâîéñòâà ìàòðèö êîâàðèàöèè:~ Y~ ) = cov(Y~ , X)~ T;1) cov(X,~ Y~ ) = A cov(X,~ Y~ );2) cov(AX,~ B Y~ ) = cov(X,~ Y~ )B T ;3) cov(X,~ + ~a, Y~ + ~b) = cov(X,~ Y~ );4) cov(X~ 1 + βX~ 2 , Y~ ) = α cov(X~ 1 , Y~ ) + β cov(X~ 2 , Y~ );5) cov(αX~ αY~1 + β Y~2 ) = α cov(X,~ Y~1 ) + β cov(X,~ Y~2 );6) cov(X,~ X)~ = Var X~,7) cov(X,~ X~ 1, X~ 2 , Y~ , Y~1 , Y~2 - ñëó÷àéíûå âåêòîðà (íå îáÿçàòåëüíî íîðìàëüíûå), A, B ãäå X,ïîñòîÿííûå (íåñëó÷àéíûå) ìàòðèöû, ~a, ~b - ïîñòîÿííûå (íåñëó÷àéíûå) âåêòîðà, α, β ∈R - ïîñòîÿííûå ÷èñëà (ñêàëÿðû).Óïðàæíåíèå 1.14. Äîêàçàòü óòâåðæäåíèå 1.21.Óïðàæíåíèå 1.15.
Äîêàçàòü óòâåðæäåíèå 1.22.Óïðàæíåíèå 1.16. Äîêàçàòü óòâåðæäåíèå 1.23. ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (1.4) äëÿïëîòíîñòè íîðìàëüíûõ âåêòîðîâ. (Ñì. çàìå÷àíèå 1.25.)Óïðàæíåíèå 1.17. Äîêàçàòü óòâåðæäåíèå 1.26.Óïðàæíåíèå 1.18. Äîêàçàòü ñâîéñòâà 1 - 4 óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ, óêàçàííûå â ï.5.Óïðàæíåíèå 1.21. Äîêàçàòü, ÷òî arg(X1 , X2 ) - ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ðàâíîìåðíîðàñïðåäåëåííàÿ íà îòðåçêå [0, 2π].Óïðàæíåíèå 1.22. Äîêàçàòü, ÷òî χ2 (n) è Γ(n/2, 1/2) - îäíî è òî æå ðàñïðåäåëåíèå.(Ïîäñêàçêà: ïðåäâàðèòåëüíî îáîñíîâàòü,âåëè÷èíû Xi v Γ(αi , λ), i =PP÷òî åñëè ñëó÷àéíûå1, p íåçàâèñèìû, αi > 0, i = 1, p, λ > 0, òî pi=1 Xi v Γ( pi=1 αi , λ).Óïðàæíåíèå 1.23. Ïóñòü A - ñèììåòðè÷íàÿ íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà p, λi , i = 1, p - åå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ (íå îáÿçàòåëüíî ïîïàðíî ðàçëè÷íûå), ui - ñîáñòâåííûé âåêòîð, ñîîòâåòñòâóþùèé ñîáñòâåííîìóçíà÷åíèþ λi , i =P1, p.
Òîãäà ìàòðèöó A ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå A = pi=1 λi ui uTi , è òîãäà A1/2 =Pp1/2Ti=1 λi ui ui . Ýòî - åùå îäèí, ýêâèâàëåíòíûé ñïîñîá îïðåäåëåíèÿ êâàäðàòíîãî êîðíÿèç íåîòðèöàòåëüíî îïðåäåëåííîé ìàòðèöû A.~ v N (~ai , Σi ), i = 1, n èìåþò îäèíàêîâóþ ðàçìåðÓïðàæíåíèå 1.24. 1) ÏóñòüXPPPn ~ iíîñòü è íåçàâèñèìû.
Òîãäà i=1 Xi v N ( ni=1 ~ai , ni=1 Σi ). (Ïîäñêàçêà: ïðè äîêàçàòåëüñòâå âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîì õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé.)~ v N (~a, Σ), λ ∈ R, òî λX~ v N (λ~a, λ2 Σ).2) Åñëè XÇàäà÷à 1.1. Ðàññìîòðèì äâóìåðíûé ãàóññîâñêèé âåêòîð X = (X1 , X2 )T .Ïîëîæèì µ1 = EX1 , µ2 = EX2 , σ12 = Var X1 , σ22 = Var X2 , ρ = corr(X1 , X2 ).
Ïóñòüσ1 > 0, σ2 > 0.151. Óêàçàòü ôîðìóëó äëÿ ïëîòíîñòè ñëó÷àéíîãî âåêòîð൶TX1 − µ1 X2 − µ2,.σ1σ22. Êàê âûãëÿäÿò ëèíèè óðîâíÿ ýòîé ïëîòíîñòè ïðè ðàçëè÷íûõ ρ, â ÷àñòíîñòè, ïðèρ = 0, ρ → 1 ρ → −1?Çàäà÷à 1.2. (Îáîáùåíèå çàäà÷è 1.19. è ðåçóëüòàòîâ ï.7) Ïóñòü X v Nn (0, I), ò.å.ñëó÷àéíûé âåêòîð X èìååò n-ìåðíîå ñòàíäàðòíîå íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå. Ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 îí íå ðàâåí íóëþ, à âñå íåíóëåâûå âåêòîðà ~a ∈ Rn îäíîçíà÷íî çàäàþòñÿòî÷êîé ψ íà åäèíè÷íîé ñôåðå (÷åðåç êîòîðóþ ïðîõîäèò ëó÷, âûõîäÿùèé èç íà÷àäàêîîðäèíàò è ñîäåðæàùèé âåêòîð ~a) è ñâîåé äëèíîé r. Ò.å.
ñëó÷àéíûé âåêòîð X ïîðîæäàåò åùå îäèí ñëó÷àéíûé âåêòîð ψ , ñ âåðîÿòíîñòüþ 1 ïðèíàäëåæàùèé åäèíè÷íîéñôåðå â Rn , è ïîëîæèòåëüíóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó r. Äîêàçàòü:1. r2 v χ2 (n − 1);2. ψ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåí íà åäèíè÷íîé ñôåðå â Rn ;3. ψ, r íåçàâèñèìû.Çàäà÷à 1.3. Ïóñòü X v Np (a, Σ). Íàéòè óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèåLaw(X|AX), ãäå A - çàäàííàÿ ìàòðèöà.  ÷àñòíîñòè, íàéòè óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèåpPX ïðè óñëîâèèXk = 0.k=1Çàäà÷à 1.4. Ïóñòü {W (t)}t∈[0,1] - âèíåðîâñêèé ïðîöåññ. (Íàïîìíèì, ÷òî ýòî ïî-íÿòèå îçíà÷àåò, ÷òî ýòî - ãàóññîâñêèé ïðîöåññ ñ EW (t) = 0, cov(W (s), W (t)) =min(s, t).) Òîãäà ïðè íàëîæåíèè óñëîâèÿ W (1) = 0 ìû ïîëó÷àåì áðîóíîâñêèé ìîñò,ò.å.
òàêîé ãàóññîâñêèé ïðîöåññ íà [0, 1] (îáîçíà÷àåìûé òàê: {Bt0 }t∈[0,1] ), ÷òî EBt0 =0, cov(Bs0 , Bt0 ) = min(s, t)−st. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè âñåõ t1 , . . . , tn ∈ [0, 1] Law(W (t1 ), . . . , W (tn )|W (10) = Law(B0t1 , . . . , B0tn ).Çàäà÷à 1.5. (M. Bilodeau, D. Bremer - 1999). Ïóñòü X - n-ìåðíûé ñëó÷àéíûéâåêòîð, EX = a, Var X = Σ. Ïîêàçàòü, ÷òî :min E|X − a|2 = tr Σ, minn E(X − a)(X − a)T = Σa∈Rna∈Rè îáà ýòè ìèíèìóìà äîñòèãàþòñÿ ïðè a = µ.Çàäà÷à 1.6. (M.
Bilodeau, D. Bremer - 1999). Ïóñòü X - íîðìàëüíûé n+m-ìåðíûéâåêòîð, ñëó÷àéíûé âåêòîð X1 ñîñòàâëåí èç åãî ïåðâûõ n êîìïîíåíò, à ñëó÷àéíûé âåêòîð X2 - èç ïîñëåäíèõ m êîìïîíåíò. Ïóñòü, äàëåå, EX1 = µ1 , EX2 = µ2 , cov(Xi , Xj ) =Σij , ò.å. Var X1 = Σ1 , Var X2 = Σ2 , ΣT21 = Σ12 ïî çàäà÷å 1.14. Ïîêàçàòü, ÷òîmin E|X1 − (CX2 + d)|2 = tr Σ12 , min E(X1 − (CX2 + d))(X1 − (CX2 + d))T = Σ12 ,C,dC,dãäå ìèíèìóì áåðåòñÿ ïî âñåâîçìîæíûì ìàòðèöàì C ðàçìåðà n × m è ïî âñåâîçìîæíûì âåêòîðàì d ∈ Rn . Ïðè ýòîì îáà ìèíèìóìà äîñòèãàþòñÿ ïðè C = Σ12 Σ−122 , d =µ1 − Σ12 Σ−1µ.22 2Ëèòåðàòóðà.
[1] Ò.Àíäåðñîí. Ââåäåíèå â ìíîãîìåðíûé ñòàòèñòè÷åñêèé àíàëèç/Ïåð. ñ àíãë. - Ì., Ôèçìàòãèç, 1963.[2] À.Í. Øèðÿåâ. Âåðîÿòíîñòü , Ì., Íàóêà, 1989.[3] Â.À. Èëüèí, Ý.Ã. Ïîçíÿê. Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, ÷.2, Ì., Íàóêà,1973.[4] Ï.Ë.
Óëüÿíîâ, À.Í. Áàõâàëîâ, Ì.È. Äüÿ÷åíêî, Ê.Ñ. Êàçàðÿí, Ï. Ñèôóýíòåñ.Äåéñòâèòåëüíûé àíàëèç â çàäà÷àõ, Ì., Ôèçìàòëèò, 2005.16Ãëàâà 2. Ñòàòèñòè÷åñêèå ìîäåëè äëÿ ãàóññîâñêèõ âåêòîðîâ1. Íàïîìèíàíèå îñíîâíûõ ïîíÿòèé ñòàòèñòèêè.Îïðåäåëåíèå 2.1. Áàçîâîé ìîäåëüþ ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè ÿâëÿåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî - òðîéêà (X, F, {Pθ }θ∈Θ ), ãäå X 6= ∅ íàçûâàåòñÿ âûáîðî÷íûì ïðîñòðàíñòâîì èëè ïðîñòðàíñòâîì íàáëþäåíèé (à åãî ýëåìåíòû íàáëþäåíèÿìè), F - σ -àëãåáðà íàä X, à {Pθ }θ∈Θ ) - ñîâîêóïíîñòü âåðîÿòíîñòíûõ ìåðíà F. Ìû ñ÷èòàåì, ÷òî êàêàÿ - ëèáî èç ýòèõ ìåð - èñòèííàÿ, ò.å.
ðåàëüíî çàäàííàÿíà F, íî íàì íåèçâåñòíî, êàêàÿ èìåííî ýòà ìåðà. (Íî çàâåäîìî èçâåñòíî, ÷òî îíàñîäåðæèòñÿ â ñåìåéñòâå {Pθ }θ∈Θ ).Çàäà÷à ñòàòèñòèêè - ïî äàííîìó íàáëþäåíèþ X ∈ X ñäåëàòü çàêëþ÷åíèå î òîì,êàêîâà æå èñòèííàÿ ìåðà, çàäàííàÿ íà F. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ñäåëàòü âûâîäû îáèñòèííîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà θ, ò.å.
òîì çíà÷åíèè, êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò èñòèííîéìåðå.  ÷àñòíîñòè, ìîæíî ïîïûòàòüñÿ ïîñòðîèòü îöåíêè ýòîãî ïàðàìåòðà. Ïóñòü äàëåå Θ ⊂ Rm .Îïðåäåëåíèå 2.2. Îöåíêîé ïàðàìåòðà θ íàçûâàåòñÿ ëþáàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà δ (åñëè m = 1) èëè ñëó÷àéíûé m-ìåðíûé âåêòîð δ (â ñëó÷àå m > 1), ïðè âñåõX ∈ X ïðèáëèæåííî ðàâíûé èñòèííîìó çíà÷åíèþ ïàðàìåòðà θ.Òàêîå îïðåäåëåíèå, ðàçóìååòñÿ, íå ìîæåò ñ÷èòàòüñÿ ìàòåìàòè÷åñêè ñòðîãèì: ñëîâà"ïðèáëèæåííî ðàâíà" íåîáõîäèìî êàê-òî ôîðìàëèçîâàòü. Âîò îäèí èç ñïîñîáîâ òàêîéôîðìàëèçàöèè:Îïðåäåëåíèå 2.3. Íåñìåùåííîé îöåíêîé ïàðàìåòðà θ íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíàÿâåëè÷èíà δ (åñëè m = 1) èëè ñëó÷àéíûé m-ìåðíûé âåêòîð (â ñëó÷àå m > 1) δ : X →Rm , äëÿ êîòîðîé ïðè âñåõ θ ∈ ΘEθ δ(X) = θ,ãäå èíäåêñ θ óR çíàêà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ îçíà÷àåò, ÷òî îíî áåðåòñÿ ïî ìåðåPθ , ò.å.
ðàâíî X δ(X)Pθ (dX) (èíòåãðàë ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå Ëåáåãà).Îïðåäåëåíèå 2.4. Íàèëó÷øåé íåñìåùåííîé îöåíêîé ïàðàìåòðà θ íàçûâàåòñÿ òàêàÿ íåñìåùåííàÿ îöåíêà δ0 ýòîãî ïàðàìåòðà, ÷òî äëÿ ëþáîé äðóãîé íåñìåùåííîé îöåíêè δ ýòîãî ïàðàìåòðà ïðè âñåõ θ ∈ Θ âûïîëíåíî íåðàâåíñòâîEθ (δ0 (X) − θ)2 ≤ Eθ (δ(X) − θ)2 ,åñëè m = 1 (ò.å. δ, δ0 - ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû), èEθ (δ0 (X) − θ)(δ0 (X) − θ)T ≤ Eθ (δ(X) − θ)(δ(X) − θ)T ,(1)åñëè m > 1 (ò.å.
δ, δ0 - ñëó÷àéíûå âåêòîðà). Ìîæíî çàïèñàòü ýòè äâà íåðàâåíñòâà èòàê: Var δ0 ≤ Var δ , ò.ê. â ñèëó íåñìåùåííîñòè δ, δ0 èìååì: Eθ δ0 = Eθ δ = θ. (Ìàòðèöû âëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿõ íåðàâåíñòâà (1) ñèììåòðè÷íû, âåäü ýòî - ìàòðèöû êîâàðèàöèé- ñì. óïðàæíåíèå 1.3.4, ò.å. èõ ìîæíî ñðàâíèâàòü; êàê èìåííî - ñì. ãë.1, ï.6)Îïðåäåëåíèå 2.5. Ñòàòèñòèêà - ýòî ëþáàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà (èëè ñëó÷àéíûé âåêòîð), îïðåäåëåííûé íà X. Ñòàòèñòèêà T íàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íîé, åñëè äëÿâñåõ A ∈ F Pθ (A|T ) íå çàâèñèò îò θ. Ïðè ýòîì, íàïîìíèì, óñëîâíàÿ âåðîÿòíîñòüP(A|ξ) èçìåðèìîãî ìíîæåñòâà A îòíîñèòåëüíî ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû èëè ñëó÷àé-íîãî âåêòîðà ξ - ýòî, ïî îïðåäåëåíèþ, E(IA |ξ). ×àñòî ãîâîðÿò è òàê: T - äîñòàòî÷íàÿñòàòèñòèêà, åñëè óñëîâíîå ðàñïðåäåëåíèå X ∈ X ïðè çàäàííîì T (X) íå çàâèñèò îò θ.Òåîðåìà 2.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
