В.В. Шмидт - Введение в физику сверхпроводников (1119327), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Проделаем такие преобразования. Обозначим 2е — Ю~7Ф вЂ” — АФ с Используя тождество С7(6Ф'ч) = чС76Ф*+ 6Ф''7ч, имеем <ИЧ6%'ч = — 6Ф*ЧчЫЪ" + ~7(6Ф*ч) ИК (14.5) ГЛ. 111. ТЕОРИЯ ГИНЗБУРГА — ЛАНДАУ 68 Последний интеграл в этом равенстве по теореме Гаусса превра- щаетсл в поверхностный интеграл: Подставляя (14.5) в (14.4), а (14.4) в (14.3), получим д~да=/дд~ д+дд~д~'~ — (-ад — — а) д)дд'~ 1, 2е 2е ~; у [-~ддд — — Ад~ ба' ыд = О. с Это выражение может быть равно нулю при произвольной фун- кции 6Ф' только в том случае, если выражения в квадратных скобках равны нулю.
Так мы получим первое уравнение теории ГЛ и граничное условие к нему: сдФ+11Ф!Ф! + — (Ы1У+ — А) Ф = О, 1, 2е 4т с (Й7Ф+ — АФ)п = О, (14.6) (1 „2е д„д» =/а'1 — д„~(ада' — — ад) (4т с На ( — йод — — Адд ~- — ~А адА — — сдА) = с Л 4 4я где и — единичный вектор, нормальный к поверхности сверх- проводника. Легко проверить, что минимизация Ядн по Ф даст уравнение, комплексно сопряженное уравнению (14.6). Полученное уравнение есть уравнение относительно параметра порядка Ф. У нас осталось еще одно переменное: А. Чтобы найти уравнение для А, минимизируем выражение (14.2) для Идя по А: С с4. УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ГИНЗБУРГА — ЛАНДАУ 69 = 1 ( — ( — с" БА) ( — ~с~'э — — Ас') <- + — (В~сФ* — — АФ*) ( — — ФбА) + 4т с с 1 + — (гоС А — Не) гоС бА ЫК (14.7) Из (14.7) следует, что вынести вариацию бА за фигурную скобку мешает член (1/4я)(гоС А — Не) гоС бА.
Воспользовавшись тождегтвом (14.8) агоСЬ = ЬгоСа — с11У[аЬ), ~сроинтегрируем последнее слагаемое в (14.7): 1 à — у с11'(гос А — Не) госбА = 1 1 Г = — / сПгбАгоСгоСА — — ~с с1Я[бА,гоСА — Не[. (14.9) 4я „1 4я „с 11ри этом мы воспользовались теоремой Гаусса и перешли от объ- гмного интеграла к поверхностному: 11о этот поверхностный интеграл равен нулю, так как магнитное поле на поверхности сверхпроводника задано, и поэтому бА[5 = — О. Подставляя теперь (14.9) без последнего члена в (14.7), производя элементарные преобразования и приравнивая вариацию вободной энергии нулю, получим бАЯсн = с(Сс ~ — (Чс* сс'Р— сгс"~'сР*) + 1 Сде ~ 2тс 2е~ 1 + — А[У[~+ — гоггоСА бА = О.
(14.10) той 4я 70 Этот интеграл может быть равен нулю при любой вариации бА только в том случае, если выражение в квадратных скобках равно нулю. Это требование определяет второе уравнение теории ГЛ относительно векторного потенциала А: (14.11) где, согласно уравнению Максвелла, плотность тока ), в сверх- проводнике равна с 3 = — го2гоГА, Н=гоГА. 4я (14.12) Перейдем к безразмерной волновой функции ф(г), обозначив ф(г) = Ф(г)/Фо, (14.13) Тогда уравнения ГЛ можно записать в более компактной и удоб- ной форме: (14.16) (14.17) Здесь Фо = яйс/е — квант потока (28). Представив волновую функцию ф в виде ф = фе'~, второе уравнение ГЛ можно записать в следующей форме: го2го2А = — ~ — ~70 — А (ф2 Уфо Л' ~2я (14.18) ГЛ.
П1. ТЕОРИЯ ГИНЗБУРГА — ЛАНДАУ 1, = — — (Ф'"7Ф вЂ” Ф'7Ф*) — — ~Ф~ А, Ие 2е2 2т тс где Ф02 — — и,/2 = )а(/17. Кроме того, введем следующие обозначения: 52 2 4т(гг~ ' тс2 тс2~3 4л.п,е2 8яе2)гг~ ~2 62 7+ — А~) Ф вЂ” /+ ДФ~'=О, Фо го2 го1 А = — 1 — (Ф*~7Ф вЂ” Ф~уф*) — — А. . Фо .. !Ф!' 4хЛ2 Л2 (14.14) (14.15) 114. УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ГИНЗБУРГА-ЛАНДАУ 71 (г'%'+ — А) п4> = 1ар, Фе (14.20) где а — произвольное вещественное число. С помощью микроте- ории сверхпроводимости можно показать, что условие (14.20) со- ответствует случаю, когда сверхпроводник граничит с нормаль- ным металлом.
14.3. Градиентная инвариантность теории ГЛ. В уравнения ГЛ входит векторный потенциал А. Но хорошо известно, что выбор А неоднозначен. Действительно, переход к другому полю А' по формуле А = А'+ "у~р, (14.21) где <р(г) — произвольная однозначная скалярная функция, не из- меняет величины магнитного поля: Н = гоФ А = гог А', так как гог ~7<р = О.
Для того чтобы результаты теоретических расчетов не зависели от того или иного выбора вектор-потенциала А, т. е., иначе Из (14. 6) получим граничное условие для ф. Если сверхпроводник граничит с вакуумом или каким-либо другим диэлектриком, таким условием будет Л7+ — А пф=О, 2х (14.19) фо 4 где п — единичный вектор нормали к поверхности сверхпроводника. Легко проверить с помощью формулы (14.11), что условие (14.19) обеспечивает выполнение естественного физического требования, чтобы сверхток через границу сверхпроводник-диэлектрик равнялся нулю. Однако этому же требованию равенства нулю нормальной компоненты сверхтока на границе удовлетворяет и более общее равенство: ГЛ. 111.
ТЕОРИЯ ГИНЗБУРГА — ЛАНДАУ 72 говоря, были бы градиентно инвариантными, нужно, чтобы сами уравнения ГЛ удовлетворяли требованию градиентной инвариантно сти. Легко проверить, что зто требование выполняется в случае, если от переменных А и ер перейти к переменным А' и уг' по следующим формулам преобразования А = А'+~<р, (14.22) 4г = ф'ехр~э — со(г)].
(14.23) Проверим зто для формулы (14.18). Перейдем от А и Ф к А' и 1д' по формулам (14.22) и (14.23). Легко видеть, что второе уравнение ГЛ (14.18) останется неизменным: гоФ гоФ А = — ~ — ~70 — А ) . !Ф'!2 /ФО Л2 ~2я ПНапомннм, что под односваэиым телом понимается такое тело, в котором можно произвольный замкнутый контур стянуть в точку, не пересекая при этом нигде границ тела.
Иначе говоря, в односвязном теле иет сплошных отверстий. Тороид — пример двухсвязного тела. Аналогичным образом можно убедиться в градиентной инвариантности и первого уравнения ГЛ (14.16). Из свойства градиентной инвариантности уравнений ГЛ следует один очень важный для будущего вывод: для односвязного сверхпроводника всегда можно выбрать такую калибровку вектор-потенциала А, чтобы ер(г) была вещественной функцией.П Требование односвяэности здесь существенно потому, что в многосвязном сверхпроводнике фаза параметра порядка О уже не является однозначной функцией, а может меняться на величину, кратную 2п, при обходе вокруг отверстия в сверхпроводнике.
Поэтому В(г) становится непригодной для соответствующей калибровки А. 115. ДВА МАСШТАБА ДЛИНЫ 73 5 15. Два характерных масштаба длины в сверхпроводниках. Эффект близости 15.1. Длина когерентности и глубина проникновения. В предыдущем параграфе была введена чисто формально определенная величина ( (14.14). Сейчас мы узнаем ее физический смысл. Рассмотрим такой простой пример. На чистую плоскую поверхность сверхпроводника нанесена пленка нормального металла. Тогда локально около поверхности плотность сверхпроводящих электронов несколько понизится. Иными словами, значение параметра порядка ~ф на поверхности будет несколько отличаться от его равновесного значения в глубине сверхпроводника, где ~ф~ = 1.
Каков тот характерный масштаб длины, на котором параметр порядка восстановится до единицы? Направим ось х перпендикулярно к поверхности сверхпроводника (на поверхности х = О). Очевидно, изменение ф может происходить только вдоль оси х, т.е. ф = ф(х). Кроме того, поскольку мы рассматриваем односвязный сверхпроводник, можем считать ф вещественной функцией (см. ~ 14). Тогда первое уравнение ГЛ (14.1б) примет следующий простой вид: — ~гор(дхг — т~+ т~з = О (15.1) Предположим, что слой нормального металла на поверхности такой тонкий,что значение 4~на поверхности очень мало отличается от единицы, т. е.
ф = 1 — е(х), с(й) « 1. Подставляя зто выражение для 4~ в (15.1) и оставляя только ли- нейные по е(х) члены, получим ~г,Ре(т) 7,1тг 2е(х) = О. (15.2) Учитывая, что при х -+ со функция ф -+ 1, имеем е(оо) = О. Решение уравнения (15.2) очевидно: е(О)е-ч гх/( ГЛ. 111. ТЕОРИЯ ГИНЗБУРГА — ЛАНДАУ Л = тпс~13/(8х(а~е ), (~ = Л~/(4тп)а~), (15.3) (15.4) поскольку вблизи Т, имеем ~о~ ос (Т, — Т). Таким образом, вбли- зиТ, Л ос (Т, — Т) '~з, ~ ос (Т, — Т) 1~з. (15.5) Во всем диапазоне температур Л(Т), как правило, хорошо аппроксимируется формулой (6.5) Значения Л(0) для некоторых сверхпроводников были приведены в таблице 6.1.
Используя нормировку (13.1) и формулу (13.3), убеждаемся, что глубина проникновения (15.3) совпадает с глубиной проникновения, введенной в (5.7). С помощью Л(Т) и ЯТ) можно ввести очень важную величину — параметр теории Гинзбурга-Ландау яс ж = Л/4. (15.6) Используя формулы (15.3), (15.4) и (15.6), получим другое выражение для яс х = 2ъ/2 — ЛзН йс (15.7) С помощью выражения для кванта магнитного потока Фе = = тгйс/е легко получим отсюда очень полезную формулу: ~/2Н Отсюда следует, что ( — зто и есть по порядку величины тот характерный масштаб, на котором происходит изменение параметра порядка ф. Эту длину называют длиной когерентности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
