В.В. Шмидт - Введение в физику сверхпроводников (1119327), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Действительно, проникновение поля определяется величиной к, которая, согласно (12.5) и (12.6), выражается через найденную проводимость о. Проведем некоторые упрощения. Будем считать, что температура не очень близка к Т„так что выполняется неравенство (и„/п,)(ют)~ << 1. Кроме того, конечно, всегда предполагается, что ыт « 1. Тогда (11.7) и (11.8) дадут п„т, 1 о = — — — 1 —. п,Л Лы (12.7) Подставив зто выражение в (12.6), получим ~Г2Л ("„~т — 1) ~ (12.8) Для малых частот, когда (и„/п,)(ыт) « 1, имеем 5 = ~/21Л = = Л(1+1).
Подставляя зто выражение в (12.5), получим lс = — 1/Л, т.е. Н сс е ™ = е */», т.е., как и следовало ожидать, низкочастотное магнитное поле проникает в сверхпроводник, как и стационарное поле — на глубину проникновения Л. В общем же случае проникновение определяется формулами (12.5) и (12.8).
4я Е 2= — —. с Н (12. 9) 12.2. Поверхностный импеданс. По определению поверхностный импеданс равен 60 ГЛ. П. ЭЛЕКТРОДИНАМИКА СВЕРХПРОВОДНИКОВ Это выражение имеет ясный физический смысл. Пусть на поверхности металла существуют переменные электрическое и магнитное поля, причем векторы Е и Н касательны к поверхности и ортогональны друг к другу. Тогда сН/юг — это поверхностная плотность тока 1„о„поэтому Я в (12.9) — это отношение Е)у'„„ т. е. импеданс на квадрат поверхности металла. Найдем теперь поверхностный импеданс сверхпроводника.
Записывал снова магнитное поле в виде Н сс е Кь* 0, приведем уравнение (12.1) к виду 4и чйН = — ~тЕ. с Тогда, согласно (12.9) и (12.5), (12.10) й 1+1 Я= — = —. о об (12.11) Подставляя сюда (12.6) и (12.7), получим (12.12) Я = ВО + 1ХьО, 2тгьРЛ и„ ~О= 2 И8 Хьо — — 4тЛм/сз = ы1~(сз (12.13) (12.14) 14 7 (1 С4) зl~ Х (1 14) — ~l~ (12 16) Эти формулы хорошо (по крайней мере качественно) передают температурную зависимость активной и реактивной составляющих импеданса за исключением области температур около Т,.
В этой области формулы (12.13) и (12.14) уже неверны. Вещественная часть импеданса ВО характеризует потери энергии на нагреванне, а мнимая часть Хьо является индуктивным сопротивлением. Выясним, как зависят от температуры ЛО и Хвр. Воспользуемся для этого эмпирической зависимостью Л сс (1 — с4) 17з, 8 = Т(Т,. Поскольку Л сс и, 7~, имеем и, сс (1 — 14), или и, = = п(1 — ~4), где и — плотность свободных электронов металла. Тогда и„= п1~, таким образом, 112. СКИН-ЭФФЕКТ И ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИМПЕДАНС Действительно, при их выводе мы использовали формулу (12.7), полученную в предположении (пв/п,)(ют)2 « 1, но как бы ни была мала частота, при Т вЂ” + Т, плотность и, — 1 О и неравенство нарушается.
Поэтому при Т -+ Т, из (11.8) имеем и = (п„/п,)т/А— -1(пв/п,)(ол)2/А1о. Пренебрегая здесь мнимой частью и подставляя это выражение и (12.5) в (12.11), получим 2я/ и 17 Л 1+1 Я = — ( 2о1т — ') — (1+ г) =, (12.16) с пв а„б„' где о„и Б„— проводимость и глубина скин-слоя нормального металла. Из этого выражения следует, что Вс и Хьр при Т -+ Т, принимают одинаковое значение и теряют свою зависимость от тем- 1/2 пературы, так как п,~ Л = сопв1. Зависимость Вц и Х1 от температуры, даваемая двухжидкостной моделью, представлена на рис.
12.1. Хло Рис. 12.1. Активная и реактивная части поверхностного импеданса в зависимости от температуры [26]. ГЛАВА 1П ТЕОРИЯ СВЕРХПРОВОДИМОСТИ ГИНЗБУРГА — ЛАНДАУ 2 13, Введение В теории Лондонов (глава 11) не учитывались квантовые эффекты сверхпроводимости. Теория Гинзбурга-Ландау (ГЛ) [27) стала первой квантовой феноменологической теорией сверхпроводимости. В теории должно было быть учтено то, что сверхпроводящее состояние — более упорядоченное, чем нормальное, и что переход из одного в другое (в отсутствие магнитного поля) — это фазовый переход второго рода.
Отсюда следовало, что в сверхпроводнике должен существовать какой-то параметр порядка, который отличен от нуля при Т С Т, и обращается в нуль при Т > Т,. О другой стороны, для создания квантовой теории необходимо было ввести какую-то эффективную волновую функцию сверхпроводящих электронов Ф(г). В.Л. Гинзбург и Л.Д. Ландау решили объединить эти две величины, решили рассматривать Ф~г) в качестве параметра порядка. Для этого потребовалась большая научная смелость и проникновенная физическая интуиция.
В.основу теории ГЛ положена разработанная Л.Д.Ландау теория фазовых переходов второго рода ~28]. бЗ 1 13. ВВЕДЕНИЕ Согласно этой теории, фазовый переход второго рода — это такой переход, при котором состояние тела меняется непрерывно, а его симметрия — скачком. При этом низкотемпературная фаза — менее симметричная фаза, т.е. фаза, обладающая ббльшим порядком. К фазовым переходам второго реда относятся переходы порядок — беспорядок в некоторых сплавах, ферромагнитный переход в точке Кюри, переход гелия в сверхтекучее состояние, переход металла в сверхпроводящее состояние. Поясним теперь, как непрерывное изменение состояния тела может сопровождаться скачкообразным изменением его симметрии.
Наиболее наглядно это видно на примере следующего структурного перехода (явления упорядочения). Пусть атомы сортов А и В расположены в линейной цепочке и при достаточно высокой температуре вероятности заполнения узлов атомами А и В одинаковы (полный беспорядок, рис. 13.1, а). На рис. 13.1, б показана вероятность заполнения узлов атомами сорта А при Т ( Т,. Теперь атомы расположены в большем порядке — «через одине. При прохождении через точку Т, появился и начал увеличиваться с понижением температуры параметр порядка и, а период структуры а изменился скачком при Т = Т, и стал равным 2а.
А ААА1 Рис. 13.1. Иллюстрация скачкообразного изменения симметрии при структурном фазовом переходе второго рода: а) вероятность найти атом сорта А в данной точке кристалла при Т > Т;, б) то же при т<Т,. 64 ГЛ.Ш. ТЕОРИЯ ГИНЗБУРГА-ЛАНДАУ Возвратимся к сверхпроводимости. В основе теории фазовых переходов второго рода Л. Д.Ландау лежит разложение свободной энергии по степеням параметра порядка, который мал вблизи точки перехода. Поскольку теория ГЛ основана на таком разложении, ясно, что область ее применимости ограничена близостью к критической температуре: Т, — Т « Т,.11 Более подробно область применимости теории ГЛ дана в 9 51 (после изложения микроскопической теории).
Итак, будем считать волновую функцию сверхпроводящих электронов Ф(г) параметром порядка. Более того, теперь нам понятно, как удобно выбрать нормировку этой волновой функции. Пусть ~Ф(г)~2 будет плотностью электронных куперовских пар, т.е. ~Ф(г)~~ = гл,/2. (13.1) с лс + ,~,р~2 + ~,р~4 2 ~~ 4 2 (13.2) Здесь гло — плотность свободной энергии сверхпроводника в отсутствие магнитного поля, Р„ †плотнос свободной энергии тела в нормальном состоянии, а и ~3 — некоторые феноменологические коэффициенты разложения, характеризующие материал. Найдем то значение ~Ф~2, при котором свободная энергия однородного сверхпроводника Гле достигает минимума. Это значение ~49~2 будет решением уравнения ог' О ,л,р~ 2 1) Применимость теории ГЛ ограничена и со стороны очень малых Т вЂ” Т т.
наэ. флуктуациоиными эффектами, см. 1 19. Рассмотрим сперва самый простой случай †однородн сверхпроводник без внешнего магнитного поля. Тогда Ф не должна зависеть от г, и разложение свободной энергии по степеням ~9~2 вблизи Т, дает выражение 114. УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ГИНЗБУРГА — ЛАНДАУ 65 Подставляя сюда (13.2), после элементарных вычислений получим (13.3) Подставляя (13.3) в (13.2), найдем разность Ä— Рю = а /213.
(13.4) Но, согласно формуле (3.5), зта разность равна Нз„/8я, откуда имеем Н2 1 2/)3 (13. 5) Обсудим температурную зависимость коэффициентов а и )3. Поскольку при Т = Т, параметр порядка должен быть равен нулю, а при Т < Т, — отличен от нуля, из (13.3) следует, что а = О при Т = Т, и а < О при Т < Т,. Поэтому в первом порядке по (Т, — Т) можно записать о = а(Т вЂ” Т,), (13.6) где о не зависит от близости к Т,. Такая температурны зависимость а согласует вблизи Т, формулу (13.5) и эмпирическую формулу (1.1).
Коэффициент 13 положителен и от температуры не зависит. Действительно, согласно (13.3), при Т < Т, и а < О положительное значение величины Гяе~~ может быть получено только при ф > О. С другой стороны, если Т > Т, и, согласно (13.6), о > О, то при Д > О величина гю достигает минимума при ~Фе(з = О, т.е., как и должно быть, сверхпроводящее состояние при Т > > Т, отсутствует. Таким образом, при Т < Т, и Т > Т, параметр ,8 > О. Поэтому мы можем в первом по (Т, — Т) приближении считать, что,8 = сопз$. 3 14.
Уравнения теории Гинзбурга — Ландау 14.1. Плотность свободной энергии. Переходим теперь к рассмотрению общего случая неоднородного сверхпроводника, находящегося во внешнем магнитном поле. ГЛ. 111. ТЕОРИЯ ГИНЗБУРГА -ЛАНДАУ бб Вблизи Т, разложение свободной энергии Гиббса по степеням Ф можно записать так: + ~Ф~г+ + — ~Ф~4+ — ~ — ИуФ вЂ” — АФ~ + — — —, (14.1) ,0 4 1 ~ 2е ! Нг ННо 2 2т' ~ с ~ 8х 4х ф— плотность свободной энергии сверхпроводника в нормальном состоянии, Нб — напряженность внешнего однородного магнитного поля, в котором находится сверхпроводник.
Предпоследнее слагаемое в (14.1) представляет собой просто плотность магнитной энергии, где Н вЂ э точное микроскопическое поле в данной точке сверхпроводника. Слагаемое с градиентным членом — это плотность кинетической энергии сверхпроводящих электронов. Рассмотрим это слагаемое более подробно. Плотность кинетической энергии частицы с массой т в квантовой механике записывается в виде В случае, если частица имеет заряд е и движется в поле векторного потенциала А, в выражении для плотности кинетической энергии оператор — ~Ы7 надо изменить: е — юЫ7 — + -И17 — -А = гпту. с Оператор скорости поэтому равен и = — (И/то) х7 — (е/ст) А. Поскольку в выражение для плотности кинетической энергии входит именно скорость частицы к, становится понятным выражение (14.1).
Остается только сказать, что в этом выражении произведена замена е — > 2е, поскольку элементарный заряд носителя сверхтока равен 2е. Соответственно, под т* в (14.1) понимается удвоенная масса свободного электрона. 114. УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ГИНЗБУРГА — ЛАНДАУ 14.2. Уравнения Гинзбурга †Ланд (ГЛ). Свободная энергия Гиббса всего сверхпроводника, согласно (14.1), равна Я,Я = 6„+ а(Ф~ + — (Ф( + — ~ — гй~7Ф вЂ” — АФ~ + ,8 4 . 1! . 2е Р 2 4тп~ с (госА)з гоФА Бе1 где интегрирование ведется по всему объему сверхпроводника. Наша задача †най такие уравнения относительно функций Ф(г) и А(г), решения которых, будучи подставлены в (14.2), давали бы минимальное значение Ц,н.
Для решения этой вариационной задачи будем сперва считать Ф(г) и А(г) неизменными, а проварьируем функцию Ф'(г). Итак, решаем вариационную задачу 6а 0~Я=О, (14.3) где ь.д, =7' иу~.Фю ~/%~Э~ БФ + — (И'76%* — — А6Ф*) ( — И~79 — — АФ) ~ (14 4) Вынести Н~' за квадратные скобки мешает только член 1Ч76Ф'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
