В.Н. Жарков - Внутреннее строение Земли и планет (1119250), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Однако как интегральныепараметры Земли собственные частоты представляют собой более сложные ве7273Рис. 19. Логарифм спектра мощности Чилийского (22 мая 1960 г.) (вверху) и Аляскинского (28 марта 1964 г.)(внизу) землетрясений как функция частоты по записям стрейн-сейсмографов на станции Изабелла (Калифорния). Показаны основные тона сфероидальных колебаний (S2 –S18 ) и основные тона крутильных колебаний(T2 –T18 ).
Описание обозначений см. в текстеличины, чем масса M и момент инерции I, так как они зависят не только отраспределения плотности в Земле, но и от распределения ее упругих параметров: модуля сжатия и модуля сдвига, а также распределения гравитационногополя в недрах планеты. В настоящее время измерено около тысячи собственныхчастот Земли. Таким образом, к двум интегральным параметрам Земли M и Iв последнее десятилетие было добавлено еще около тысячи новых интегральныхпараметров. Нам представляется, что констатация этого замечательного фактасама по себе настолько красноречива, что не требует комментариев.До сих пор мы подчеркивали скорее практическое значение собственных колебаний Земли.
Однако исследование собственных колебаний и в теоретическомплане представляет не меньшее значение. Это обусловлено тем, что собственные колебания Земли, можно сказать, представляют ее элементарные возбуждения, ее упруго-гравитационные кванты. Любое сложное возмущение Земли придетальном теоретическом анализе следует раскладывать по собственным колебаниям, т.е. определять, с каким весом в рассматриваемый сигнал произвольнойформы входят различные собственные колебания. Естественно, что прежде чемраскладывать сложные возмущения по собственным частотам, необходимо теоретически изучить сами собственные колебания Земли. Когда мы рассказываливыше о гравитационном поле Земли, то отмечали, что сферические функции являются собственными функциями Земли, так как форма Земли близка к сфере.Собственные тона, т.е.
картины смещений, возникающие при данном собственном колебании, и представляют конкретную реализацию в теле Земли соответствующей собственной функции. Угловая часть функции рассматриваемоготона является сферической функцией. Таким образом, исследуя собственныеколебания, мы тем самым изучаем собственные функции Земли.Начало современным исследованиям собственных колебаний земного шара было положено в 1954 г., когда ведущий американский сейсмолог-экспериментатор Г. Беньофф при анализе сейсмограмм Камчатского землетрясения1952 г.
отождествил фазу с периодам 57 мин с основным сфероидальным колебанием Земли.История вопроса восходит к основополагающей работе Пуассона (1828 г.),в которой он изучил радиальные колебания упругой сферы, и связана с именами знаменитых английских ученых Лэмба, Джинса, Рэлея и Лява, которыедали классификацию собственных колебаний упругой сферы, а затем, обобщили уравнения теории упругости на случай гравитирующих тел, что необходимопри рассмотрении колебаний тел планетарных размеров. В заключение этогораннего периода исследований Ляв в 1911 г.
вычислил периоды некоторых собственных колебаний гравитирующего шара с размерами Земли, постояннымимодулями и плотностью, равными некоторым средним значениям. Оказалось,74что значения периодов лежат в интервале от нескольких минут до одного часа.Три обстоятельства тормозили дальнейшие исследования: отсутствие приборов, которые позволили бы зарегистрировать собственные колебания; отсутствие достаточно достоверной картины внутреннего строения Земли; отсутствиебыстродействующих вычислительных машин, что не позволяло теоретическирассчитать собственные частоты для реальных моделей Земли.Как раз примерно в 1954 г. трудности, связанные со всеми этими причинами,были преодолены.
Правильно оценив представившиеся возможности, американские геофизики Беньофф, Лакост, Юинг и Пресс стали готовить сейсмометрическую и гравиметрическую аппаратуру к регистрации собственных колебаний. В то же время теоретики X. Пекерис, З. Альтерман и X. Ярош попредложению Беньоффа обратились к теории вопроса.Собственные колебания Земли делятся на два класса:а) крутильные колебания, вектор смещения которых перпендикулярен к радиусу сферы, за которую с хорошим приближением принимается Земля;б) сфероидальные колебания; в них вектор смещения имеет составляющие ипо радиусу, и по азимутальным направлениям.Смещения для каждого собственного колебания пропорциональны сферической функции n-го порядка.Основное сфероидальное собственное колебание соответствует n = 2 и характеризует движения, при которых сфера деформируется в сфероид.
Отсюдаи название всего класса, хотя колебания с n ⩾ 3 приводят к более сложнымфигурам. При n = 0 сфероидальные колебания вырождаются в радиальные сосмещениями вдоль радиуса.При математическом описании поля упругих смещении при собственныхколебаниях Земли используют сферическую систему координат (r, θ , λ ):r — радиус, расстояние от центра сферы, θ — полярный угол, λ — долгота. Компоненты вектора смещений u(ur , uθ , uλ ) для крутильных колебаний имеют вид⎧ur ≡ u ≡ 0,⎨W (r) ∂ Snm (θ , λ )sin ω t,uθ ≡ v =(35)sin θ∂λm∂ S (θ , λ )⎩sin ω t,uλ ≡ w = −W (r) n∂θгде ω = 2π /T — собственная частота, T — собственный период, t — время,Snm (θ , λ ) = Pnm (cos θ ) cos mλ или Pnm (cos θ ) sin mλ — компоненты сферическихфункций, о которых мы подробно говорили во второй главе [см.
формулу (31)].Компонента v, направленная по оси θ (по меридиану), пропорциональна производной Snm по λ , т.е. ∂ Snm /∂ λ , а компонента w, направленная по широтному75кругу, пропорциональна ∂ Snm /∂ θ . Так как Snm состоит из косинусов, а математическая операция взятия производной переводит синус в косинус и косинусв минус синус, то фактически смещения при крутильных колебаниях описываются произведением радиальных функций W (r) и известной угловой функциитипа полиномов от синусов и косинусов. Преимущество сферической системыкоординат заключается в том, что в ней «разделились» нерешенные (функцииот r и функции от θ , λ ) и задача из трехмерной стала одномерной, так как дляее решения достаточно определить W (r).
Для математического решения задачиэто является колоссальным облегчением. Таким образом, крутильные колебаниямогут быть охарактеризованы всего одной функцией радиуса W (r) и частотой ω .При крутильных колебаниях радиальная компонента смещений u тождественноравна нулю, и материальные частицы земных недр колеблются каждая на своей сфере.
Далее, смещения описываются произведением функций координат нафункцию времени; следовательно собственные колебания — это стоячие волны.Компоненты вектора смещений при сфероидальных колебаниях определяются двумя новыми функциями радиуса U (r) и V (r):⎧u = U (r)Snm sin ω t,⎨∂ Smv = V (r) n sin ω t,(36)∂θm⎩ w = V (r) ∂ Sn sin ω t.sin θ ∂ λМы видим, что в стоячей сфероидальной волне все три компоненты смещения отличны от нуля, функция U (r) определяет радиальную компоненту смещения, a V (r) характеризует смещение в плоскости, перпендикулярной к радиусу.При сфероидальных колебаниях колеблется также гравитационное поле Земли. Математически колебания гравитационного потенциала Земли записываютв следующем виде:ψ = P(r)Snm sin ω t.(37)Система уравнений движения, которой подчиняются сфероидальные колебания, содержит как функции U (r) и V (r), так и P(r).
Эти уравнения не разделяются на уравнения только для U (r) и V (r) и только для P(r). Поэтому и говорят,что сфероидальные колебания являются связанными колебаниями упругого игравитационного полей земных недр.Крутильные колебания, в отличие от сфероидальных, не связаны с изменением объема и формы планеты, поэтому они не изменяют гравитационное полеЗемли и не регистрируются гравиметрами. Сейсмографы записывают колебанияобоих типов. Поэтому сравнение спектра частот, записанного сейсмографами,76со спектром, записанным гравиметрами, позволяет экспериментально разделитьэти два класса колебаний.Благодаря тому, что земное ядро жидкое, а крутильные колебания являются поперечными колебаниями (аналогично поперечным волнам), они связанылишь с твердыми областями Земли, и определяются распределением плотностиρ и модуля сдвига μ в мантии и коре.
Следовательно, сравнение теоретическогоспектра частот для различных моделей Земли с экспериментальным дает возможность уточнить реальную модель Земли. Такое сравнение было произведено,и оказалось, что из двух конкурирующих моделей Земли: а) модели Гутенбергасо слоем пониженных скоростей сейсмических волн на глубинах ∼ 50–250 кми б) модели Джеффриса, не обладающей таким слоем, — собственные колебания весьма убедительно отдают «предпочтение» модели Гутенберга. До этихисследований модель Джеффриса пользовалась бо́льшим распространением.Сфероидальные колебания захватывают всю Землю, что позволяет нарядус корой и мантией изучать и ядро Земли.
Важнейшим свойством собственныхколебаний является то, что с ростом номера колебания n они вытесняются изцентральных областей планеты к поверхности. Получается так, что чем ниже порядок колебания n, тем сильнее смещение в этом колебании погруженов земные недра (рис. 20). Частоты собственных колебании растут с ростом n.Таким образом, низкие тона можно использовать для зондирования глубинныхслоев, а высокие — для зондирования наружных слоев. В результате различные частотные интервалы определяются свойствами различных областей земных недр. Следовательно, собственные колебания позволяют изучать не толькоинтегральные свойства земного шара, подобно приливам в теле Земли, но идифференциальные.Весь спектр собственных колебаний Земли впервые был зарегистрированпосле сильнейшего Чилийского землетрясения в мае 1960 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
