В.Н. Жарков - Внутреннее строение Земли и планет (1119250), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Из чисто гравиметрических измерений определить еще одно соотношение между моментамиинерции C и A не удается. Но здесь на помощь гравиметрии приходит астрономия, методы которой позволяют определить постоянную прецессии земнойосиC − A= 0.0032732.H=CРаспределение плотности в недрах планеты существенно влияет на средниймомент инерции I (27) и, наоборот, значение I, определенное экспериментально,существенно контролирует распределение плотности при модельных расчетах.Рассмотрим случай однородной модели — планеты с постоянной плотностью.Подсчитать момент инерции однородной сферы не составляет труда. В результате имеемI= 0.4.(29)I∗ =MR2Итак, мы приходим к простому, но важному заключению, то в случае планетыпостоянной плотности ее безразмерный момент инерции I ∗ равен 0.4.
Легко убедиться путем непосредственных численных расчетов, что при росте плотностив недрах планеты от периферии к центру величина I ∗ будет принимать значение, меньшее 0.4. Наоборот, если в планете происходит уменьшение плотностис глубиной, то значение I ∗ будет превосходить предельное значение, равное 0.4.Для Земли значение I ∗ , согласно наблюдениям, равно 0.33076. Это соответствует весьма существенной концентрации массы в центральных областях планеты.В недрах планет действуют заметные гравитационные поля, и если в силу техили иных причин при эволюции планеты в ее недрах возникают зоны пониженной плотности под областями большей плотности, то возникают мощныеархимедовы силы, стремящиеся поменять местами эти области. В таком случаеговорят, что в планете нарушено состояние механического равновесия.
Поэтомуплотность является возрастающей функцией глубины и ее возрастание происходит за счет сжатия под влиянием давления вышележащих слоев, за счет ростас глубиной концентрации тяжелой компоненты и иногда из-за уплотнения прифазовых переходах при высоких давлениях.56В глубинных недрах существуют и процессы, приводящие к понижениюплотности.
Основные из них: разогрев (повышение температуры), плавление,частичное (или фракционное) плавление с выделением компоненты с меньшейплотностью, например, выплавление базальтовых магм в недрах Земли и Луны.Как правило, однако, процессы, приводящие к понижению плотности, менее эффективны, чем причины, заставляющие расти плотность с глубиной. Внешнимпроявлением того факта, что в глобальном масштабе плотность увеличивается сглубиной или в случае малых тел остается почти постоянной, является условиеI ∗ ⩽ 0.4.Исследование гравитационного поля Луны с помощью искусственных спутников Луны позволило определить ее безразмерный момент инерцииI ∗ = 0.391 ± 0.002.Этот фундаментальный результат указывает, что плотность Луны примернопостоянна.
С физической точки зрения этот вывод представляется естественным: давление в центре Луны не превосходит 50 000 атм, а увеличение плотности за счет давления достигает всего нескольких процентов.Интересно вспомнить историю определения I ∗ для Луны до запуска вокругнее искусственных спутников. Около двадцати лет назад известный американский астроном Экхардт предпринял попытку определить I ∗ для Луны путемдетального анализа либрационных колебаний Луны при ее орбитальном движении вокруг Земли. Он получил значение I ∗ , заметно превосходящее предельную величину 0.4. Работа Экхардта послужила поводом к предположению обаномальном распределении плотности в недрах Луны, именно к ее заметномупадению с глубиной.Такой странный, но эффектный результат противоречил здравому смыслуи заставлял думать, что результат Экхардта является ошибочным.
Как мы знаем,эти опасения оправдались, и в настоящее время значение величины I ∗ для Луныне вызывает каких-либо недоумений.2.3. Внешнее гравитационное поле Землипо данным искусственных спутников ЗемлиДо запуска спутников внешнее гравитационное поле Земли описывалосьпростой двучленной формулой (23). Было бы неправильным думать, что гравитационное поле нашей планеты столь просто. В действительности простотагравитационного поля Земли была связана с тем, что не удалось покрыть Землю детальной сетью гравиметрической съемки, которая позволила бы выявитьдругие поправки к основной, ньютоновской части поля (22).57В общем случае гравитационный потенциал любого гравитирующего космического тела — планеты, спутника или звезды — может быть разложен по сферическим функциям.
Сферические функции выступают на сцену всегда, когдарешается какая-либо задача для сферы или тела, форма которого близка к сфере. Они представляют собой определенным образом сгруппированные суммы изкосинусов и синусов от угловых переменных; полярного расстояния (или широты) и долготы. Сферические функции являются так называемыми собственнымифункциями для сферы, и поэтому столь велико их значение для геофизики. Прирешении той или иной задачи выбор функций, в которых эта задача решается, диктуется соображениями удобства.
Собственные функции данной задачивсегда являются наиболее естественными, удобными и простыми.Так как Земля весьма близка к сфере — почти сфера, то в геофизике практически во всех задачах имеют дело со сферическими функциями. Как мы сказали,гравитационное поле Земли разлагается по сферическим функциям, разложениемагнитного поля Земли по сферическим функциям впервые было осуществленовеликим немецким математиком Карлом Гауссом в прошлом веке; свободные,или собственные, колебания Земли также разлагаются по сферическим функциям.
Разложение по сферическим функциям называют сферическим анализом.В настоящее время сферическому анализу подвергнут рельеф земной и луннойповерхностей, тепловой поток из недр Земли и другие геофизические поля.Незаметно для себя в этой книге мы уже встречались с первыми сферическими функциями. Как мы знаем, выражение (23) дает первые члены разложениягравитационного потенциала.
Следовательно, это есть начало ряда для разложения потенциала по сферическим функциям.Действительно, самой простой сферической функцией является единица —сферическая функция нулевого порядка. Сферическая функция первого порядкасостоит из трех компонент: cos θ , sin θ cos λ , sin θ sin λ (полярный угол θ и долгота λ — угловые координаты в сферической системе координат). Разложениегравитационного потенциала не содержит компоненты сферической функциипервого порядка. Это связано с тем, что мы удачно выбрали начало координат —поместили его в центре масс Земли. Сферическая функция второго порядка состоит из пяти компонент. Одна из этих компонент P2 [см.
формулу (25)] входитво второе слагаемое разложения потенциала (23). Опять-таки мы в (23) избавились от остальных компонент и таким образом получили более простое иудобное выражение для потенциала за счет удачного выбора осей координат;оси координат совмещены с главными осями инерции планеты. В общем случаесферическая функция n-го порядка содержит 2n + 1 компоненту, а разложениегравитационного потенциала Земли имеет вид58{GMV=1 −r( )na∑ r JnPn(t) +n=2}∞ n ( )n)amPn (t)(Anm cos mλ + Bnm sin mλ . (30)∑∑n=2 m=1 r∞Здесь r, θ , λ — сферические координаты в точке наблюдений, t = − cos θ , Pn —полином Лежандра n-го порядка (он представляет собой полином n-го порядкаотносительно cos θ ), Pnm — присоединенные полиномы Лежандра — полиномыn-го порядка относительно cos θ и sin θ , Jn , Anm , Bnm — гравитационные моменты, определяемые экспериментально по траекториям искусственных спутников.Входящие в (30) компоненты сферических функций n-го порядка имеют вид:Pn (cos θ );Pnm (cos θ ) cos mλ ;Pnm (cos θ ) sin mλ ,m = 1, 2, 3, .
. . , n − 1, n.(31)Остальные обозначения в (30) те же, что и в (22) и (23), и являются стандартными.До запуска спутников в разложении (30) был определен всего лишь одинкоэффициент J2 , причем это потребовало проведения огромного количества геодезических и гравиметрических съемок по всей Земле. Сравнительно недавнок возможности определения других коэффициентов разложения земного потенциала относились весьма скептически.
Так, крупнейший геофизик первой половины XX в. Гарольд Джеффрис в своей классической монографии «Земля»писал в 1959 г., что, возможно, коэффициент J4 будет определен через 20 летпри условии, что темпы астрономо-геодезических работ не будут замедляться.Джеффрис считал, что коэффициент J3 будет намного меньше, чем J4 , и поэтому следующим поправочным членом к двучленному потенциалу (23) будетслагаемое с J4 . Об этой ошибке Джеффриса мы еще скажем ниже.Широкое использование искусственных спутников для геодезических целейрадикально изменило положение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
