Краткий конспект (1118436)
Текст из файла
Оглавление1. Определение функции комплексного переменного.2. Определение производной функции комплексного переменного.Дифференцируемая функция. Необходимое и достаточное условиедифференцируемости функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана.Формула нахождения производной.3. Условия Коши-Римана в полярных координатах. Формула вычисленияпроизводной.
Пример: степенная функция.4. Свойства аналитических функций (5 св-в)5. Геометрический смысл производной функции комплексного переменного.Свойства сохранения углов и постоянства растяжения.6. Определение конформного отображения.7. Круговое свойство дробно-линейной функции. Отображение верхнейполуплоскости на единичный круг.8. Отображения, осуществляемые элементарными функциями.9. Основная задача конформных отображений. Теоремы Римана.10. Определение интеграла от функции комплексного переменного. Теорема овычислении интеграла.11. Свойства интеграла от функции комплексного переменного.12.
Теорема Коши для односвязной и многосвязной областей.13. Первообразная аналитической функции (теорема и определение).14. Неопределенный интеграл. Теорема и определение. Формула Ньютона-Лейбница.15. Формула Коши. Следствие. Формула среднего значения.16. Аналитическая зависимость интеграла от параметра.17. Существование производных всех порядков аналитической функции.18.
Теорема Морера. Теорема Лиувилля.19. Ряды аналитических функций. 1 т-ма Вейерштрасса.20. Определение степенного ряда. Теорема Абеля. Следствия.21. Теорема Тейлора.22. Нули аналитической функции. Единственность определения аналитическойфункции.23. Определение аналитического продолжения. Продолжение соотношений сдействительной оси. Полная аналитическая функция.24. Ряд Лорана. Область сходимости РЛ, Трм о разложении анал.ф-ции в РЛ.25. Разложение в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.+∞n26.
Разложение: f (z ) = n =∑−∞cn z , R < z < ∞27. Классификация изолированных особых точек.28. Предельные свойства изолированных особых точек. Связь полюсов и нулей.29. Определение вычета. Вычисление вычетов.30. Основная теорема теории вычетов. Теорема о сумме вычетов.31. Вычисление интегралов, содержащих тригонометрические функции с помощьювычетов.32.
Вычисление несобственных интегралов с бесконечными пределами с помощьювычетов. Лемма и теорема.33. Лемма Жордана. Пременение леммы Жордана к вычислению несобственныхинтегралов.1Определение функции комплексного переменного.W = f (z) – комплексная функция комплексного переменного.W=U + i Vz=x + i y.(W = f ( z)) ⇔ ⎧⎪⎨U = U ( x, y)⎪⎩V = V ( x, y ) - отображение упорядоченной пары в упорядоченную же пару.Если приz − z0 → 0f (z) − C =f ( z ) − C → 0 , тогда C – предел функции f(z) в точке z0. C = A + i B,(U ( x, y ) + A )2 + (V ( x , y ) + B )2→0Определение: Для того чтобы функция W = f(z) была непрерывна в точке z0, необходимо идостаточно, чтобы как функция U=U(x,y), так и функция V=V(x,y) были непрерывными в точке (x0,y0).2Определение производной функции комплексного переменного.Дифференцируемая функция.
Необходимое и достаточное условиедифференцируемости функции комплексного переменного. Условия КошиРимана. Формула нахождения производной.Определение: По определениюесть и производная.Условие:Функцияf ′( z ) = limf(z)Δf ( z 0 ) = f ( z 0 + Δz ) − f ( z 0 ) = C Δz + Δz α (Δz )f ( z + Δz ) − f ( z )ΔzΔz →0называется= limΔf ( z 0 )Δz →0Δz, т.е. если есть конечный предел, тодифференцируемой, где C = const∈C, α (∆z)∈C, авlim α (Δz ) = 0Δz →0точкеz0 ,если.Теорема.: (НДУ дифференцируемости функции)Для того чтобы f(z) была дифференцируема в точке z0, необходимо и достаточно, чтобы в этой точкесуществовала конечная производная f '(z).Док-во: 1)Необходимость:Пусть f(z) дифференцируема в точке z0, тогдаf ′( z ) = limΔf ( z 0 )Δz → 0Δz= lim (C + α ( Δz ) ) = CΔz → 0, то есть доказали, чтоC = f '(z0): Δf ( z 0 ) = f ′( z 0 ) Δz + Δzα (Δz ) .2) Достаточность:Пусть ∃f ′( z0 ) = limΔf ( z0 )Δz⇒Δf ( z0 )Δz− f ′( z0 ) = α (Δz ),гдеlim α (Δz ) = 0Δz →0,аотсюдаследует,чтоΔf ( z ) = f ′( z 0 )Δz + Δzα (Δz ) .Теорема.: (Условия Коши - Римана / Даламбера-Эйлера)Для того чтобы функция W = f ( z ) = U ( x, y) + iV ( x, y) была дифференцируема в точке z0 = x0 + i y0 ,необходимо и достаточно, чтобы:1) Функции U и V были дифференцируемы в точке (x0,y0);2) В этой точке выполнялись условия:⎧ ∂U ( x0 y0 ) ∂V ( x0 y0 )=⎪∂x∂y⎪⎨∂U(xy)∂V( x0 y0 )0 0⎪=−⎪∂y∂x⎩- условия Коши-Римана / Даламбера-Эйлера.(*)Док-во: 1) Необходимость:Δf ( z 0 ) = f ′( z 0 )Δz + α (Δz, z 0 )Δz , при этом lim α (Δz, z0 ) = 0 .Δz →0lim α (Δx, Δy ) = 0, k = 1,2f ′( z 0 ) = a + i b , Δz = Δx + i Δy , α (Δz, z 0 ) = α1 (Δx, Δy) + i α 2 (Δx, Δy) , при этом Δx →0 kΔy →0Δf ( z 0 ) = ΔU ( x 0 , y 0 ) + i ΔV ( x0 , y 0 ) == (a + i b)(Δx + i Δy ) + (α1 + i α 2 )(Δx + i Δy ) == aΔx − bΔy + α1Δx − α 2 Δy + i (bΔx + aΔy + α 2 Δx + α1Δy )ΔU ( x 0 , y 0 ) = aΔx − bΔy + α1Δx − α 2 Δy ; α1 иa=∂U ( x0 y0 )∂x; b=−∂U ( x0 y0 )∂yα2 - бесконечно малые, U – дифференцируема в z0.;ΔV ( x0 , y 0 ) = bΔx + aΔy + α 2 Δx + α1Δy ; α1 и α2 - бесконечно малые, V – дифференцируема в z0.
a =b=−∂V ( x0 y0 )∂x∂V ( x0 y0 )∂y;Итого доказали 1) и 2) → W – дифференцируема в z0, ч.т.д.2) Достаточность.Пусть U и V – дифференцируемы в точке (x0,y0) и верна система (*).3;∂U ( x 0 y 0 )∂U ( x 0 y 0 )Δy + α 1 (Δx, Δy )Δx +Δx +∂y∂x+ α 2 (Δx, Δy )ΔyΔU ( x 0 , y 0 ) =∂V ( x0 y0 )∂V ( x0 y0 )Δy + α3 (Δx, Δy )Δx +Δx +∂y∂x+ α 4 (Δx, Δy)ΔyΔV ( x0 , y0 ) =ΔU ( x0 , y0 ) + i ΔV ( x0 , y0 ) =∂U∂UΔx +Δy + α1Δx + α 2 Δy +∂x∂y⎛ ∂V⎞ ⎛ ∂U∂V∂V+ i ⎜⎜Δx +Δy + α 3Δx + α 4 Δy ⎟⎟ = ⎜⎜+i∂y∂x⎝ ∂x⎠ ⎝ ∂x⎞⎟⎟Δx +⎠⎛ ∂V∂U ⎞⎟Δy + (α1 + iα 3 )Δx + i (α 4 − iα 2 )Δy+ i⎜⎜−i⎟∂y∂y⎝⎠Согласно системе (*) первые две скобки в последнем выражении равны.
С учётом этого перепишем:⎛⎛ ∂UΔxΔy ⎞∂V ⎞⎟⎟Δz + ⎜⎜ (α1 + iα 3 )⎟Δz = Δf ( z0 ) =⎜⎜+ i (α 4 − iα 2 )+iΔΔz ⎟⎠zxx∂∂⎠⎝⎝⎛ ∂U ( x0 , y0 )∂V ( x0 , y0 ) ⎞⎟⎟Δz += ⎜⎜+i∂x∂x⎝⎠⎛ ΔxΔxΔyΔy ⎞⎟Δz+ ⎜⎜α1+ iα 3+ iα 4+ iα 2ΔΔΔΔz ⎟⎠zzz⎝Учитывая, чтоΔxΔy≤ 1;≤1ΔzΔz, перепишем последнее выражение.⎛ ∂U ( x0 , y 0 )∂V ( x0 , y 0 ) ⎞⎟Δz + α~1 (ΔxΔy ) + iα~2 (ΔxΔy ) Δz =⎜+i⎟⎜x∂∂x⎠⎝⎛ ∂U ( x0 , y 0 )∂V ( x0 , y 0 ) ⎞⎟Δz + α~ (...)Δz⎜+i⎟⎜∂x∂x⎠⎝()∂U ( x0 , y0 )∂V ( x0 , y0 ) ∂U∂V∂V∂U+i=−i=−i=∂x∂x∂x∂y∂y∂y∂V∂U=+i∂y∂xf ′( z0 ) =Формула нахождения производной:∂U∂V∂V∂V ( x0 , y0 ) ∂U∂U ( x0 , y0 )=−i=−i=+i∂y∂y∂y∂x∂x∂x∂V∂U=+i∂y∂xf ′( z0 ) =4Условия Коши-Римана в полярных координатах.
Формула вычисленияпроизводной. Пример: степенная функция.f ( z ) = U ( ρ , ϕ ) + iV ( ρ , ϕ ) = U ( ρ cos ϕ , ρ sin ϕ ) + iV ( ρ cos ϕ , ρ sin ϕ ), гдеU ( ρ , ϕ ) = U ( ρ cos ϕ , ρ sin ϕ ); V ( ρ , ϕ ) = V ( ρ cos ϕ , ρ sin ϕ ) .Для дифф-ти функция f(z) в точке z0, необходимо и достаточно, чтобы1) U и V были дифференцируемы в точке ( ρ0 ,ϕ0 )2) в этой точке выполнялись условия:⎧ ∂U1 ∂V=⎪ρ ∂ϕ⎪ ∂ρ⎨⎪ ∂V = − 1 ∂U - условия Коши-Римана дифф-ти в полярных координатах.⎪ ∂ρρ ∂ϕ⎩Трм.:(Формула вычисления производной)Если функция f ( z ) = U ( ρ , ϕ ) + iV ( ρ , ϕ ) дифференцируема в точке z0, то её производную можно вычислитьпо формулеf ′( z ) =ρ ⎛ ∂U∂V⎜+i⎜z ⎝ ∂ρ∂ρ⎞⎟⎟⎠Док-во: ρ = ρ (cosϕ + i sin ϕ )(cosϕ − i sin ϕ )⎛ ∂U∂V ⎞⎟ = U ρ cos ϕ + iV ρ cos ϕ − iU ρ sin sϕ + V ρ sin ϕ =+if ′( z ) = ⎜⎜∂∂x ⎟⎠x⎝ρ (U ρ + iV ρ )(cos ϕ − i sin ϕ ) == U ρ (cos ϕ − i sin sϕ ) + iV ρ (cos ϕ − i sin ϕ ) =ρ=ρ (U ρ + iV ρ )ρ (cos ϕ + i sin ϕ )=ρ ⎛ ∂U∂V ⎞⎜⎟+i∂ρ ⎟⎠z ⎜⎝ ∂ρПример: Степенная функция с произвольным показателем.f ( z ) = zα(z )′ = (eα) = α (ln(z))′ (eα ln( z ) ′α ln( z )) = α 1z zα= αzα −15Свойства аналитических функций (5 св-в)Определение: Функция f : (G ⊂ C ) → C - называется аналитической в области G, если она имеетконечную производную в каждой точке области G (область G – открытое множество, т.е.
все точкиего внутренние).Определение: Функция f называется аналитической в точке z0, принадлежащей области G, еслисуществует окрестность этой точки, в которой она является аналитической.Св-ва:1)Еслиf1( z ) ± f 2 ( z ),Док-во:f1( z ), f 2 ( z )функцииf1( z )f1( z ) f 2 ( z ),f2 ( z)являютсяаналитическимивобластиG,тофункциитакже является аналитической в области (в точке).( f1 + f 2 )′( z0 ) = f1′ ( z0 ) ± f 2′ ( z0 )( f1 f 2 )′( z0 ) = f1′ ( z0 ) f 2 ( z0 ) + f1( z0 ) f 2′ ( z0 );;′′′⎛ f1 ⎞⎜⎟ ( z0 ) = f1 ( z0 ) f 2 ( z0 ) − f1( z0 ) f 2 ( z0 )⎜ f ⎟2( f 2 ( z0 ))⎝ 2⎠2) Если функция W = f(z) – аналитическая в области G, а функция ξ = ϕ (W ) - аналитическая вобласти f(G), то функция ξ = ϕ ( f ( z )) - аналитическая в области G.Док-во:W0 = f ( z0 );ξ′ =dϕ (W0 ) df ( z0 )dWΔξ ( z0 ) Δϕ (W0 ) Δf ( z0 )=ΔWΔzΔz;dz;3) Предположим, что в области G задана аналитическая функция f : G → f (G) :1) f – аналитическая в области G;2) f f ′( z ) ≠, ∀z ∈ CТогда ∃ϕ : f (G) → G и1) φ – аналитическая функция2)ϕ ′(W0 ) =Док-во:1f ′( z0 ), W0 = f ( z0 );f ′( z0 ) = U x ( x0 , y0 ) + i Vx ( x0 , y0 ) ≠ 0, значитf ′( z0 ) = U x 2 + Vx 2 ( x0 , y0 ) ≠ 02, ∀( x0 , y0 ) ∈ G ⊂ R ;⎧⎪U = U ( x, y )⎨⎪⎩V = V ( x, y ) - дифференцируема во всей области G.∂U ∂U⎧⎪U x = V y⎨Кроме того ⎪⎩Vx = −U y .
Рассмотрим якобиан:D(U ,V )D ( x, y )=22∂x ∂y∂U ∂V ∂V ∂U ⎛ ∂U ⎞ ⎛ ∂V ⎞2⎟ +⎜⎟ = f ′( z ) ≠ 0=−=⎜∂V ∂V∂x ∂y∂x ∂y ⎜⎝ ∂x ⎟⎠ ⎜⎝ ∂x ⎟⎠∂x ∂y⎧⎪ x = x(U , V )→якобиан этого преобразования не равен нулю → существует и обратное преобразование: ⎨⎩⎪ y = y (U , V ) дифференцируема во всей области G.а) Работаем с первым уравнением:1=∂x ∂U∂U ∂x+∂x ∂V∂V ∂x*∂VАналогично находимб) Со вторым:0=1∂y∂V=−2∂Uf ′( z) ∂x0=∂y∂U∂y∂y ∂U∂U ∂x+=∂x ∂U∂U ∂y+∂x ∂V∂V ∂y*∂V∂V∂x∂x=∂x ⎛ ∂V ∂U ∂U ∂V ⎞ ∂x2⎜⎟=−f ′(z )∂V ⎜⎝ ∂x ∂y∂x ∂y ⎟⎠ ∂V∂y ∂V∂V ∂x*∂V∂y1=∂y ∂U∂U ∂y+∂x ⎛ ∂U ∂V ∂V ∂U ⎞ ∂x2⎜⎟=−f ′(z )∂U ⎜⎝ ∂x ∂y∂x ∂y ⎟⎠ ∂U1∂x∂V=2 ∂y∂Uf ′( z )1∂x∂U=−2 ∂y∂Vf ′( z )∂y ∂V∂V ∂y*∂V∂x−∂V∂x=∂y ⎛ ∂U ∂V ∂V ∂U ⎞ ∂y2⎜⎟=−f ′(z )∂U ⎜⎝ ∂x ∂y∂x ∂y ⎟⎠ ∂U6Аналогично находим−∂U∂x=∂y ⎛ ∂V ∂U ∂U ∂V ⎞∂y2⎜⎟=−−f ′(z )∂V ⎜⎝ ∂x ∂y∂x ∂y ⎟⎠∂V1∂y∂U=−2 ∂x∂Vf ′( z )Получаем условие Коши-Римана для функции x + i y:⎧ ∂x∂y=⎪⎪∂U∂V⎨⎪ ∂y = − ∂x⎪⎩ ∂U∂V- условие Коши-Римана дляϕ (W ) = x(U , V ) + iy (U , V )- эта функция аналитическая.Докажем второй пункт теоремы, для чего воспользуемся производной сложной функции:z = ϕ (W ) = ϕ ( f ( z ));1∂ϕ ∂f, ч.т.д.z′ = 1 =⇒ ϕ ′(W ) =f ′( z )∂W ∂z4) Пусть в области G задана f ( z ) = U ( x, y) + iV ( x, y) - аналитическая функция.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
