Главная » Просмотр файлов » Краткий конспект

Краткий конспект (1118436), страница 5

Файл №1118436 Краткий конспект (Краткий конспект) 5 страницаКраткий конспект (1118436) страница 52019-05-09СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Где ϕ(z) ≠0 ианалитична, тогда z0 полюс n-го порядка.31Определение вычета. Вычисление вычетов.Определение: Пусть ф-ция f(z) имеет изолированную особую точку z0 тогда поместим z0 внутрьконтура γ тогда1∫ f ( z ) dz- вычет функции f(z) в точке z0 и обозначается2πi γВыч[f(z),z0]=res[f(z),z0]Теор: Вычет функции res[f(z),z0]=C-1 в разложении этой функции в окрестности этой точки z0 т.е+∞f ( z ) = ∑ Cn ( z − z0 ) nn = −∞Док-во: Интеграл по любому замкнутому контуру – одинаков. Выбираем окрестность радиуса ρ тогдаres[ f ( z ), z0 ] ==11 +∞n∑ Cn ( z − z0 ) dt =∫ f ( z ) dz =2πi C ρ2πi n = −∞1 +∞n∑ Cn ∫ ( z − z0 ) dz2πi n = −∞ γ ρ∫ ( z − z0 )n2π2πdz = ∫ ρ n eiϕnieiϕ ρdϕ = iρ n +1 ∫ eiϕ ( n +1) dϕ =00⎧ ei ( n +1)ϕ2π ⎧⎪⎪ 0, при..n ≠ −1= iρ n +1 ⎨ i (n + 1) 0 = ⎨⎪⎩2πi, при..n = −1⎪ 2πi, n = 1⎩Формулы:1) полюс первого порядка:f ( z) =C−1+ C0 + C1( z − z0 ) + ...z − z0lim f(z)(z-z0)=C-1 при zÆz0Если f(z)=ϕ(z)/ψ(z) при этом ϕ(z0) ≠0 ϕ (z) =(z-z0)ψ1(z)ψ(z)=ψ’(z0)(z-z0)+ψ’’(z0)(z-z0)2/2!+…ϕ ( z )( z − z0 )ϕ ( z0 )ϕ ( z)= lim z → z0=lim z → z0−zzψ ( z)0 + ...

ψ ' ( z0 )ψ '( z ) + ψ ''02!2)полюс n-го порядкаf ( z) =C− nC+ ... + −1 + C0 + ...( z − z0 )z − z0f ( z )( z − z 0 ) = C − n + ... +C −2 ( z − z 0 ) n − 2 + C −1 ( z − z0 ) n −1 + ...lim z → z 0d n −1dzn −1res[ f ( z ), z0 ] =[ f ( z ), ( z − z 0 ) n ] = ( n − 1)!C −11d n −1lim[ f ( z )( z − z0 ) n ]( n − 1)!dz z −132Основная теорема теории вычетов. Теорема о сумме вычетов.Теорема (Основная теорема теории вычетов):Пусть f(z) – аналитическая всюду в замкнутой области G за исключением конечного числаизолированных особых точек, лежащих внутри этой области, тогдаn∫ f ( z )dz = 2πi ∑ res[ f ( z ), z k ]k =1ГДок-во:∫ f ( z ) dzГ= ∫ f ( z ) dz + ...

+ ∫ f ( z )dz = 0γ 1−γ n−∫ f ( z ) dz = ∫ f ( z ) dz + ... + ∫ f ( z ) dz = 2πires[ f ( z ), z n ]Гγ 1+γ n+предположим, что кроме |z|>R других особых точек в ∞ больше нетres[f(z),-∞]=-C-1∫ Cn z+CRndzПредположим что функция f(z) аналитическая на полной комплексной плоскости за исключениемконечного числа особых точек включая ∞ тогда сумма всех вычетов во всех особых точках, включая ∞равна нулю.Док-во∫+CRf ( z ) dz = 2πi ∑ res[ f , z k ]∫ f ( z ) dz = 2πires[ f ( z ), ∞]−CR33Вычисление интегралов, содержащих тригонометрические функции с помощьювычетов.2π∫ R (cos ϕ , sin ϕ ) dϕoЭто инт вида I =, где R-рац ф-ция своих арг. Инт такого типа легко могут бытьсведены к интегр от ан.функции компл.перем по замкн.контуру.

Для этого сделаем замену перем.интегр, введя компл. перем. z=eiφ. Очев, что dφ=dz/iz, cosφ=1/2(eiφ+ e-iφ) = 1/2(z+1/z)), sinφ = 1/2i(z1/z)). При изм φ от 0 до 2п, z пробег окр-ть |z|=1 в пол. напр-ии. Т.о.силуобщ.св-ваналит.ф-цийподинт.I = 1 \ i ∫ R[ z + 1 \ z , z − 1 \ z ]dz \ z| z |=1ф-ция,явл-ся,очев,; т.о. врацион~R ( z ) = (a0 + a1z + ... + an z n ) \ (b0 + b1z + ... + bm z m ) предст собой ф-цию, аналит внутри круга |z|=1 всюду заискл.

конечного N≤m числа особ точек zk явл. нулями знам R~. Т.о. в силу осн.трм.теор.выч. I =N~2π ∑ выч[ R( z ), zk ]k =1. Точки zk явл-ся полюсами ф-ции R~. Пусть ak – поряд. полюса zk (очев,Тогда по форм. выч вычета в полюсе m-пор, I =Пример: выч инт2πdϕ, | a |< 1 реш:1+acos ϕoI= ∫~1d αk −1lim[( z − z k ) ak R ( z )]kα1−k =1 ( a k − 1)! z − > zk dzN2π ∑1z=eiφ т.о.

I= I = 1 \ i| z|∫=1 1 + a \ 2( z + 1 \ z)dzzN∑ ak ≤ mk =1).;dz= 2 \ i| z|∫=1 az 2 + 2 z + a . особ2точкми явл нули знам z1,2 = − 1 \ a ± (1 \ a ) − 1 . Это полюсы первого порядка. Так как z1z2=1 то ясно чтолишь одна из этих точек лежит внутри круга |z|=1 как легко видеть, это точка z1 =− 1 \ a + (1 \ a 2 ) − 1поэтому в силу осн.трм.теор.выч[]I = 4πВыч 1 \ (az 2 + 2 z + a), z1 = 4π *1 \ a( z − z2 ) | z = z1 = 2π \ 1 − a 234Вычисление несобственных интегралов с бесконечными пределами с помощьювычетов.

Лемма и теорема.Лемма. Пусть ф-ция f(z) явля-ся анал. в верхн. полупл Im(z)>0 всюду за искл. конечн. числа изолирособых точек и существ. такие полож чила R0, M и δ что для всех точек верх полупл, удовл услов1+δ|z|>R0 имеет метсо | f ( z ) |< M \ | z |тогда| ∫ f (ς )dς |≤ ∫ | f (ς )ds |т.к.CC| ∫ f (ς )dς |≤ ∫ | f (ς )ds | <C'RC'Rlim ∫ f (ς )dς = 0R−>∞ C 'R(*) где С’R –полуокр-ть |z|>R, Imz>0; действит,где ds – дифф-л длины дуги кривой, и в силу усл леммы при R>R0 имеемM 2πR1+δR=2πMRδ⎯⎯⎯⎯→ 0R →∞что и доказывает лемму.Зам1 если усл леммы вып в сект φ1<z<φ2 то форм (*) имеет метсо при интегр по дуге С’R окр-ти, лежв дан сект.Зам2 Усл леммы очев будут вып, если f(z) явл-ся аналит в окр-ти беск удал точки и z=∞ - нуль нениже 2 пор ф-ции f(z).

Тогда f(z)=C-2/z2 + C-3/z3 +… = φ(z)/z2 причем |φ(z)|<M откуда и след| f ( z ) |< M \ | z |1+δ при δ=1Трм Пусть ф-ция f(x) заданная на всей действ оси м.б. аналит продолж на Imz ≥ 0 причем ее анал продf(z) удовл всем усл леммы и не имеет ос точек на дкйств оси. Тогда сущ несобст инт перв рода и+∞N∫ f ( x)dx = 2πi ∑ выч[ f ( z ), z k ](**)k =1=∞Д-во По усл трм функция f(z) в верхн полупл имеет кон чило осб точек zk причем | zk|<R0. рассм замкконт сост из отр оси [-R,R] (R>R0) и полуокр С’R |z|=R в верх полупл. В силу осн трм теор выч.R∫−RNf ( x)dx + ∫ f ( z ) dz = 2πi ∑ Выч[ f ( z ), z k ]C 'Rk =1т.к вып условия леммы то предел второго слаг при R→∞ равеннулю а прав часть при R>R0 от R не зав. Отсюда след, что пред перв слаг сущ и его знач опр-ся форм(**) Трм док! Трм имеет место когда f(x) анал прод, как в верх, так и в нижн полупл, главное, чтоб анпрод удовл усл леммы.35Лемма Жордана.

Пременение леммы Жордана к вычислению несобственныхинтегралов.Лемма Пусть функция f(z) явл-ся анал в верх полупл Imz>0 за искл кончен числа изолир особ точек иlim ∫ eR−>∞ C 'Rравном отн-но argz (0≤z≤π) стрем-ся к 0 при |z|→∞ тогда при a>0iaςf (ς )dς = 0(*) где C’R – дугаполуокр |z|=R в вех полупл.Док-во: Условие равном стремл f(z) к нулю означ что |z|=R имеет место |f(z)|<μR где μR→0 при R→∞с пом этого оч=ценим иссл интегр.

сделаем замену ζ=Reiφ и восп очев соотн sinφ≥2φ/π при 0≤φ≤π/2тогда∫eC'Rполучимπ /22μ R R ∫ e−2 aRϕπdϕ =0πaiaςππf (ς )dς ≤ μ R * R ∫ | eiaς | dϕ0μ R (1 − e − aR ) ⎯⎯⎯⎯→ 0R →∞π / 2 − aR sin ϕμ R * R ∫ e − aR sin ϕ dϕ = 2 μ R R=0∫ e0dϕ<что и доказ лемму. Зам Если a>0 а ф-ция f(z) удовл усл леммы Жв ниж полупл то формула (*) имеет место при интегр по дуге полуокр C’R в ниж полупл. Аналог утвимеют место (при a=±iα, α>0) при инт соотв в прав (Rez≥0) и лев (Rez≤0) полупл. док-ва пров-ся сованалогично. форма леммы Жорд при инт в прав.lim∫eR →∞ C ' R−αςf (ς )dς=0 α>0;Трм Пусть f(z) зад-я на всей действ оси м.б.

продолж на верх полупл Imz≥0 а ее анал продолж f(z) вверх полупл удовл усл леммы Жорд и не имеет ос точ на деств оси. Тогда сущ инт∞iax∫ e−∞nf ( x )dx = 2πi ∑ Выч[eiaz f ( z ), z k ] ,k =1a>0; где zk – особ точки f(z) в верх полупл.Д-во По усл трм zk удовл усл |zk|<R0 рассм в верх полупл замк контур сост из отр [-R, R] R>R0 и дугиC’R окр-ти |z|=R в верх полупл. По ос трм теор вычRniaxf ( x)dx + ∫ eiax f (ς )dς = 2πi ∑ Выч[eiax f ( z ), zk ]∫ ek =1−RC'RЖ предел второг слаг в лев части при R→∞ равен 0 отсюда и след утв трм.ЗамЕслиf(x)чет(нечет)иудовлуслтрм∞nniazf ( z ), z k ] = −π Im ∑ Выч[eiaz f ( z ), z k ]∫ f ( x ) cos axdx = π Re i ∑ Выч[ek =1k =10ПримерВычинтI=ReI1=Re∞e iαxdx∫22−∞ x + aI=∞ cosαxdx, a > 0,α > 0∫22−∞ x + aанал прод подинт ф-цииточку z1=ia, явл полсом 1 пор. Знач, I1=чтобыe i αzz2 + a2a>0тозаметимчтоn⎛∞⎞⎜ ∫ f ( x) sin axdx = π Re ∑ Выч[eiaz f ( z ), zk ] ⎟⎜⎟k =1⎝0⎠иметьвозмвосплемЖ,удовл усл трм и имеет в верх полупл ед осбneiazk =1z2 + a22πi ∑ Выч[ипо лемме, ia] = 2πie − aα π − aα= eотсюда I = ReI12iaa= (π/a)e-aα;36.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
610,5 Kb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов лекций

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6553
Авторов
на СтудИзбе
299
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее