Краткий конспект (1118436), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

доказали существование производной.ΔzΔz →0∃ limDef.: Аналитическая функция F(z) называется первообразной (или неопределённым интегралом) дляфункции f(z) в области G, если в этой области имеет место равенство: F'(z)=f(z).16Неопределенный интеграл. Теорема и определение. Формула Ньютона-Лейбница.Трм.: Пусть f(z) определена и непрерывна в односвязной области G, и интегралпо любому замкнутому контуру от этой функции f(z) равен нулю. ТогдаzФ(z)= ∫ f (ξ )dξфункция от z:z0является аналитической в области G, и её производнаяФ'(z) = f(z) (когда ставят значение верхнего предела).Док-во: Дадим приращение: z, z+Δz, и вычислимФ( z + Δz ) − Ф( z )Δz=1 z + Δz1 z∫ f (ξ )dξ −∫ f (ξ )dξ =Δz z0=Δz z01 z + Δz1 z1 z + Δz∫ f (ξ )dξ −∫ f (ξ )dξ =∫ f (ξ )dξΔz zΔz z0z1 z∫ f (ξ ) dξ +Δz z0Δz1 z + Δzf ( z ) z + Δz∫ f (ξ )dξ =∫ dξ = f ( z )Δz zΔz zОценим разность:1 z + ΔzФ( z + Δz ) − Ф( z )− f ( z) =∫ f (ξ ) − f ( z ) dξ =ΔzΔz z=1 z + Δz1maxf (ξ ) − f ( z ) Δz = 0,∫ f (ξ ) − f ( z ) dξ ≤Δz zΔz ξ ∈[ z,z + Δz]при Δz → 0А это значит, чтоФ(z + Δz) - Ф(z)∃ limΔz →0Δz= f ( z), т.е.

доказали существование производной.Определение: Аналитическая функция F(z) называется первообразной (или неопределённыминтегралом) для функции f(z) в области G, если в этой области имеет место равенство: F'(z)=f(z).Трм. (Формула Ньютона-Лейбница): Если функция f(z) – односвязная в аналитической области G,то у неё в этой области существует первообразная, и для любых точек z1 и z2 ∈ G имеет местоформула:z2∫z1f (ξ )dξ = Ф(z 2 ) − Ф(z1), где Ф(z) – одна из первообразных f(z).zДок-во: По трм.

интеграл по любому замкнутому контуру в G равен 0, значитF ( z ) = ∫ f (ξ )dξz0- являетсяпервообразной. Если F1(z) и F2(z) – различные первообразные для функции f(z), то F2(z) - F1(z) = constв G. Если рассмотреть функциюϕ ′ = U x + iVx ≡ 0 ⇒ U x ≡ Vx ≡ 0ϕ ( z) = F2 ( z ) − F1 ( z ) , то ϕ ′( z) = 0 в G. Пусть ϕ = U ( x, y)+ iV ( x, y) , тогда, но тогда U y = −Vx ≡ 0 и V y ≡ 0 .dU ( x, y ) ≡ 0 ⇒ U = C1 = constdV ( x, y ) ≡ 0 ⇒ V = C2 = constz2z1z∫ f (ξ ) dξ = ∫ f (ξ ) dξ − ∫ f (ξ ) dξ = F ( z2 ) − F ( z1 )z1z0z0. Любая другая первообразная отличается на константу C.Ф(z)=F(z)+C1;Ф(z2)- Ф(z1)=F(z2)+C1-F(z1)-C1= F(z2)-F(z1)17Формула Коши. Следствие. Формула среднего значения.Предположим, что функция f(x) задана в некоторой области G,ограниченной кусочногладким контуром Г.G = G + Г - замкнутая область.Тогда для любой точки z ∈ G имеет место формула Коши:f ( z) =∫Г ρ Cρf (ξ )1dξ∫2πi Г ξ − zДоказательство: Выберем произвольную точку z ∈ G и окружимее окружностью радиуса ρf (ξ )dξ = 0ξ −zf (ξ )f (ξ )11ξ − z = ρ e iϕdξ =dξ ==∫∫2πi Г ξ − z2πi Г ξ − z0 ≤ ϕ ≤ 2π==)(1 2π f z + ρe iϕρie iϕ dϕ =∫2πi 0ρe i ϕ12π()lim ∫ f z + eiϕ dϕ =2π ρ →0 01 2π∫2π 0f (z )dϕ = f (z )Принцип максимума модуляПусть G- связная область, ограниченная кусочногладким контуром Г.

f(z)- аналитическая в обл. G.Тогда максимум модуля f(z) либо принимается на границе, либо ф-я константа во всей области.Доказательство:f ( z ) ≤ M , M = max f ( z ) = f ( z0 ) , z0 ∈ Gf (z0 ) =f (ξ )1dξ , ξ = z + ρe iϕ∫2πi C + ξ − z 0ρf (z0 ) =iϕ1 2π f ( z 0 + ρe ) iϕiρ e dϕ∫2πi 0ρe iϕ(∀ϕ : x − δ ≤ ϕ ≤ x + δ ) : ⎛⎜⎝f ( z0 + ρeiϕ ) ≤ M .f ( z0 + ρeiϕ ) ≤ M − ε ⎞⎟⎠Возьмем точку z0i : f ( z0i ) = M и проведем окружность с центром в этой точке, целикомпринадлежащую обл. G. Тогда за конечное число шагов окр-ть коснется границы, т.е.

максимум фунии достигается на границе.18Аналитическая зависимость интеграла от параметра.( )Пусть дана функция f : G ⊂ C × C → C , и f (x, y, ξ , η ) . Или f z, t , где z = x + iy, t = ξ + iη .t ∈ F -кусочногладкая кривая.1) Пусть f (z, t ) -аналитическая в обл. G для ∀t ∈ Г .∂f (z, t )∂z- непрерывная по совокупности двух аргументов- (z , t ) ∈ G t∈ ГF (z ) = ∫ f (z , t )dtявляется аналитической функцией от z в обл. GГ/2) F ( z ) = Г∫∂f ( z , t )∂zdtДоказательство:Пустьf ( z, t ) = u (x, y, ξ , η ) + iv(x, y, ξ , η ) , F ( z ) = U ( x, y ) + iV ( x, y ) F ( z ) = ∫ (u + iv )(dξ + idη ) = ∫ (udξ − vdη ) + i (vdξ + udη )ГU ( x, y ) = ∫ udξ − vdηГГV ( x, y ) = ∫ vdξ + udηГПродифференцируем по x и y:U x/ = ∫ u x/ dξ − v x/ dηГV x/ = ∫ v x/ dξ + u x/ dηГU y/ = ∫ u /y dξ − v y/ dη V y/ = ∫ v /y dξ + u y/ dηГГ////Из условия Коши-Римана : U x = Vy , U y = −VxНайдем производную:()= ∫ u x/ + iv x/ (dξ + idη ) = ∫ГГF / ( z) =∂F ( z , t )∂z() ()∂U∂V+i= ∫ u x/ dξ − v x/ dη + i ∫ v x/ dξ + u x/ dη =∂x∂x ГГdt19Существование производных всех порядков аналитической функции.1) f(x)- непрерывная в замкнутой области G, и аналитическая.2) f(x) непрерывна вТогдаG =G+Гn!f (ξ )f (n) ( z ) =dξ∫2π i Г (ξ − z )n +1Причем ξ − z ≥ d > 0f (ξ )ξ − z -непрерывна по совокупности аргументов.Также можно написать, что⎛ f (ξ ) ⎞⎜⎟⎜ξ −z ⎟⎝⎠(n )=n! f (ξ )(ξ − z )n+1 .Доказательство: По формуле Коши Можно записать:f ( z) =f (ξ )1dξ∫2πi Г ξ − zДокажем, что имеет место равенствоf (ξ )1f / ( z) =dξ∫2πi Г (ξ − z )2u = 1 / (ξ − z ), du = − dξ / (ξ − z )2f / (ξ )1f / ( z) =dξ =∫2πi Г (ξ − z )v = f (ξ ), dv = f / (ξ )dξ∫Г()(==1f (ξ )dξ∫2πi Г (ξ − z )2)2π f / z + ρ e i ϕ2πf / (ξ )dξ = ∫ρ ie iϕ d ϕ = i ∫ f / z + ρ e iϕ d ϕϕi(ξ − z )o0ρef // (z ) =2!f (ξ )dξ∫2πi Г (ξ − z )3- по аналогии с предыдущим.f (ξ )n!f (n) ( z ) =dξ∫2π i Г (ξ − z )n +1Из существования первой производной в некоторой окрестности точки, следует существование n-йпроизводной!!!!Следствие:f (ξ )1⎪⎧ f (z ), если z ∈ Gdξ = ⎨∫⎪⎩0, если z ∉ G2πi Г ξ − z20Теорема Морера.

Теорема Лиувилля.Теорема Морера.1) Пусть f(z) – непрерывная в однозначной области G.()∃∫ f z по любому замкнутому контуру.2)Тогда f(z) является аналитической в области G.Доказательство:zF ( z ) = ∫ f (t )dtПустьz0/. Тогда получим, что F ( z ) = f ( z ) .В свою очередь можно взять вторую производную. Получим:∃F // ( z ) = f / ( z ) , т.е.

функция дифференцируема во всей областиG. Тогда функция является аналитической.Ч.т.д.Теорема Лиувилля.1)Дано, что f(z)- аналитическая функция на всей области G.2) f(z) ограниченная, т.е. (∃M > 0)(∀z ∈ C ) : f ( z ) ≤ MТогда f(z)=const.()Доказательство:Оценим по модулю:it2π Re e1RM11f (t ) dt≤2π =M ∫dt =Mf ( z) =∫22it222πR2πi C k (t − z )2πR0 R e/iϕТакой переход возможен, если принять: C k − окр − ть, t = z + Re .Теперь устремим R к бесконечности. Тогдаf / ( z ) = 0 ⇒ f ( z ) = const.21Ряды аналитических функций. 1 т-ма Вейерштрасса.1)Un(z) – аналитическая в односвязной области G (n=1,2…)2)Ряд∞→∑ U n ( z ) ⎯⎯→n =1Тогда: 1)(m)2)f (z)=3)∞∑ U n ( z)n =1в любой замкнутой подобласти области G=f(z) – аналитическая в области G∞( m)( z)∑U nn =1∞( m)( z)∑U nn =1→→ в любой замкнутой подобласти области GДоказательство:1)в любой замкнутой области ряд сходится равномерно, то f(z) – непрерывна, и, кроме того, т.к.сходится равномерно по любой замкнутой кривой Г, тогда ряд можно интегрировать∫∞∞f ( z )dz = ∫ ∑ U n ( z )dz = ∑ ∫ U n ( z )dz = 0Г n =1n =1 Г,т.к∫ U n ( z ) dz = 0ГПо теореме Морра f(z) – аналитическая.2)Возьмём точку z◦ЄGd – расстояние (конечно)z◦ЄG2ЄG2’ЄG1, тогда∞∑ U n (t ) =n =1f (t )→→ на G1Теперь поделим на (t-z)m+1, |t-z|≥d∞U n (t )∑n =1 (t − z ) m +1=f (t )(t − z ) m +1- ряд сходится равномерно на Г, тогда его можноинтегрировать почленно:∞ m!U n (t )f (t )m!dt = ∑dt∫∫2πi Г (t − z ) m+1n =1 2πi (t − z ) m +1mf (z)=∞( m)(z)∑U nn =13)Тогда получим предыдущий случай, т.к.

между двумя областями G и G2можно провести кривую G1 и разбить на 2 области22Определение степенного ряда. Теорема Абеля. Следствия.Определение:∞∑ Ck (zk =0− z ° ) k = C ° + C1 ( z − z ° ) + C 2 ( z − z ° ) 2 + ...Теорема Абеля: Если степенной ряд сходится в некоторой точке z◦, то этот ряд сходится абсолютнодля любого z, удовлетворяющего неравенству:|z- z◦|<|z1- z◦|, более того |z-z◦|≤p<|z1-z◦|Доказательство:| C n ( z − z ° ) n |=| C n ( z1 − z ° ) n | * |z − z° n| ≤ Mq nz1 − z °(1) - сходитсят.к.

в точке z1 ряд сходится, то| Cn (z − z° ) n ||z − z°z1 − z°|≤М=q<1, таким образом, неравенство (1) выполняетсяЕсли |z-z◦|≤p|z1-z◦|, тогдаz − z°z1 − z° ≤q1<q<1;q1 =p<q| z1 − z ° |; Тогда (для любого z: |z-z◦|≤p)- сходится. Значит, ряд сходится равномерно.Следствия:1)Если степенной ряд расходится в точке z1, то он расходится для любого z: |z-z◦|>|z1-z◦|.2)Для любого степенного ряда существует такое число R, что при |z-z◦|<R ряд сходится, а при |z-z◦|>R –расходится; R – радиус сходимости, |z-z◦| - круг сходимости.3)Внутри круга сходимости степенной ряд сходится к аналитической функции.4)степенной ряд внутри круга сходимости можно интегрировать и дифференцировать любое числораз.| С n ( z − z ° ) n |≤ Mq1 n5)коэффициенты степенного ряда Сk вычисляются по формуле:Ck =f (k ) ( z ° )k!(*)Доказательство: Продифференцировать ряд k раз:f(k)(z◦)=k!Ck+(k+1)!Ck+1(z-z◦)+…|z=z◦= k!Ck→(*)6)радиус сходимости R определяется по формуле:R=1l = limn | C n | приl , гдеn→∞Доказательство:lim n | Cn ( z − z° ) n | =| z − z° | *lim n | Cn | = l | z − z° |< 1| z − z° |<1l, тогда будет сходится, т.е.

это круг сходимости, т.е. это его радиус.23Теорема Тейлора.f(z) – аналитическая внутри круга | z − z° | <R может быть представлена в этом круге, как суммасходящегося степенного ряда∞f ( z ) = ∑ C n ( z − z° ) nn =0И этот ряд определён однозначно!f ( z) =1f ( z )dt∫2πi C p t − z (1)11111 ∞ z − z° k==*=) =∑ (zzt − z t − z ° − ( z − z° ) t − z ° 1 − − °t − z° k =0 t − z°t − z°∞= ∑k =0( z − z° ) k(t − z° ) k +1∞∞ f ( k ) ( z° )1f (t )dtk= ∑( z − z° ) k∫ ∑ ( z − z° ) *+k1k!(1)= 2πi C p k = 0k =0(t − z° )24Нули аналитической функции. Единственность определения аналитическойфункции.Если f(z)=(z-z◦)kφ(z) и φ(z◦)#0, то z◦ - называется нулём функции f(z) k порядка.

Характеристики

Список файлов лекций