Краткий конспект (1118436), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Если f(z) –аналитическая, то f(z)=C◦+C1(z- z◦)+…+Ck-1(z- z◦)k-1+Ck(z- z◦)k+…Теорема (о нулях):Если функция f(z) – аналитическая в G и имеет нули в точках z1, z2…zn… и f(zk)=0, zi#zj и существуетпредельная точка: lim zk=aЄG при k→к бесконечности (область G – связная), тогда f(z)=0 в G.Доказательство:lim f(zk)=f(a)=0→f(z)=(z-a)f1(z)f1(z)=0 во всех точках кроме, может быть, одной – a, тогда f1(zk)=0, и следовательно lim f1(zk)=0.Таким образом, С◦=0f(z)=(z-a)2f2(z)→C1=0Для f2(z) аналогично, как и для f1(z)Все коэффициенты обратятся в нуль.Теорема (о единственности):Пусть f(z) и g(z) – две аналитические в линейно связной и ограниченной области G функции.

Еслисуществует последовательность различных точек {zn}ЄG и таких, что lim zn=aЄG при n → ∞ иf(zk)=g(zk) в области G. Тогда f(z) тождественно равна g(z).Доказательство:φ(z)=f(z)-g(z) имеет в G последовательность {zn}=0 и aЄG, тогда φ(z)=0 по теореме о нулях→f(z)=g(z).Следствия:25Определение аналитического продолжения. Продолжение соотношений сдействительной оси. Полная аналитическая функция.Пусть f1(z) – аналитическая в области G1; f2(z) – аналитическая в области G2G1∩G2=G#0; f1(z)=f2(z) в Gf1(z) в G1Тогда F(z)= f2(z) в G2f1(z)=f2(z) в GF(z) – аналитическая в G1 объединение G2F(z) – аналитическое продолжение f1(z) в область G2 или f2(z) в область G1Определение:Пусть:1)f: [a,b]→R2)в GCC существует аналитическая функция f(z): G→C3)f(z) на [a,b] совпадает с f(x)Тогда f(z) называется аналитическим продолжением функции f(x)c[a,b] в области G.xe =∞ xn∑n = 0 n! ;ze =∞ ( −1) n x 2 n +1sin x = ∑n = 0 ( 2n + 1)!∞ zn∑n = 0 n!, ez – продолжение ex в С плоскость( −1) n z 2 n +1n = 0 ( 2 n + 1)! , sinz – продолжение sinx в С плоскость∞;sin z = ∑Теорема: Пусть F(W1,W2…Wn) – функция по n комплексным переменным и F являетсяаналитическим продолжением по каждой переменной Wi в области Di c C (i=1,n).

Кроме того,∂F∂Wi-непрерывно по совокупности переменных W1,W2…Wn в области D=D1*D2*…*Dn; [a,b]ЄD, тогда изсоотношения F(W1(x),W2(x)…Wn(x))=0 на [a,b]→ F(W1(z),W2(z)…Wn(z))=0 в области D.26Ряд Лорана. Область сходимости РЛ, Трм о разложении анал.ф-ции в РЛ.Ряд∞n∑ cn ( z − z 0 )n = −∞(Р1), где z0 – фикс. Точка компл. пл-ти, сn – нек. компл.числа, а суммир ведется пополож и по отриц числам индекса n, наз-ся рядом Лорана.Установим обл. сх-ти Р1, предст: Р1=часть обл-й сх-ти каждого из сл-х Р2.∞n∑ cn ( z − z 0 )n =0∞n∑ cn ( z − z 0 )n=0∞c− n+ ∑(Р2) Очев, что обл сх-ти Р1 – общ.n =1 ( z − z0 ) nэтоz − z0 < R1, R1 = 1 \ l1, l1 = lim n | cn | ;внутри этогоn− >∞круга, ряд сх-ся к нек.

анал.ф-ции к.п. f1(z). для опр-я ОС рядаς∞c− n∑n =1 ( z − z 0 ) nсделаем замену∞n= 1 /( z − z0 ) . Т.о. этот ряд примет вид ∑ c− nς т.о. это обыч. степ ряд, сх-ся внутри своего круга схn =1ϕ (ς ) =ти к ф-ции φ(ζ). Обозн-м РадиусС (РС) получ степ. ряда как 1/R2 тогда∞c− nf2 ( z) = ∑сь к старой перем. и полагая φ(ζ(z)) = f2(z) получимn =1 ( z − z0 ) n∞n∑ c− nς , | ς |< 1 \ R2n =1, | z − z0 |> R2Значит ОС. Возвр-∞c− n∑n =1 ( z − z0 ) n- внешняя обл. окр-ти | z − z0 |= R2 . Т.о. каждый из степ. рядов Р2 сх-ся в ОС к соот.

анал.ф-ции, еслиR2 < R1 то сущ общ ОС этих рядов – кольцо R2<|z-z0|<R1 в к-ром Р1 сх-ся к ан.в данн. кольце ф.f(z)=f1(z)+f2(z); если R2 > R1 то нет общ ОС и Р1 нигде не схся к ан.ф.Трм о разложении анал.ф-ции в РЛ. Ф-ция f(z), анал в R2<|z-z0|<R1 однозн предст в этом кольце схся РЛ.Д-во: Фикс.

произв. точку z внутри кольца и постр окр-ти СR’1 и СR’2, с центр в z0 и R2< R’2< R’1< R1 иf (ς )1f (ς )1R’2<|z-z0|<R’1 согл фор. Коши для многосв обл: f ( z ) = 2πi CR∫ '1 ς − z dς + 2πi CR∫ '2 ς − z dς ; на СR’1 вып-ся нервоz − z0≤ q <1ς − z0проведf1 ( z ) =1почлинтегр∞1f (ς )dς = ∑ cn ( z − z0 ) n ;∫2πi CR'1 ς − zn =0∞ ς − z0 n11=−)∑ (z − z0 n = 0 z − z 0ς−zc− n = −1поэтому предст-в ς − z как(можно,f (ς )1почл=111=*(ς − z0 ) − ( z − z0 ) (ς − z0 ) 1 − ( z − z0 ) \ (ς − z0 )вгде cn = 2πi CR∫ '1 (ς − zпосле1n −1dς , n ≥ 0∫ f (ς )(ς − z0 )2πi CR'2ς −z0)n +1силуdς , n ≥ 0равномсх-тит.к.

на СR’2 вып-сяинтегрирполучимz − z01ς − z0∞ z − z0 n)∑ (n = 0 ς − z0ряда)<1c− n =иполучимто анал-но имеем∞f (ς )1dς = ∑ c− n \ ( z − z0 ) n∫2πi CR '2 ς − zn =1f2 ( z) =изм-в напр. инт. в посл. форм имеемς − z0=где1f (ς )dς , n > 0∫;2πi CR '2 (ς − z0 ) − n +1заметим, что подинт ф-ции в выр для n и –n анал. в R2<|z-z0|<R1 поэтому в силу трм Коши знач соотвинтегр не изм-ся при произв деформ контуров инт в обл анал-ти подинт ф-ций, тогда объединимcn =1f (ς )dς , n = ±1,±2...∫2πi C (ς − z0 ) n +1мы имеемгде С – произв замк конт, леж в R2<|z-z0|<R1 и сод z0 внутри.

Итак, тогда∞∞n=0n =1f ( z ) = ∑ c n ( z − z 0 ) n + ∑ c− n \ ( z − z 0 ) n=∞f ( z ) = ∑ cn ( z − z 0 ) nn = −∞т.к. z-произв точка внутри кольца R2<|z-z0|<R1 имеем что этот ряд сх-ся к f(z) всюду внутри данн кольца, причем в замк кольце R2< R2 ≤ |z-z0|≤ R1 <R1 ряд сх-ся равном. остается док-ть единст-ть разл-я. Предп-м есть другое разл∞f ( z ) = ∑ c'n ( z − z0 ) nn = −∞гдехотябыодинс’n≠cnтогдавсюдувнутрикольцаимеем27∞∞nn∑ c n ( z − z 0 ) = ∑ c 'n ( z − z 0 )n = −∞n = −∞проведем СR c центром в z0 b R2<R<R1 ряды сх-ся на СR равн. Умножим их на(z-z0)-m-1 где m фикс цел и проинт почл.∫ ( z − z0 )CRn − m −1dz= {z-zo=Reiφ }=2π⎧⎪0, n ≠ mR n − mi ∫ e i ( n − m)ϕ dϕ = ⎨⎪⎩2πi, n = m0cучетом этого видно, что после указ интегр этих рядов, отл от нуля будут по одн.

слаг в лев и правчастях, отсюда с’m=cm, а т.к. m- произв, это доказ единств. разл-я. Трм. док!28Разложение в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.Бесконечно удаленная точка комплексной плоскости является изолированной особой точкойоднозначной аналитической функции f(z), если можно указать такое значение R,что вне круга |z|>Rфункция f(z) не имеет особых точек, находящихся на конечном расстоянии от точки z=0.+∞nРазложение: f (z ) = n =∑−∞cn z , R < z < ∞Классификация:1.точка z=∞ называется устранимой особой точкой функции f(z), если разложение несодержит членов с положительными степенями.2.точка z=∞ называется полюсом порядка m функции f(z), если разложение содержитконечное число m членов с положительными степенями.3.точка z=∞ называется существенно особой точкой функции f(z), если разложение содержитбесконечное число членов с положительными степенями.29Классификация изолированных особых точек.Определение: Точка z0 называется изолированной особой точкой функции f(z), если f(z)–однозначнаяи аналитическая в круговом кольце 0<|z-z0|<R, а точка z0 является особой точкой функции f(z).Классификация:1.точка z=z0 называется устранимой особой точкой функции f(z), если разложение несодержит членов с отрицательными степенями.2.точка z=z0 называется полюсом порядка m функции f(z), если разложение содержитконечное число m членов с отрицательными степенями.3.точка z=z0 называется существенно особой точкой функции f(z), если разложениесодержит бесконечное число членов с отрицательными степенями.Теорема.

Если точка z0 является устранимой особой точкой аналитической функции f(z), то сущ.lim f ( z ) = c0предельное значениеz → z0, причем |c0|<∞.Д-во. Т. к. z0 является устранимой особой точка, то∞f ( z ) = ∑ cn ( z − z0 ) nn =0. Следовательноlim f ( z ) = c0z → z0.Теорема. Если точка z0 является полюсом аналитической функции f(z), то при z→z0 модуль функцииf(z) неограниченно возрастает независимо от способа стремления.Д-во.

Пусть z0 полюс порядка m, тогдаf ( z) =c− m( z − z0 )m+ ... +c−1z − z0{∞}+ ∑ cn ( z − z0 )n = ( z − z0 )− m c− m + c− m +1( z − z0 ) + ... + c−1( z − z0 ) m −1 +n =0∞∞+ ∑ cn ( z − z0 ) n = ( z − z0 ) − m ϕ ( z ) + ∑ cn ( z − z0 ) n. (1)n =0n =0ϕ(z), очевидно, является ограниченной аналитической функцией в окрестности точки z0. Изпредставления (1) следует, что при z→z0 модуль функции f(z) неограниченно возрастает независимоот способа стремления.Теорема. Каково бы ни было ε>0, в любой окрестности существенно особой точки z0 функции f(z)найдется хотя бы одна точка z1, в которой значение функции f(z) отличается от произвольногозаданного комплексного числа B меньше чем на εД-во.

Предположим, что теорема неверна, т.е. найдется такое η>0, что|f(z)-B|>ε, при |z-z0|<η.(1)Рассмотрим вспомогательную функциюφ ( z) =1f ( z) − B. В силу (1) функция φ(z) определена и ограниченав η–окрестности точки z0. Следовательно, точка z0 является устранимой особой точкой функции φ (z).Это означает, чтоφ ( z ) = ( z − z0 )−mϕ ( z ), ϕ ( z0 ) ≠ 0.Тогда в силу определения функции φ (z), в данной окрестности точки z0 имеет место следующиеразложение функции f(z):f ( z ) = ( z − z0 ) − m ϕ ( z ) + B ,(2)где аналитическая функцияϕ ( z) =1ϕ ( z)ограничена в η–окрестности точки z0.

Но разложение (2)означает, что точка z0 является полюсом порядка m, или при m=0 правильной точкой функции f(z), чтопротиворечит условию теоремы.30Предельные свойства изолированных особых точек. Связь полюсов и нулей.Теор: Если z0 – устранимая особая точка то ∃lim f(z)=c0 при zÆz0 и наобаротДок-воПусть f(z) – ограниченаCn =iϕiϕ11f (t )dt2π f ( z0 + ρe )iρe=dϕ∫∫0=(*)2πi cR ' (t − z0 ) n +1 2πiρ n +1ei ( n +1)ϕсделаем замену t-z0=ρeiϕ |f(z)|≤M| cn |≤1MiM 2π =2πρnЕсли n- отрицательное то ρ переходит в числитель, то все отрицательные коэффициенты |Cn|=0 при n=1, -2, …Второй случай:+∞f ( z ) = ∑ Ck ( z − z 0 )kk = −n|C-n|≠0 в этом случае точка – полюс n-го порядка.Теор(О связи нулей и полюсов)Для того, чтобы функция f(z) имела в точке z=z0 полюс n-го порядка необходимо и достаточно чтобыфункция 1/ f(z) имела в точке z0 ноль n-го порядка.Док-во: Необход: Предположим что в точке z0 полюс n-го порядка тогдаf ( z) =1ϕ ( z)(C− n + C− n +1 ( z − z0 ) + ...) =( z − z0 )( z − z0 ) n1= ( z − z0 ) nψ ( z )ϕ(z0) ≠0 тогда f ( z )где ψ(z)=1/ϕ(z)так как ϕ(z0) ≠0 Æψ(z0) ≠0 и ψ(z) – аналитическая в окрестности точки (z0)ϕ ( z)Достат: Если 1/f(z) имеет ноль n-го порядка то она представима в виде ( z − z0 ) n .

Характеристики

Список файлов лекций