Краткий конспект (1118436), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Утверждается, что мнимаячасть этой аналитической функции определяется до постоянного слагаемогоДок-во: f1 ( z ) = U ( x, y ) + iV1 ( x, y )f 2 ( z ) = U ( x, y ) + iV2 ( x, y )dV1( x, y ) =∂V1∂xdx +dV2 ( x, y ) = −∂V1∂U∂y∂ydy = −dx +∂U∂x∂U∂ydx +∂U∂xdydyd (V1( x, y) − V2 ( x, y)) = 0V1 ( x, y) − V2 ( x, y) = const , ч.т.д.5) Пусть в области G задана аналитическая функция f ( z ) = U ( x, y) + iV ( x, y) , (x,y)∈G.
Тогда линииU ( x, y ) = С1 и V ( x, y) = С2 , называющиеся линиями уровня, ортогональны.Док-во:⎛ ∂U ∂UgradU = ⎜⎜;⎝ ∂x ∂y⎞⎟⎟⎠⎛ ∂V ∂V ⎞⎟gradV = ⎜⎜;⎟⎝ ∂x ∂y ⎠( gradU , gradV ) = U xV y + U yV y = U xVx − U xVx = 0, gradU ⊥ gradV → линии уровня ортогональны.7Геометрический смысл производной функции комплексного переменного.Свойства сохранения углов и постоянства растяжения.Пусть задана аналитическая функция W=f(z). Имеются две системы координат:В области G проводим гладкую кривую γ1 и соответственно ей Г1 – в области f(G). Запишемiαпроизводную: f ′( z0 ) = ke , где k = f ′( z0 ) , α − аргумент .f ′( z0 ) = keiα = limΔW ( z0 )Δz →0ΔW ( z0 )ΔzargΔW ( z 0 )ΔzΔz=k≠0= arg ΔW − arg Δz = α⎧⎪arg ΔW1 =Ф1Если ⎨⎪⎩arg Δz1 = ϕ1 то получаем Ф1 − ϕ1 = α .Берём аналогично γ2 и Г2:⎧⎪arg ΔW2 =Ф 2⎨⎪⎩arg Δz2 = ϕ 2и Ф1 − ϕ1 = α .Получаем Ф2 −Ф1 = ϕ2 − ϕ1 .
Т.е. при отображении аналитических функций с отличными от нуляпроизводными углы между прямыми и их отображения равны по величине и направлению.Отображение длинΔWΔzтакже сохраняется (растяжение / сжатие).Т.е. получили, что отображение обладает свойствами.1) сохранение углов2) постоянство растяжения ( f ′(z ) - коэффициент растяжения / сжатия).8Определение конформного отображения.наОпределение: Взаимно-однозначное отображение f : G ⎯⎯→ f (G) называется конформным, если онообладает свойствами:1) сохранение углов2) постоянство растяжения9Круговое свойство дробно-линейной функции.
Отображение верхнейполуплоскости на единичный круг.Дробно-линейная функцияW =az + bcz + d,ac≠bdТрм.: Круговое свойство дробно линейного отображения.При дробно-линейном отображении окружность и прямая переходят либо в окружность, либо впрямую: окр./прямая в плоскости (z) -> окр./прямая в плоскости (W).Док-во: 1) Отображение W = Az + B представляет собой параллельный перенос / растяжение(+поворот). При нём окружность -> в окружность; прямая -> в прямую.A = a1 + ia2z = x + iy;B = b1 + ib2W = U + iV;W1 = Az;W2 = W1+B – параллельный перенос.2) W1 = U1 + V1;A = A ei arg A , z = z ei arg z , тогда W1 = W1 ei arg W1 = U1 + iV1 = A z ei arg A+i arg z =>W1 = A z- растяжение; argW1 = arg A + arg z - поворот;U 2 + iV2 = U1 + iV1 + b1 + ib22)adcW== +cz + dccz + daz + bab−;⎧⎪U 2 = U1 + b2⎨⎪⎩V2 = V1 + b2W1 = cz + d ; W2 =1W1;W=ac⎛ad ⎞⎟W1+ ⎜⎜ b −c ⎟⎠⎝Рассмотрим W = 1/z.22(1) A( x + y ) + Bx + Cy + D = 0 - окружность в комплексной плоскости.
(A,B,C,D ∈ R);Azz + B ( z + z ) +A1WWA++C(z − z) + D = 02i11B 1C 1( + )+( − )+ D=02 W W2i W WBC(W + W ) + (W − W ) + DWW = 022i22(2) A + BU − CV + D (U + V ) = 0Итого получили переход из (1) в (2) – окружность.Пример 2: Отображение верхней полуплоскости на единичный круг.Берём произвольное b (Imb > 0) и переводим её в ноль. ТогдаW = e iαb a∞,W1 =z −bz −b; более общее:z−bz − b , Im(b) > 0, α – любое.10Отображения, осуществляемые элементарными функциями.1.
w=ez.Найдем область однолистности: пусть z1≠z2 и z=x+iy , тогда из того, чтоez1=ez2 ⇒ ex1 eiy1=ex2 eiy2, следовательно ex1=ex2 ⇒ x1=x2 и eiy1=eiy2= eiy1+2kπI⇒ y2=y1+2kπ ⇒ y2-y1=2kπ. Как видно полоса ограниченная прямыми y=0и y=2π перейдет в полную плоскость w, а сами эти прямые будутотображаться на положительную часть действительной оси плоскости w.Итак, показательная функция ez производит взаимно однозначноеотображение полосы 0≤y≤2π плоскости z на полную плоскость w,разрезанную по положительной части действительной оси.Показательная функция w=ez производит отображение прямой y=y0плоскости z на луч arg(w)=y0 плоскости w. Кроме того данная функцияпереводит прямую x=x0 плоскости z в окружность u2+v2=e2x0 радиуса ex0плоскости w.2. w=Ln z=ln|z|+(arg(z)+2kπ)i – можно перевести в полосу шириной 2π.3.
w=z2.Найдем область однолистности: пусть z1≠z2, тогда z12-z22=0 ⇒ (z1-z2)(z1+z2)=0 ⇒ z1+z2=0, следовательно точкам z и –z, аргументы которыхотличаются на π, а модули равны соответствует одно и то же значение w. Если представить z и w впоказательной форме, т.е. z=|z|ei arg(z), w=|z|2ei2 arg(z) , то видно, что верхняя полуплоскость (Im(z) > 0)переходит в полную плоскость w. Но границы области, лучи ϕ=0 и ϕ=π переходят в положительнуючасть действительной оси w. Следовательно при Im(z) > 0 и 0≤ϕ≤π полуплоскость z переходит вполную плоскость w в разрезом по действительной оси.4.
w=z1/2. – аналогично 3). Т.е. первая ветвь функции w=z1/2 (0<arg(w)< 2π) производит отображениеплоскости с разрезом на верхнюю полуплоскость z, а вторая (2π<arg(w)<4π) – на нижнююполуплоскость.5. Функция Жуковского: w=1/2(z+1/z).Найдем область однолистности: z1+1/z1= z2+1/z2 ⇒ z1z2=1, значит областями однолистности являютсяобласти внутри круга (|z|<1) и вне круга (|z|>1) единичного радиуса. Найдем отображение окружностиz=ρeiϕ осуществляемое функцией Жуковского. Для действительной части функции имеем:u2v2u=1/2(ρ+1/ρ) cos(ϕ), а для мнимой – v=1/2(ρ-1/ρ) sin(ϕ).
При ρ=const : (1 / 2 ( ρ + 1 / ρ ) )2 + (1 / 2 ( ρ − 1 / ρ ) )2 = 1 это эллипс с фокусами c=±1, при ρ→1 эллипс вырождается в отрезок [-1;1], проходимый дважды. Приϕ=const :6.u22cos ϕ−v2sin 2 ϕ=1- гипербола с фокусами ±1.cos(z)=cos(x+iy)=cos(x)cos(iy)-sin(x)sin(iy)=cos(x)ch(y)-isin(x)sh(y).функция cos(z) отображает в ветвь гиперболы:u2cos2x−v2sin 2 x=1Прямуюx=const. Функция cos(z) осуществляетвзаимно однозначное отображение полосы 0≤x≤2π на полную плоскость w с разрезами по лучамдействительной оси [1,∞] и [-∞,-1]. При y=const :u2ch 2 y+v2sh 2 y=1- эллипс с фокусами ±1.11Основная задача конформных отображений.
Теоремы Римана.Теорема Римана: заданы области G и G∗. Предполагается, что G и G∗ односвязные и границы, каждойиз областей, состоят более чем их одной точки. Точка z0∈G, w0∈G∗ и α∈R – любое число. Тогда ∃!конформное отображение w = f(z), которое отображает G→G∗ и для которого: 1) w0 = f(z0); 2) argf′(z0)=α.2-я формулировка: всякую односвязную область G в плоскости z, граница которой состоит более чемиз одной точки может быть отображена конформно на внутренность круга R=1 с центром в началекоординат, который расположен в области w.12Определение интеграла от функции комплексного переменного. Теорема овычислении интеграла.Определение: рассмотрим кривую с в плоскости (z).
Ипусть на с задана функция f(z) ∀z∈C. с: z=z(t), где α≤t≤β.Произведем разбиение этой прямой α=t0<t1<…<tn=β ипусть M0=z(t0), M1=z(t1),…,Mn=z(tn). И через точкиM0,…,Mn составим ломанную. Пусть ξk принадлежитотрезку [zk-1,zk]. И составим предел следующей суммыnlim ∑ f (ξ k ) ⋅ Δz kλ → 0 k =1, где Δzk = zk-zk-1, λ = max(|Δzk|) (k=1,…,n).Если данный предел существует независимо от выбораразбиения, то этот предел называют интегралом от f покривой f(z)nlim ∑ f (ξ k ) Δz k = ∫ f ( z ) dzλ → 0 k =1AB.Теорема: пусть с – кусочно-гладкая кривая, а f(z)=u(x,y)+iv(x,y) – кусочно-непрерывная на этойкривой функция, тоДоказательство:∃ ∫ f ( z )dz = ∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udyABAB.ABnn∑ f (ξ k ) Δz k = ∑ (u (ξ k ) + iv(ξ k ))(Δxk + iΔyk ) =k =1k =1nn= ∑ u (ξ k )Δxk − v(ξ k )Δyk + i ∑ v(ξ k ) Δxk + u (ξ k )Δyk4244443 k =1 14444244443k =1 1444(1)( 2)где ξk = ηk + iζk, u(ξk) = u(ηk,ζk), и (1) –интегральная сумма для первого криволинейного интеграла, (2) – для второго интеграла.∫ f ( z ) dzAB= ∫ (u ( x, y ) + iv( x, y ))(dx + idy ) = ∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udyABABAB.13Свойства интеграла от функции комплексного переменного.c+ - обход контура в прямом направлении, с- - в противоположном.1°.∫ f ( z )dzc−2°.∀с1,с2:3°.
∀α∈C:= − ∫ f ( z )dzc+∫ f ( z )dz = ∫ f ( z )dz + ∫ f ( z )dzc1 + c2c1c2∫ αf ( z ) dz = α ∫ f ( z ) dzcc∫ ( f1 ( z ) ± f 2 ( z )) dz = ∫ f1 ( z ) dz ± ∫ f 2 ( z ) dzcc4°. c5°. Если функция ограничена на кривой, т.е. |f(z)|≤M (∀z∈C) и l – длина кривой, тоn∑ f (ξ k ) Δz kk =16°.z∫ dz =z0∫cf ( z )dz ≤ Ml, т.к.n≤ M ∑ Δz k ≤ Mlk =1z − z07°. Если с – гладкая, т.е. z=z(t) имеет непрерывную производную, то∫ f ( z )dzABβ= ∫ f ( z (t )) z′(t )dtα, где α≤t≤β,z(α)=A, z(β)=B.14Теорема Коши для односвязной и многосвязной областей.Теорема Коши для односвязной области: если f(z) является аналитической функцией в односвязнойобласти G ограниченной кусочно-гладким контуром си f(z) непрерывна в замкнутой области G, то∫ f ( z ) dz = 0c.Доказательство:∂v ∂u− )dxdy +∫ f ( z )dz = ∫ udx − vdy + i ∫ vdx + udy = ∫∫ (−cccD ∂x ∂y∂u ∂v+ i ∫∫ ( − )dxdy = 0D ∂x ∂yт.к.(−∂v ∂u∂u ∂v−)=0и ( ∂x − ∂y ) = 0 по условию Коши∂x ∂yРимана.Теорема Коши для многосвязной области: пусть f(z) аналитическая функция в многосвязнойобласти G ограниченной кусочно-гладким контуром с и f(z) непрерывна в замкнутой области, тогда∫ f ( z ) dz = 0c.Доказательство: проведем гладкие кривые l1,…,ln, соединяющие внешний контур C0 с контурамиC1,…Cn, тогда область ограниченная кривыми и C0,…Cn кривыми l1,…,ln, проходимыми дважды впротивоположных направлениях, оказывается односвязной.
Тогда по первой теореме∫ f ( z )dz + ∫ f ( z )dz + ... + ∫ f ( z )dz = 0C0+C1−Cn−(интегралы по вспомогательным кривым l1,…,ln не влияют на конечныйинтеграл).Следствие:∫ f ( z )dz = ∫ f ( z )dzC1C215Первообразная аналитической функции (теорема и определение).Трм.: Пусть f(z) определена и непрерывна в односвязной области G, иинтеграл по любому замкнутому контуру от этой функции f(z) равен нулю.Тогда функция от z:zФ(z)= ∫ f (ξ )dξz0является аналитической в области G, и еёпроизводная Ф'(z) = f(z) (когда ставят значение верхнего предела).Док-во: Дадим приращение: z, z+Δz, и вычислимФ( z + Δz ) − Ф( z )Δz=1 z∫Δz z0f (ξ )dξ +=1 z + Δz1 z∫ f (ξ )dξ −∫ f (ξ )dξ =Δz z0Δz z01 z + Δz1 z1 z + Δz∫ f (ξ )dξ −∫ f (ξ )dξ =∫ f (ξ )dξzz zΔΔzz0Δz1 z + Δzf ( z ) z + Δz∫ f (ξ )dξ =∫ dξ = f ( z )Δz zΔz zОценим разность:Ф( z + Δz ) − Ф( z )1 z + Δz− f ( z) =∫ f (ξ ) − f ( z ) dξ =ΔzΔz z=1 z + Δz1f (ξ ) − f ( z ) Δz = 0,max∫ f (ξ ) − f ( z ) dξ ≤Δz zΔz ξ ∈[ z,z + Δz ]при Δz → 0А это значит, чтоФ(z + Δz) - Ф(z)= f ( z), т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
