С.А. Теляковский - Конспект лекций по математическому анализу (1118255), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Определение. Ротором или вихрем векторного поля a называется векторное поле rot a : E3 → E3 , определённое по правилу ijk ∂∂∂ rot a := [∇, a] = ∂x ∂y∂z = (Ry − Qz , Pz − Rx , Qx − Py ) .PQ RЕсли rot a ≡ 0, то поле называется безвихревым.Замечание. Формально ротор зависит от системы координат. На самом деле такой зависимости нет, и мыэто докажем позднее, когда выясним геометрический смысл ротора.Теорема 2.2. Достаточно гладкие потенциальные векторные поля обладают нулевым ротором.
Если поле имеет потенциал V , то Qx − Py = Vxy − Vyx = 0, поскольку в условиях гладкости смешанныечастные производные равны между собой. Аналогично доказывается и про остальные компоненты. 17182.2.3. Гладкие поверхности и поверхностные интегралыПример 2.1. Покажем, что условие равенства ротора нулю не является достаточным. Иными словами,yxсуществуют непотенциальные поля с нулевым ротором. Рассмотрим P (x, y, z) = − x2 +y2 , Q(x, y, z) = x2 +y 2 , а2222−xy −xR = 0.
Пусть G = E2 r {0}. Тогда Py = (xy2 +y2 )2 , Qx = (x2 +y 2 )2 , поэтому Qx − Py = 0, а остальные компонентыавтоматически равны 0, поэтому rot a = 0. Рассмотрим верхнюю половинку S+ окружности x = cos ϕ, y = sin ϕ,RRπϕ ∈ [0, π]. Тогда (P dx + Q dy) = (− sin ϕ)(− sin ϕ) + (cos ϕ)(cos ϕ) dϕ = π. Если теперь посчитать интеграл0S+по нижней половинке окружности S− , получится −π, поскольку эта дуга параметризуется отрезком ϕ ∈ [0, −π],причём порядок точек именно такой! Таким образом, поле a не потенциально.Изучим поведение интегралов второго рода по замкнутым кривым в этом поле. Пусть кривая Γ ограничиваетобласть G, тогда рассмотрим несколько случаев:RR1◦ .
Пусть (0, 0) ∈/ G, тогда применима формула Грина, и (P dx + Q dy) = (Qx − Py ) dx dy = 0.ΓG2◦ . Пусть G — окружность c центром (0, 0), а кривая Γ пробегает по этой окружности n раз в одном и том женаправлении. Тривиальныйподсчёт, подобный тому, что мы проводили, когда доказывали непотенциальность,Rприводит к результату = 2πn.Γy3◦ . Пусть G — произвольная область, содержащая (0, 0).
Опишем околонуля окружность, целиком лежащую в G, и разделим область на фрагментыG1ΓG1 , G2 и D, как показано на рисунке. Легко видеть, что интеграл по кривойSΓ можно будет представить в виде суммы трёх интегралов: поΓ:=∂G,по11RRDΓ2 := ∂G2 и по S = ∂D.
Поскольку (0, 0) ∈/ G1 , G2 , имеем= 0,= 0, аxΓ1Γ2R= 2π. Можно рассмотреть несколько оборотов вокруг особой точки, тогдаG2SRполучим = 2πn.SЗамечание. Функция V (x, y) = arctg xy годится для областей x > 0 и x < 0, поскольку если её продифференцировать, то получатся как раз компоненты P и Q векторного поля, рассмотренного в примере. Но посколькуэта функция вообще не определена при x = 0, потенциалом поля на E2 r {0} она не является.Теорема 2.3.
Пусть G — открытый прямоугольник (возможно, неограниченный) со сторонами, параллельными системе координат. Тогда любое гладкое векторное поле a в G с нулевым ротором потенциально. Рассмотрим A(x0 , y0 , z0 ), B(x, y, z) ∈ G и соединим их кусочно гладким путём, состоящим из трёх отрезков, параллельных системе координат: ΓAB = (x0 , y0 , z0 ) . .
. (x, y0 , z0 ) . . . (x, y, z0 ) . . . (x, y, z). Несложно видеть,что указанный путь целиком лежит в области G. Покажем, что искомым потенциалом будет функцияV (B) :=Z(a, ds) =ZxP (u, y0 , z0 ) du +x0ΓABZyy0Q(x, v, z0 ) dv +ZzR(x, y, w) dw.z0В силу непрерывности поля, можно дифференцировать под знаком интеграла, тогда Vx = P (x, y0 , z0 ) +Rz+ Qx (x, v, z0 ) dv+ Rx (x, y, w) dw. Если ротор нулевой, то Ry = Qz , Pz = Rx и Qx = Py .
Тогда Vx = P (x, y0 , z0 )+Ryy0Ry+y0z0Py (x, v, z0 ) dv +Rzz0Pz (x, y, w) dw =ФНЛ= P (x, y0 , z0 ) + P (x, y, z0 ) − P (x, y0 , z0 ) + P (x, y, z) − P (x, y, z0 ).Аналогично проверяется, что Vy = Q(x, y, z) и Vz = R(x, y, z). Тем самым, построен потенциал для поля a. 2.2.3. Гладкие поверхности и поверхностные интегралыОпределение. Скажем, что в E3 задана гладкая поверхность, если задана функция r : Ω(u, v) → E3 (x, y, z),причём r ∈ C1 (Ω), и векторы ru и rv не коллинеарны.
Последнее условие можно записать так: [ru , rv ] 6= 0.Действительно, модуль векторного произведения [a, b] — это площадь параллелограмма, натянутого на вектораa и b, поэтому если они коллинеарны, то оно нулевое.Поверхности можно задавать и другими способами. Например, если z = f (x,то её y) — гладкая функция,график будет гладкой поверхностью в E3 . Действительно, имеем rx = 1, 0, fx и ry = 0, 1, fy , поэтому этивектора не могут быть коллинеарными. Кроме того, если функция задана неявно гладким уравнением видаF (x, y, z) = 0, но его можно разрешить относительно одной из переменных, то локально это уравнение такжебудет задавать гладкую поверхность.Вернёмся к общему определению и посмотрим, что даёт условие неколлинеарности. Распишем векторное18192.2.4.
Площади поверхностейпроизведение: ixuxvjyuyvk zu = (∆yz , ∆zx , ∆xy ) ,zv ∆yz :=∂(y, z)∂(z, x)∂(x, y), ∆zx :=, ∆xy :=.∂(u, v)∂(u, v)∂(u, v)(1)Если этот вектор ненулевой, то хотя бы одна из его компонент ненулевая. Пусть, для определённости, ∆xy 6=0, тогда по теореме о системе неявных функций,можно выразить u, v через x, y: u = u(x, y), v = v(x, y).Следовательно, z = z(u, v) = z u(x, y), v(x, y) = f (x, y). Таким образом, все три способа локально эквивалентны.Рассмотрим замену переменных для параметров, задающих поверхность. Пусть(x = x(u, v),u = u(s, t),y = y(u, v),v = v(s, t).z = z(u, v),Дифференцируя сложную функцию, получаем∂(z,x)∂(s,t)∂(x,y)∂(s,t)∂(u,v)∂(s,t) .∂(u,v)∂(y,z)∂(s,t) .
Аналогично получаем ∂(s,t)[rs , rt ] = ∂(u,v)∂(s,t) [ru , rv ]. Таким образом,= ∆xy ·= ∆yz ·∂(u,v)∂(s,t)и= ∆zx ·Используя соотношение (1), получаемесли мы хотим,чтобы замена сохраняла регулярность поверхности, необходимо требовать невырожденности матрицы Якобизамены координат, что вполне естественно.Зафиксируем один из параметров v = v0 , а второй параметр u будем менять. Тогда на поверхности получитсягладкая кривая с касательным вектором ru (u, v0 ). Эта кривая называется u-линией. Аналогично определяютсяv-линии на поверхности.
Рассмотрим касательные вектора ru и rv . Они, очевидно, лежат в касательной к поверхности плоскости, поскольку иначе мы получили бы противоречие с близостью точек касательной плоскостии поверхности. Поскольку они не коллинеарны, они образуют базис касательной плоскости.Будем считать, что функции, задающие поверхность, можно непрерывно продолжить на Cl Ω.Определение. Если r(∂Ω) является кусочно-гладкой кривой, то мы будем называть такую поверхностьгладким куском. Если поверхность может быть разбита на конечное число гладких кусков, то мы будем называтьеё кусочно-гладкой.2.2.4. Площади поверхностейПусть поверхность S задана функцией z = f (x, y) в измеримойобласти Ω. Рассмотрим разбиение Ω = Ω1 ⊕⊕ . . .
⊕ ΩN . Пусть (xi , yi ) ∈ Ωi , тогда Qi := xi , yi , f (xi , yi ) ∈ S. Пусть Li := TQi S — касательная плоскость вточке Qi к поверхности S, а li — тот её кусок, который проецируется на Ωi . Будем называть эти куски чешуйками.Поскольку «в малом» касательная плоскость совпадает с поверхностью, а разбиение можно считать достаточномелким, естественно было бы назвать площадью поверхности предел сумм площадей этих чешуек, если онсуществует. Формализуем это понятие.Обозначим λ := cos ∠(n, k), где n — вектор нормали к поверхности в точке Qi . Из геометрических соображений ясно, что если Ωi — прямоугольник, то µ(Ωi ) = λ · µ(li ). Если же Ωi не является прямоугольником, то, всилу измеримости, его всегда можно приблизить сколь угодно точно наборами прямоугольников.
Дефект можетвнести только граница, но µ(∂Ωi ) = 0, поэтому она не навредит. Итак, соотношение µ(Ωi ) = λ · µ(li ) верно дляпроизвольных измеримых множеств.Найдём коэффициент λ. Пусть F (x, y, z) = f (x, y) − z, тогда нормаль может быть записана как n = grad F == (fx , fy , −1). Поскольку нам нужны значения λ в точках (xi , yi ), не будем для краткости записи писать ар√ 2 1 2 . Таким образом, получаем формулу µ(li ) =гументы у частных производных. Имеем λ = |(n,k)||n|·|k| =fx +fy +1q22= fx + fy + 1 · µ(Ωi ). Из этих слагаемых естественным образом составляется интегральная сумма Римана, имы приходим к формуле площади гладкой поверхности:Z qarea(S) =fx2 + fy2 + 1 dx dy.ΩРассмотрим теперь общий случай, когда поверхность задана параметрически.
Как уже было выяснено впредыдущем разделе, без ограничения общности можно считать, чтоx = x(u, v), y = y(u, v), z = z x(u, v), y(u, v) .Чтобы выразить из этих соотношений zx , zy , продифференцируем z как сложную функцию по u и v. Получимсистему линейных уравнений zuxu yuzx=.zvxv yvzy19202.2.5. Поверхностный интеграл первого родаМатрица этой системы — в точности матрица Якоби, а она в данном случае невырождена.
Решая систему поправилу Крамера, находим∆xz∆zy, zy =.zx =∆xy∆xyПусть Ω(x, y) ↔ G(u, v), тогда остаётся подставить выражения для производных и сделать замену переменныхв кратном интеграле:Z qZ s 2Z qZ∆zy∆2xz22222zx + zy + 1 dx dy =+ 2 + 1 |∆xy | du dv =∆zy + ∆xz + ∆xy du dv = |[ru , rv ]| du dv.∆2xy∆xyΩGGGОсталось проверить, что данное определение не зависит от выбора параметризации. Пусть задан диффеомор∂(s,t)физм G(u, v) ↔ H(s, t). Тогда ∂(u,v)векторные произведения связаны формулой [ru , rv ] = [Rs , Rt ] ∂(u,v).∂(s,t) 6= 0, а ∂(s,t) ∂(u,v) RRRТогда [ru , rv ] du dv = [Rs , Rt ] · ∂(u,v) · ∂(s,t) ds dt = [Rs , Rt ] ds dt.GHH2.2.5. Поверхностный интеграл первого родаОпределение.
Пусть в области Ω(u, v) параметрическизаданахорошая поверхность S своим радиус-вектоRром. Пусть Φ : S → R. Если существует интеграл Φ(r)[ru , rv ] du dv, то говорят, что на S задан поверхностныйΩRинтеграл первого рода. Обозначение: Φ dS.SМногие свойства этого интеграла, например, линейность, очевидны из свойств кратного интеграла. Можнопоказать, что его значение не зависит от параметризации поверхности, но мы не будем этого проделывать,поскольку рассуждения аналогичны тем, что были приведены в конце предыдущего параграфа.RRqКогда поверхность задана функцией z = f (x, y), получаем Φ dS = Φ x, y, f (x, y) fx2 + fy2 + 1 dx dy.SΩ2.2.6.
Ориентированные поверхности. Поверхностный интеграл второго родаПусть S — хорошая поверхность, заданная радиус-вектором r(u, v). Изготовим нормаль к поверхности:[ru , rv ].n = ± [ru , rv ]Знак «+» или «−» мы можем выбирать произвольно, что соответствует выбору «положительной» или «отрицательной» стороны поверхности, или ориентации.Определение. Полем нормалей к поверхности S называется отображение N : S → E3 , заданное по правилуN : P 7→ n(P ), при условии, что мы зафиксировали один и тот же знак для всех нормалей. Если N — гладкоеотображение, то S называется ориентируемой, или двухсторонней, поверхностью.Пример 2.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
