С.А. Теляковский - Конспект лекций по математическому анализу (1118255), страница 2
Текст из файла (страница 2)
. . и ω 1 ⊂ ω2 ⊂ . . . . Отсюда следует, что существуют пределыµ∗ := lim |ω i | и µ∗ := lim |ω i |, причём µ∗ > µ∗ . Эти два предела называются соответственно верхней и нижнейiiмерами Жордана ограниченного множества A. Если µ∗ = µ∗ , то их общее значение называется мерой Жорданамножества A, обозначается µ(A), и говорят, что A измеримо по Жордану. Необходима проверка корректностиопределения, состоящая в проверке его независимости от системы координат. Это будет сделано позже.Замечание. В дальнейшем мы будем просто говорить «измеримо» вместо «измеримо по Жордану», поскольку никаких других мер, кроме жордановой, мы рассматривать не будем.Рассмотрим два поучительных примера неизмеримых по Жордану множеств.Пример 1.1. Множество A := [0, 1] r Q неизмеримо, ибо его верхняя мера равна 1, а нижняя — нулю.
Действительно, какую бы мелкую сетку мы не взяли, в любом квадратике на отрезке найдутся точки из множестваA и точки не из множества A. Поэтому в качестве ω N придётся всегда брать весь отрезок, а в качестве ωN —пустое множество.PПример 1.2. ПустьS{rk } — нумерация всех рациональных чисел отрезка [0, 1]. Пусть αk = 21 , причём αk >> 0. Рассмотрим A := Uk , где Uk — интервал длиной αk с центром в rk . Ясно, что A открыто, но не являетсяизмеримым, поскольку µ∗ = 1, а µ∗ 6 21 . Действительно, при подсчёте верхней меры мы должны включить вω N все квадратики, поскольку в каждом квадратике есть рациональные точки.
С другой стороны, µ∗ не можетпревосходить суммы длин окрестностей Uk .Теорема 1.1. Каждая элементарная фигура измерима, и её мера равна её площади.451.1.2. Свойства измеримых множеств Без ограничения общности можно считать, что A есть некоторый прямоугольник, не обязательно параллельный системе координат. Пусть задана сетка с шагом h. Раздуем немного множество A, получим множествоA′ , затем сузим немного множество A, получим множество A′′ .
При этом раздутие и сжатие надо производитьтак, чтобы толщина «рамки» B := A′ r A′′ была не меньше Ch, где C — константа, зависящая только от размерности m. Нам это нужно для того, чтобы квадратик сетки помещался внутри рамки целиком. При подходящемвыборе C имеем M := ωN r ω N ⊂ B, откуда |M | 6 |B|. Отсюда следует измеримость множества A, поскольку |B| можно сделать сколь угодно малым при достаточно большом измельчении сетки. Отсюда следует, чтоµ(A) = |A|, поскольку множество A можно сколь угодно точно «зажать» между ω N и ω N . Теорема 1.2 (Эквивалентные определения мер).µ∗ (A) = inf |ωN (A)| = inf |σK | = inf |σ|,σK ⊃ANσ⊃Aµ∗ (A) = sup |ωN (A)| = sup |σK | = sup |σ|.σK ⊂ANσ⊂A Докажем утверждение про верхнюю меру, а про нижнюю доказательство аналогично. В силу свойств ωпервое равенство в цепочке очевидно, кроме того, очевидно, что inf |ω N | > inf |σK | > inf |σ|, поскольку приNσK ⊃Aσ⊃Aрасширении базы inf его значение может только уменьшиться.Рассмотрим σ ⊃ A, тогда µ(σ) = inf |ω N (σ)|, поэтому ∀ ε > 0 имеем µ(σ) + ε > |ω N (σ)|.
В этом неравенствеNмеру можно заменить на верхнюю меру (они равны), а ω N (σ) на ω N (A), поскольку от такой замены неравенствотолько усилится. Отсюда µ∗ (σ) + ε > |ωN (A)| > µ∗ (A), поэтому |σ| + ε > µ∗ (A), значит, по крайней мере, |σ| >> µ∗ (A). Значит, inf |σ| не может быть меньше µ∗ (A). Но выше мы доказали, что он не может быть и больше,σ⊃Aпоэтому они равны.
Следовательно, зажатое между ними число inf |σK | также с ними совпадает. σK ⊃AЗамечание. Теперь можно считать, что произведена проверка корректности определения меры, посколькудоказано, что верхняя и нижняя меры не зависят от системы координат.1.1.2. Свойства измеримых множеств′′′′′′′′′Теорема 1.3 (Критерий измеримости). A ∈ J ⇔ ∀ ε > 0 ∃ σK, σK: σK⊂ A ⊂ σKи µ(σK) − µ(σK) < ε.∗ Пусть A ∈ J . Тогда µ(A) = µ (A) = µ∗ (A). В силу эквивалентного определения мер и свойств точной′′′′′′верхней и точной нижней граней имеем ∀ ε > 0 ∃ σK⊃ A : µ(A) + ε > µ(σ K ) и ∃ σK ⊂′′A : µ(A)′ − ε < µ(σK ).′′′Отсюда следует, что µ(σK ) и µ(σK ) лежат в интервале µ(A) − ε, µ(A) + ε , поэтому µ(σK ) − µ(σK ) < 2ε, что итребуется.Обратно, пусть выполнено второе условие теоремы.
В силу эквивалентного определения мер имеем µ∗ (A) 6′′′′′′6 µ∗ (σK) = µ(σK), а µ∗ (A) > µ∗ (σK) = µ(σK). Но мы знаем, что µ∗ (A) > µ∗ (A), поэтому µ∗ (A) − µ∗ (A) 6 ε,значит, они совпадают. Следствие 1.1. A ∈ J ⇔ ∀ ε > 0 найдутся замкнутое множество F ∈ J и открытое U ∈ J , для которыхF ⊂ A ⊂ U и µ(U ) − µ(F ) < ε.′′′′′ Возьмём множества σKи σKиз предыдущей теоремы. Объемлющее множество σKслегка раздуеми уберём его границу, получим открытое множество U . Мы уже замечали, что при правильном раздувании′сохранится свойство A ⊂ U .
Далее, получим множество F сужением σKи добавлением его границы, тогда Fбудет замкнуто. Но поскольку мы при этом изменили площадь не сильно, рассуждения предыдущей теоремыостаются в силе. Теорема 1.4 (Критерий измеримости в терминах границы). Пусть A ∈ B. Тогда A ∈ J ⇔ µ(∂A) = 0.′′′′′′ Пусть A измеримо.
По предыдущей теореме ∀ ε > 0 ∃ σK⊂ A ⊂ σK, причёмσKзамкнуто, σKоткрыто,′′′′′′∗′′′а µ(σK ) − µ(σK ) < ε. Ясно, что ∂A⊂σrσ,поэтомуµ(∂A)6µ(σrσ)=посколькумераэлементарныхKKKK′′′фигур совпадает с их площадью = µ(σK)−µ(σK) < ε. Поскольку ε можно взять сколь угодно малым, получаемµ∗ (∂A) = 0, откуда µ(∂A) = 0.′′′Обратно, если µ(∂A) = 0, то ∀ ε > 0 ∃ σK ⊃ ∂A : µ(σK ) < ε. Тогда рассмотрим σK:= A ∪ σK и σK:= A r σK .Ясно, что это действительно будут простейшие элементарные фигуры, поскольку добавляя или выкидывая σK ,′′′мы полностью меняем границу множества A, делая её «хорошей».
Далее, имеем µ(σK) − µ(σK) < ε, и осталосьсослаться на критерий измеримости. Лемма 1.5. Пусть µ(A) = 0, µ(B) = 0. Тогда µ(A ∪ B) = 0.AABBAB Пусть ε > 0. Рассмотрим σK⊃ A : µ(σK) < ε и σK⊃ B : µ(σK) < ε. Тогда A ∪ B ⊂ σK∪ σK, откуда∗µ (A ∪ B) 6 ε + ε = 2ε.
Теорема 1.6. Пусть A, B ∈ J . Тогда A ∪ B, A ∩ B и A r B измеримы.561.2.1. Определение кратного интеграла Римана Несложно видеть, что ∂(A ∪ B) ⊂ ∂A ∪ ∂B. Поскольку µ(∂A ∪ ∂B) = 0, имеем µ ∂(A ∪ B) = 0, иосталось сослаться на критерий измеримости в терминах границы. Для пересечения и разности рассужденияаналогичны, поскольку ∂(A ∩ B) ⊂ ∂A ∪ ∂B и ∂(A r B) ⊂ ∂A ∪ ∂B. Теорема 1.7. Пусть A, B ∈ J . Тогда µ(A ∪ B) 6 µ(A) + µ(B), а если Int A ∩ Int B = ∅, то неравенствообращается в равенство.ABAB Пусть ε > 0, тогда ∃ σK⊃ A, σK⊃ B, для которых µ(σK) < µ(A) + ε и µ(σK) < µ(B) + ε. ПосколькуABABABA ∪ B ⊂ σK ∪ σK , получаем µ(A ∪ B) 6 µ(σK ∪ σK ) 6 µ(σK ) + µ(σK ) < µ(A) + µ(B) + 2ε, поэтому µ(A ∪ B) 66 µ(A) + µ(B).ABABПусть имеет место A ⊕ B. Тогда ∀ ε > 0 ∃ σK⊂ A, σK⊂ B, для которых µ(σK) > µ(A) − ε и µ(σK) > µ(B) − ε.ABABABABПоскольку для σK и σK тем более выполнено σK ⊕ σK , имеем µ(A ∪ B) > µ(σK ∪ σK ) = µ(σK ) + µ(σK) > µ(A) ++ µ(B) − 2ε.
Итак, µ(A ∪ B) > µ(A) + µ(B), значит, верно и обратное неравенство. Следствие 1.2 (Аддитивность меры). Если Ai ∈ J и A = A1 ⊕ . . . ⊕ An , то µ(A) = µ(A1 ) + . . . + µ(An ).Замечание. Сказанное выше, а также пример неизмеримого счётного множества A := Q ∩ [0, 1] показывает, что класс J является алгеброй, но не σ-алгеброй.
Можно доказать, что мера Жордана является счётноаддитивной на алгебре элементарных фигур, но мы не будем этого делать.Приведём некоторые примеры измеримых множеств.1◦ . Пусть f ∈ R[a, b] и f > 0. Тогда её подграфик, т. е. множество (x, y) | x ∈ [a, b], y ∈ 0, f (x) измеримопо Жордану. Это следует из геометрической интерпретации верхних и нижних сумм Дарбу.2◦ . Из 1◦ следует измеримость фигуры с границей, представимой в виде графиков непрерывных функций.3◦ . Пусть Γ := r(t) | t ∈ [a, b] — непрерывная плоская спрямляемая кривая длины S. Покажем, что µ(Γ) == 0. Разделим кривую на n равных по длине частей, тогда длина каждого куска будет Sn . Накроем каждый22кусок кругом радиуса Sn , тогда µ∗ (Γ) 6 n · π Sn = πSn → 0 при n → ∞.Определение. Пусть множество A ⊂ Em не является ограниченным.
Рассмотрим концентрическую системурасширяющихся квадратов σ1 , σ2 , σ3 , . . . со сторонами 1, 2, 3, . . . . Если существует предел lim µ(σn ∩ A), тоn→∞значение этого предела называют мерой множества A и обозначают µ(A). Из определения ясно, что каждое измножеств σn ∩ A должно быть измеримым.Замечание. Можно доказать, что это определение не зависит от системы координат. Однако в дальнейшемнам не потребуется измерять неограниченные множества.1.2. Кратные интегралы1.2.1. Определение кратного интеграла РиманаОпределение. Пусть A ∈ J . Назовём набор A1 , . . . , An разбиением A, если A = A1 ⊕ . .
. ⊕ An и Ai ∈ J .Разбиения обычно будем обозначать буквой T . Из определения следует, что µ(A) = µ(A1 ) + . . . + µ(An ). Будеминогда обозначать количество элементов разбиения T символом |T |.Определение. Диаметром непустого множества A назовём число λ(A) := sup ρ(x, y). Диаметром разбиx,y∈Aения T назовём число λT := max {λ(A1 ), . . . , λ(An )}.Определение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
