С.А. Теляковский - Конспект лекций по математическому анализу (1118255), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Рассмотрим разбиение T : Ak = Ak1 ⊕ . . . ⊕ Akn , для которогоnPf + (pi )µ(Aki ) >i=1RDk|f | + k, причём этоLверно ∀ pi ∈ Aki . Отметим ∗ те элементы T , на которых f + > 0. Образуем множество Bk :=Aki ⊂ Ak , тогда∗RP|f | + k. В самом деле, допустим, что неравенствоf + > 0 на Bk . Несложно видеть, чтоf + (pi )µ(Aki ) >∗Dkнарушилось. Тогда добавим к этой сумме элементы, не попавшие в Bk , и выберем для них pi так, чтобы f (pi ) == 0. Это не изменит сумму.
Но мы ведь предположили, что исходное неравенство верно для всех наборов P ,значит, оно не может нарушиться. Суммирование по ∗ есть просто интегральная сумма для fR+ на множествеR|f | + k.f>Bk , но в ней f + можно заменить на f , поскольку на Bk имеем f + = f . Отсюда следует, что иBkDkВ это несложноR поверить,R и вспомнить, что это верно для всех наборов P .RR нарисовать картинкуR особенно еслиf > k. Но Bk ∩ Dk = ∅, ибо Bk ⊂ Ak . Тогдаf +|f | + k > − f + k, откудаf >4◦ .
ИмеемDkBkDkDkBkRf > k. Ясно, что {Ck } исчерпывает D, поскольку Dk ⊂ Ck ⊂ Dk+1 . Но для неёдля Ck := Bk ∪ Dk имеемCkRRlim f = +∞, а это противоречит сходимости f . k CkDЗамечание. Таким образом, для кратного интеграла не существует понятия условной сходимости. Доказательство теоремы напоминает теорему Римана о перестановке членов условно сходящегося ряда.2. Криволинейные и поверхностные интегралы2.1. Криволинейные интегралы2.1.1. Криволинейные интегралы первого родаБудем считать, что мы находимся в пространстве E3 (x, y, z).
Пусть задана спрямляемая гладкая регулярнаякривая Γ длины S и для неё выбрана натуральная параметризация Γ : [0, S] → E3 , т. е. l Γ[0, s] = s. Пустькомпоненты её радиуса-вектора r(s) суть функции x = ϕ(s), y = ψ(s) и z = χ(s). Несложно видеть, что принатуральной параметризации |ṙ| = 1.RSRОпределение. Пусть F : Γ → R. Если существует интеграл F ϕ(s), ψ(s), χ(s) ds =: F ds, то такой инте0Γграл называется криволинейным интегралом первого рода по кривой Γ.Формально, наше определение зависит от того, в какую сторону мы бежим по кривой. Покажем, что насамом деле криволинейный интеграл первого рода не зависит от этого.
Действительно, движение по кривой14152.1.2. Криволинейный интеграл второго родав обратную сторону соответствует замене параметра s на параметр t = S − s. Обозначим кривую с обратнойпараметризацией через Γ− . ИмеемZS0F ϕ(s), ψ(s), χ(s) ds =Z0SF ϕ(S − t), ψ(S − t), χ(S − t) d(S − t) =ZS0F ϕ(S − t), ψ(S − t), χ(S − t) dt =ZF dt.Γ−Нам хотелось бы уметь считать криволинейные интегралы,не прибегая к натуральной параметризации.q 222′′u + v ′ + w′ , откуда, делая замену, получаемПусть Γ = u(t), v(t), w(t) t ∈ [a, b] .
Тогда s (t) =q RRb222F ds = F (u, v, w) u′ + v ′ + w′ dt.aΓПоскольку криволинейный интеграл первого рода определён через обыкновенный интеграл, многие свойства, как то линейность и аддитивность, переносятся и на него без всяких ограничений. Поэтому мы не будемзадерживаться на их рассмотрении.Замечание. Физический смысл этого интеграла — масса тонкой нити с плотностью F .2.1.2. Криволинейный интеграл второго родаМы сохраняем обозначения, введённые в предыдущем параграфе.Определение. Говорят, что в E3 задано векторное поле, если задана вектор-функция a : E3 → E3 .
Компоненты вектора a(x, y, z) обычно обозначаются P , Q и R соответственно и называются компонентами векторногополя. Будем обозначать жирными буквами i, j, k три стандартных базисных вектора в E3 . Тогда a(x, y, z) == P (x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k. Иногда нам будет достаточно, чтобы векторное поле было задано не навсём пространстве, а лишь на его подмножестве.Определение.
Пусть на кривой Γ, отнесённой к натуральному параметру, задано векторное поле a. Обозначим через τ касательный вектор ṙ. Тогда |τ | = 1. Напомним, Rчто через (a, τ ) мы обозначаем скалярноепроизведение векторов. Если существует криволинейный интеграл (a, τ ) ds, то говорят, что на ориентированΓRной кривой Γ задан криволинейный интеграл второго рода. Он обозначается (a, ds).ΓПокажем, что криволинейный интеграл зависит от направления пробегания кривой. Пусть Γ+ — кривая,параметризованная в одну сторону, а Γ− — та же кривая,параметризованнаявR обратную сторону.ПосколькуRRRинтеграл первого рода не зависит от направления, (a, ds) = (a, τ ) ds = − (a, −τ ) ds = − (a, ds). Итак,Γ+ΓΓΓ−смена направления параметризации меняет знак криволинейногоинтеграла второго рода.RИногда интеграл второго рода обозначается так: (P dx + Q dy + R dz), причём часто скобки не пишут.
ТакаяΓзапись удобна при вычислении интеграла: выражая dx, dy, dz через dt, получаем обычный интеграл по отрезку.ПоRопределениюR касательного вектора, τ = ϕ̇i + ψ̇j +χ̇k, поэтому наш интеграл можно переписать в такомвиде: (a, ds) = P (ϕ, ψ, χ)ϕ̇ + Q(ϕ, ψ, χ)ψ̇ + R(ϕ, ψ, χ)χ̇ ds.ΓΓЗамечание. Подинтегральноевыражение по виду напоминает производную некоторой сложной функцииV ϕ(s), ψ(s), χ(s) , где функции P, Q, R обозначают её частные производные Vϕ , Vψ , Vχ .Посмотрим, как можно обойтись без натурального параметра в интеграле второго рода.
Пусть s = s(t),причём для определённости s′ (t) > 0 на отрезке параметризации. Тогда существует обратная функция t = t(s),dtпричём t′ (s) > 0. Тогда x = u(t) = u t(s) = ϕ(s), откуда ϕ̇(s) = u′ (t) ds, поэтому ϕ̇(s) ds = u′ (t) dt. Аналогичныеформулы можно записать для функций ψ̇ и χ̇. Делая замену переменной в нашем интеграле, получаемZΓ(a, ds) =ZbP (u, v, w)u′ + Q(u, v, w)v ′ + R(u, v, w)w′ dt.aRОпределение. Если Γ замкнута, то (a, ds) называют циркуляцией векторного поля.ΓЗамечание. Физический смысл криволинейного интеграла второго рода — работа по движению материальной точки вдоль кривой Γ в поле силы, заданной векторным полем a.2.1.3.
Формула ГринаПусть G — измеримая область в E2 , причём ∂G есть кривая, обходящая область в положительном направлении (это означает, что когда мы идём по границе, мы идём левой ногой по области, а правой — по её дополнению). Пусть на G задано векторное поле a = (P, Q) класса гладкости C1 (Cl G). Формула Грина гласит:15162.2.1. Геометрический смысл знака якобиана плоского отображенияZ(P dx + Q dy) =ΓZyGСначала докажем формулу Грина для случая, когда область G представляет собойтреугольник ABC, как показано на рисунке, причём сторона AC есть график монотонной функции f ∈ C[a, b].
Рассмотрим−ZGCd(Qx − Py ) dx dy.GAcBaZb fZ(x)ZbZbZbf (x)Py dx dy = −Py dy dx = − P (x, y)dx = − P x, f (x) dx + P (x, c) dx =bxcacaa=−ZP dx +ACaZP dx =ABпоскольку можно замкнуть путь, добавив третье нулевое слагаемоеRZP dx +CAZP dx =ZP dx,ΓABP dx.BCАналогично можно поступить с производной Qx : мы знаем, что в силу монотонности f существует монотонная обратная функция g := f −1 ∈ C[c, d]. ТогдаZQx dx dy =Zd ZbQx dx dy =c g(y)GZdcbQ(x, y)g(y)dy ==ZdZcQ(b, y) dy −Q dy −BCZZdcQ g(y), y dy =Q dy =ACZQ dy +BCZQ dy +CAZQ dy =ZQ dy.ΓABИмеет смысл подумать, в каких ещё случаях мы умеем доказывать формулу Грина.
Ясно, что если областьудаётся порезать на куски, каждый из которых есть некоторый криволинейный треугольник того вида, которыймы рассматривали при доказательстве, то для такой области формула Грина тоже доказана: на стыке треугольников мы обязательно один раз пройдём в одну сторону и один раз в другую, поэтому останется только то, чтобыло на границе области, а это и есть наша кривая.Следствие 2.1.
Криволинейные интегралы можно использовать для вычисления площадей.RR Если Qx − Py = 1, то µ(G) = dx dy = P dx + Q dy. Возьмём поле с компонентами P = 0 и Q = x,ΓR Gтогда Qx − Py = 1. Отсюда µ(G) = x dy. Γ2.2. Поверхностные интегралы2.2.1. Геометрический смысл знака якобиана плоского отображенияПусть Φ осуществляет диффеоморфизм областей G(x, y) и H(u, v). Пусть частные производные vxy , vyx ∈ C,тогда они равны. Пусть Ω ⊂ G — область, для которой справедлива формула Грина, тогда Γ(t) = ∂Ω — гладкаяграница этой области.
Положим Γ∗ := Φ(Γ) и Ω∗ := Φ(Ω). Назовём положительным направлением обхода на Γ∗то направление, которое индуцируется положительным направлением обхода кривой Γ. Очевидно, Γ∗ тоже будетгладкой кривой. Действительно, дифференцируемость следует из теоремы о производной сложной функции, арегулярность — из того, что u̇ux uyẋ=.v̇vx vyẏВ самом деле, матрица линейного оператора в этой формуле — в точности матрица Якоби, а она невырождена.Поэтому если вектор (ẋ, ẏ) не обращается в нуль, то и (u̇, v̇) в нуль не обращается.RRПусть для Ω∗ также справедлива формула Грина, тогда µ(Ω∗ ) =du dv = ε u dv, где ε = ±1 и ε = 1Ω∗соответствует положительному обходу кривой. ТогдаZΓ∗u dv =ZbaΓ∗Z ∂∂uv̇ dt = u (vx ẋ + vy ẏ) dt = (uvx dx + uvy dy) =(uvy ) −(uvx ) dx dy =∂x∂yaΓΩZ ZZ∂∂!!=ux vy + u(vy ) − uy vx − u(vx ) dx dy = (ux vy − uy vx ) dx dy = |dΦ| dx dy.∂x∂yZbZ!ΩΩ16Ω172.2.2.
Потенциальные векторные поляЗдесь переход, отмеченный знаком «!», обусловлен формулой Грина, а отмеченный знаком «!!» — фактом равенства вторых смешанных частных производных. ТакимR образом,R можно установить, что sgn |dΦ| = ε. Действительно, по теореме о замене переменных, µ(Ω∗ ) =du dv = | det dΦ| dx dy. Таким образом, ориентацияΩ∗Ωкривой сохраняется тогда и только тогда, когда якобиан перехода положителен.2.2.2. Потенциальные векторные поляПусть задано векторное поле a : G → E3 с компонентами P, Q, R.Определение.
Поле a называется потенциальным в области G, если ∃ V : G → R, для которой (P, Q, R) == (Vx , Vy , Vz ). В этом случае функция V называется потенциалом векторного поля a. Используя операторГамильтона ∇ =∂∂∂∂x , ∂y , ∂z, можно написать, что a = ∇V = grad V .Теорема 2.1 (Критерий потенциальности поля). Пусть задано векторное поле a : G → E3 . Тогда следующие условия эквивалентны:1◦ . Поле a потенциально.R2◦ . Для любой замкнутой кривой (a, ds) = 0.ΓR3◦ .
∀ A, B ∈ G интеграл (a, ds) не зависит от выбора Γ: иными словами, значение криволинейного интеΓграла по любой кривой, соединяющей точки A и B, не зависит от того, по какому пути мы пойдём. Эквивалентность 2◦ и 3◦ очевидна, если вспомнить о том, что криволинейный интеграл второго родаменяет знак при смене параметризации на противоположную.1◦ ⇒ 3◦ . Пусть существует потенциальная функция V для поля a. Тогда (P, Q, R) = (V x , Vy , Vz ). РассмотримA, B ∈ G и кривую ΓAB : [0, 1] → E3 с компонентами радиуса-вектора ϕ(t), ψ(t), χ(t) , причём Γ(0) = A, аΓ(1) = B. ИмеемZ(a, ds) =0ΓAB=Z1Z10P (ϕ, ψ, χ)ϕ̇ + Q(ϕ, ψ, χ)ψ̇ + R(ϕ, ψ, χ)χ̇ dt =Z1Vx (ϕ, ψ, χ)ϕ̇ + Vy (ϕ, ψ, χ)ψ̇ + Vz (ϕ, ψ, χ)χ̇ dt = (V ◦ Γ)′ dt = (V ◦ Γ)(1) − (V ◦ Γ)(0) = V (B) − V (A).0Тем самым доказано, что интеграл по Γ не зависит от самой кривой, поскольку он оказался равен разностизначений функции V , а она никак не зависит от кривой.3◦ ⇒ 1R◦ .
Пусть от кривой ничего не зависит. Зафиксируем точку A ∈ G и пусть B ∈ G. Рассмотрим функцию(P dx + Q dy + R dz). Такое определение корректно, поскольку значение этого интеграла не зависитV (B) :=ΓABот Γ. Построим определённый путь в G, соединяющий точки A и B. Поскольку G — область, точка B обладаетнекоторой окрестностью U (B) ⊂ G. Проведём из B отрезок I, целиком лежащий в U , параллельный вектору i, ипусть конец этого отрезка — точка C. В силу связностиA и C можно соединить кривой. ОбъединениеRRR G, точки. Разрешим точке B бегать вдоль I, тогда V (B) =кривой и отрезка I составят наш путь Γ. Тогда+==RΓAC(a, ds) +RΓCBP dx =RΓAC(a, ds) +xRBΓACΓCBΓABP (t, y, z) dt. Продифференцируем это равенство по x. Поскольку первоеxCслагаемое есть константа, от xB есть только в верхнем пределе интеграла Римана, получаем Vx (B) = P (x, y, z).Аналогично можно получить, что Vy (B) = Q(x, y, z) и Vz (B) = R(x, y, z).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
