С.А. Теляковский - Конспект лекций по математическому анализу (1118255), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Еёопределение таково: пусть 0 < c1 < c2 < ∞, тогда ряд сходится к S, если ∀ ε > 0 ∃ N : ∀ k, l > N : 0 < c1 6 kl 6 c2имеем |Skl − S| < ε. Графически это означает, что мы запрещаем рассматриваемым прямоугольникам быть28294.1.2. Повторные рядыслишком плоскими, если рассматривать элементы ряда как точки на плоскости. Такую сходимость можно обозначать символом (P, c1 , c2 ). Ещё одна разновидность P -сходимости — сходимость по кубам. Её можно получитьиз предыдущей, если положить c1 = c2 = 1.Принципиальнодругим видом сходимости является T -сходимость, где строится последовательность суммPSn :=aij , а затем исследуется на сходимость как обычная последовательность.i+j6nСледующие два вида сходимостиPпохожи на T -сходимость и различаются только выбором Sn .
Для сферичеPской S-сходимости имеем Sn :=aij , а для H-сходимости по гиперболическим крестам Sn :=aij .i2 +j 2 6n2|ij|6nНазвание последней объясняется тем, что можно рассматривать и отрицательные индексы, тогда множества Snбудут образовывать крестовидные фигуры на плоскости.Замечание. С T -сходимостью мы уже сталкивались, когда доказывали теорему Мертенса: речь шла о двойном ряде, в котором aij := ui vj .PPТеорема 4.1 (Линейность сходимости). Пусть рядыaij иbij сходятся при одинаковом методеPсуммирования. Тогда при том же методе сходится ряд (λaij + µbij ) для любых λ, µ ∈ R.Пример 1.1.
Если для обыкновенных рядов сходимость влечёт стремление к нулю членов ряда, то длядвойных рядов из сходимости не вытекает даже их ограниченность. Рассмотрим ряд a1j := j, a2j := −j, остальные положимP равными 0, и просуммируем его по методу прямоугольников. Очевидно, при k > 2 имеем Skl = 0,поэтомуaij = 0.Замечание. Сходимость ряда по одному методу почти никогда не влечёт сходимость по другому методу, поскольку можно привести соответствующие примеры. Исключение составляет серия P -методов: из P -сходимости,очевидно, следует (P, c1 , c2 )-сходимость и тем более (P, 1, 1)-сходимость. Как несложно увидеть, ряд в примере,приведённом выше, не является ни T -сходящимся, ни S-сходящимся.4.1.2.
Повторные рядыPНаряду с двойными рядами, имеет смысл рассматривать повторные ряды. Пусть дан ряд aij , тогда можно∞∞∞∞P PP Pрассмотреть два повторных рядаaij иaij . Несложно видеть, что фактически речь идёт о двойныхi=1 j=1j=1 i=1пределах lim lim Skl и lim lim Skl . Аналогично тому, как из существования повторных пределов не следует суkllkществования общего предела функции многих переменных, из существования повторных пределов не следуетсуммируемость ряда.
Кроме того, различные повторные пределы могут быть различными по значению, дажеесли они существуют.jji1i+11−. В качестве упражнения предлагается показать,Пример 1.2. Рассмотрим ряд aij := i+1i+1i+2 i+2что суммирование в одном порядке даёт 12 , а в другом − 12 .PPPPТеорема 4.2. Пусть рядaij является P -суммируемым. Пусть ∀ i сходитсяaij . Тогдаaij =ji jP= aij , причём утверждается и существование этого повторного ряда, и равенство.P Имеем ∀ ε > 0 ∃ N : ∀ k, l > N имеем |Skl − S| < ε, где S :=aij .
Кроме того, поскольку конечная суммаkk P∞PPпределов равна пределу суммы, имеем limSil =aij . Перейдём в неравенстве |Skl − S| < ε к пределуli=1при l → ∞, получимi=1 j=1X∞ k X 6 ε,a−Siji=1 j=1откуда следует требуемое равенство. Теорема 4.3 (Маркова). Пусть сходится повторный рядPPijaij . Пусть ∀ j сходитсяPiaij . Для l ∈ N0∞Pположим Ril :=aij . Тогда:j=l+1P1◦ .Ril сходится ∀ l ∈ N0 .iPPP◦2 .
Положим Rl := Ril . Тогда сходимостьaij равносильна существованию предела lim Rl .lij iPPPP3◦ . Пусть R = lim Rl , тогдаaij =aij тогда и только тогда, когда R = 0.lijjiСам факт существования величин Ril следует из условия теоремы. ИмеемXRil =aij − (ai1 + . . . + ail ).j29304.1.3. Абсолютно сходящиеся двойные рядыЭти равенства можно просуммировать по i от 1 до ∞, поскольку в правой части всё сходится по условию:!XXXXXRil =aij −ai1 + .
. . +ail .iijiiТаким образом, свойство 1◦ доказано. Предыдущее равенство в точности означает, что Rl =PPiРассмотрим R0 =PPijaij , тогда получаем R0 − Rl =l PPjaij −l PPaij .j=1 iaij , откуда следует свойство 2◦ . Но, как несложноj=1 iвидеть, из этого равенства следует и свойство 3◦ , что проверяется возможностью устремить l → ∞. Определение. Будем говорить, что (k, l) > n, если k > n и l > n. Будем также говорить, что (x, y) 6= 0, еслиx 6= 0, y 6= 0.PТеорема 4.4 (Критерий P -сходимости Коши). Для сходимостиaij необходимо и достаточно условия Коши: ∀ ε > 0 ∃ N : ∀ (k, l), (p, q) > N имеем |Skl − Spq | < ε. Необходимость.
Пусть ряд сходится, тогда ∀ ε > 0 ∃ N : ∀ (k, l) > N, ∀ (p, q) > N имеем |Skl − S| < ε и|Spq − S| < ε. Тогда |Skl − Spq | = |Skl − S + S − Spq | < ε + ε.Достаточность. Заметим, что {Sii } является обычной числовой последовательностью, для которой критерий Коши доказан давным-давно. Из условия Коши для двойных последовательностей, в частности, следует,что ∀ ε > 0 ∃ N : ∀ (k, k), (p, p) > N имеем |Skk − Spp | < ε, поэтому для {Sii } выполнен обычный критерий Коши.Значит, она сходится к некоторому числу S.
Потребуем, чтобы ∀ ε > 0 ∃ N : ∀ (k, l), (p, q) > N было выполнено|Skl − Spq | < ε и ∀ i > N было выполнено |Sii − S| < ε. Тогда |S − Skl | = |S − Skk + Skk − Skl | 6 |S − Skk | + |Skk −− Skl | 6 ε + ε. Отсюда следует сходимость. 4.1.3. Абсолютно сходящиеся двойные рядыPPОпределение. Пусть Σ — множество всех частных сумм ряда |aij |. Если sup Σ < ∞, то двойной ряд aijназывается абсолютно сходящимся.PПокажем, что в этом случае любой метод суммирования приведёт к тому же S. Положим bij := |aij | иbijсходится абсолютно.
Если S = sup Σ, то ∀ ε > 0 ∃ σ ∈ Σ, для которой S − σ < ε. Тогда, по определению методасуммирования, в последовательности Sn рано или поздно окажутся все слагаемые σ, значит, подавно, будемиметь S − Sn < ε.PP jP 11Пример 1.3. Исследуйте на сходимость ряды:i ,(i+j)α ,(i2 +j 2 )α .i,j>24.2.
Двойные степенные ряды4.2.1. Понятие двойного степенного рядаОпределение. Двойным степенным рядом называется выражение видаXaij (x − x0 )i (y − y0 )j ,i=0j=0где aij ∈ R и x, y, x0 , y0 ∈ R. Точка (x0 , y0 ) называется центром степенного ряда.Очевидно, что линейным сдвигом всё сводится к случаю, когда центр ряда находится в точке (0, 0). По этойпричине будем рассматривать только такие ряды.Теорема 4.5.
Пусть члены ряда ограничены в точке (x∗ , y∗ ). Тогда ряд сходится абсолютно при |x| < |x∗ |и |y| < |y∗ |. В силу ограниченности, найдётся M , для которого aij xi∗ y∗j 6 M . Тогда i jaij xi y j = aij xi∗ y∗j · x · y 6 M x∗ y∗ i jx y· · .x∗y∗P i jВсё сведено к доказательству сходимости двойной геометрической прогрессииP i P jα β , где α, β < 1, но онаочевидна, поскольку произвольная её частная сумма ограничена числомα · β .ijЗамечание.
В этой теореме используется такая мелочь, как теорема сравнения для двойных рядов, но ввидуочевидности мы её здесь не приводим.30314.2.2. Абсолютная сходимость степенных рядовчто бывают двойные ряды, которые сходится по кубам только в двух точках. Рассмотрим рядP Покажем,aij xi y j , где ai0 = a0i = i! при i > 2, а ai1 = a1i = −i! при i > 2.
Остальные члены ряда положим равныминулю. Имеем2!y 23!y 34!y 4...−2!y 2 x −3!y 3 x −4!y 4 x . . . 22!x −2!x2 y 33!x −3!x3 y 44!x −4!x4 y......Введём Xn := 2!x2 + 3!x3 + . . . + n!xn и Yn := 2!y 2 + 3!y 3 + . . . + n!y n . Пусть Sn — частичные суммы нашегоряда при суммировании по кубам. Легко видеть, что Sn = Xn − yXn + Yn − xYn = Xn (1 − y) + Yn (1 − x). Отсюдаясно, что ряд сходится в (0, 0) и (1, 1). Покажем, что других точек сходимости у него нет. Очевидно, что случаиx > y и y > x симметричны, поэтому достаточно рассмотреть один из них. При x = y 6= 1 имеем Xn = Yn ,откуда Sn = 2Xn (1 − x) → ∞ при n → ∞. Если x > 1, то доказывать нечего.
Если x = 0, то доказывать опятьнечего, поскольку факториалы забивают показательную функцию. Если x = 1, то всё опять очевидно. Самыйсложный случай, когда 0 < y < x < 1, предоставляется читателю в качестве упражнения. В качестве указанияприведём полезное представление для Sn :Sn = 2! x2 (1 − y) + y 2 (1 − x) + 3! x3 (1 − y) + y 3 (1 − x) + . . . + n! xn (1 − y) + y n (1 − x) .4.2.2.
Абсолютная сходимость степенных рядовPyИсследуем рядaij xi y j на абсолютную сходимость в точках луча Lα = {y = αx},где α ∈ (0, +∞). По теореме о сходимости из предыдущего раздела ∃ ! Mα ∈ Lα , дляMαкоторой ряд сходится во всех точках луча, которые расположены ближе, чем Mα , к наYβчалу координат, и расходится во всех точках, расположенных дальше. При этом мы неMβисключаем возможности Mα = +∞. Покажем, что отображение α 7→ Mα непрерывно.XβДействительно, рассмотрим другой луч y = βx. По той же теореме точка Mβ должнаγнаходиться на отрезке [Xβ , Yβ ], в противном случае точка Mα не была бы границейxсходимости: она лежала бы либо внутри области сходимости, либо внутри области расходимости.
Но ясно, что при небольших отклонениях угла β от α точка Mβ далеко не уедет.Таким образом, на плоскости можно прочертить непрерывную кривую граничных точек сходимости ряда.Она, очевидно, не имеет самопересечений и, как несложно видеть, является графиком некоторой монотонноубывающей функции. Вблизи осей координат её поведение может быть различным: она может «втыкаться» вось, а может асимптотически к ней приближаться.31.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
