С.А. Теляковский - Конспект лекций по математическому анализу (1118255), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

. . , ϕp )1kω0 =dts1 ∧ . . . ∧ dtsk .∂ (ts1 , . . . , tsk )s↑kТеперь остаётся вспомнить, что мы преобразовывали только одно слагаемое. В общем случае получаемXX∂ (ϕp1 , . . . , ϕpk )ω=Fp[k] ◦ Φdts1 ∧ . . . ∧ dtsk .∂ (ts1 , . . . , tsk )p↑k s↑kОпределение. Полученное выражение называется прообразом дифференциальной формы при отображенииΦ и обозначается Φ∗ ω.Рассмотрим ещё один важный случай, когда Φ : Ek → Em . Можно слово в слово повторить предыдущиерассуждения, но теперь от суммы по наборам s ↑ k останется только одно слагаемое, поскольку теперь индексымогут меняться в пределах 1, .

. . , k. Тогда получим следующее выражение:X∂ (ϕp1 , . . . , ϕpk )ω=Fp[k] ◦ Φdt1 ∧ . . . ∧ dtk .∂ (t1 , . . . , tk )p↑kЗамечание. По определению, дифференциальная форма порядка 0 — это функция F : Em → R.25263.1.4. Внешнее дифференцирование дифференциальных форм3.1.4. Внешнее дифференцирование дифференциальных формОпределение. Пусть задана дифференциальная форма порядка k, причём k < m. Внешним дифференциалом формы называется дифференциальная форма порядка k + 1 видаXdω :=dFp[k] ∧ dxp1 ∧ . . .

∧ dxpk .p↑kОтметим, что такая запись не является канонической для дифференциальной формы.Теорема 3.1. Пусть ω1 и ω2 — дифференциальные формы, причём ω1 имеет порядок k. Тогда d(ω1 ∧ ω2 ) == dω1 ∧ ω2 + (−1)k ω1 ∧ dω2 . В силу линейности, утверждение теоремы можно проверять только на базисных векторах.

Пусть ω1 == F dxp1 ∧ . . . ∧ dxpk , ω2 = Gdxq1 ∧ . . . ∧ dxqr , тогда ω1 ∧ ω2 = F Gdxp1 ∧ . . . ∧ dxpk ∧ dxq1 ∧ . . . ∧ dxqr . Имеемd(ω1 ∧ ω2 ) = d(F G) ∧ dxp1 ∧ . . . ∧ dxpk ∧ dxq1 ∧ . . . ∧ dxqr == (Fx1 dx1 + . . . + Fxm dxm ) G + (Gx1 dx1 + . . . + Gxm dxm ) F ∧ dxp1 ∧ . . . ∧ dxpk ∧ dxq1 ∧ . . . ∧ dxqr == (Fx1 dx1 + . . .

+ Fxm dxm ) ∧ dxp1 ∧ . . . ∧ dxpk ∧ Gdxq1 ∧ . . . ∧ dxqr ++ (Gx1 dx1 + . . . + Gxm dxm ) F ∧ dxp1 ∧ . . . ∧ dxpk ∧ dxq1 ∧ . . . ∧ dxqr == dω1 ∧ ω2 + (−1)k F dxp1 ∧ . . . ∧ dxpk ∧ (Gx1 dx1 + . . . + Gxm dxm ) ∧ dxq1 ∧ . . . ∧ dxqr == dω1 ∧ ω2 + (−1)k ω1 ∧ dω2 .В этих формулах появление (−1)k обусловлено протаскиванием dxi через k сомножителей. Теорема 3.2. Пусть Fp[k] ∈ C2 . Тогда d(dω) = 0. По определению дифференциала, имеемXX ∂Fp[k]dxi ∧ dxp1 ∧ . . . ∧ dxpk ,dω =∂xiip↑kоткуда, дифференцируя ещё раз, получаемXX X ∂ 2 Fp[k]d(dω) =dxi ∧ dxj ∧ dxp1 ∧ .

. . ∧ dxpk .∂xi ∂xjijp↑kОсталось заметить, что внутри скобок в выражении для второго дифференциала стоит тождественный нуль.∂ 2 Fp∂ 2 Fp[k]Действительно, в силу непрерывности частных производных имеет место равенство ∂xi ∂x[k]j = ∂xj ∂x, а тогда вiсилу кососимметричности внешнего произведения, каждое слагаемое в скобке встретится один раз со знаком«+», а второй раз со знаком «−». В итоге всё сократится. Теорема 3.3. Пусть Φ : Em (t) → Em (x).

Пусть F ∈ C2 . Тогда d(Φ∗ ω) = Φ∗ dω. Докажем утверждение для базисных векторов. Имеем ω = F dxp1 ∧ . . . ∧ dxpk , тогда, используя правилодифференцирования произведения форм, получаемd(Φ∗ ω) = d (F ◦ Φdϕp1 ∧ . . . ∧ dϕpk ) = d (F ◦ Φ) ∧ dϕp1 ∧ . .

. ∧ dϕpk + F ◦ Φ d (dϕp1 ∧ . . . ∧ dϕpk ) .Второе слагаемое равно нулю, поскольку это будет линейная комбинация нулевых вторых дифференциалов.Что касается первого слагаемого, то это и есть Φ∗ dω по определению дифференциала и Φ∗ . 3.2. Формула Стокса3.2.1. Интеграл от дифференциальной формыОпределение. Интеграл от дифференциальной формы. Пусть в Em задана гладкая поверхность S размерности k.

Как мы знаем, это означает, что есть отображение Φ : A → Em , где A ⊂ Ek , а RS = Φ(A).R Пусть ω —дифференциальная форма порядка k в Ek . Рассмотрим Φ∗ ω = F dt1 ∧ . . . ∧ dtk . Положим Φ∗ ω := F dt. Пустьориентации S и ∂S согласованы, тогдаAZSω :=ZA26Φ∗ ω.A27а3.2.2. Общая формула СтоксаТеорема 3.4 (Корректность определения интеграла). Пусть сделана замена t =R t(u), гдеR t : Ek → Ek ,> 0 для сохранения ориентации. Пусть x = Φ ◦ t(u) =: Ψ(u), где u ∈ B ⊂ Ek . Тогда Ψ∗ ω = Φ∗ ω.∂t∂uBAДействительно, имеемΨ∗ ω = F ◦ t(u) dt1 ∧ . . .

∧ dtk = F ◦ t(u) ·ОтсюдаZ∗Ψ ω=BZ∂tdu1 ∧ . . . ∧ duk =F ◦ t(u) ·∂uZ∂tdu1 ∧ . . . ∧ duk .∂uZ∂t!F ◦ t(u) ·du =∂uBBF dt =AZΦ∗ ω.AРавенство, отмеченное восклицательным знаком, следует из теоремы о замене переменных. 3.2.2. Общая формула СтоксаТеорема 3.5 (Формула Стокса). Пусть S — кусочно гладкая ориентированная поверхность размерности k в Em . Пусть ω — дифференциальная форма порядка k − 1. ТогдаZZdω = ω.S∂S Пусть отображение Φ : Ek (t) → Em (x) задаёт нашу поверхностьR S, тогдагде A ⊂ Ek . ВR S∗ = Φ(A),Rсилу определения интеграла и свойств дифференциальных форм имеем dω = Φ dω = d(Φ∗ ω).

С другойSAARR ∗стороны, ω =Φ ω. Теорема будет доказана, если мы докажем, что∂S∂AZ∗Φ ω=Φ∗ ω =Xd(Φ∗ ω).A∂AИмеемZp↑k−1Fp[k−1] dtp1 ∧ . . . ∧ dtpk−1 .Распишем дифференциал от этой формы:∗d(Φ ω) =Xp↑k−1dFp[k−1] ∧ dtp1 ∧ . . . ∧ dtpk−1 =Xp↑k−1X ∂Fp[k−1]s∂tsdts!∧ dtp1 ∧ . . . ∧ dtpk−1 .Зафиксируем набор p[k−1] и посмотрим, как будет выглядеть каждое слагаемое внешней суммы. Оно будетсостоять из k слагаемых k-ого порядка, но поскольку числа pi могут меняться от 1 до k, а в каждом наборе нетодинаковых, то во всех внутренних k слагаемых, кроме одного, будут множители с повторяющимися индексами.Следовательно, они обнулятся, и останется слагаемое с таким s, которого не было в наборе p[k−1] .В силу линейности можно, не ограничивая, однако, общности, доказывать утверждение для s = k, т.

е. для∂Fформы, имеющей вид ∂tdtk ∧ dt1 ∧ . . . ∧ dtk−1 . Пропихивая первый множитель в хвост произведения, получаемkZd(Φ∗ ω) = (−1)k−1AZ∂Fdt1 ∧ . . . ∧ dtk = (−1)k−1∂tkAZ∂Fdt.∂tkAТеперь мы временно забудем про этот интеграл и будем разбираться с другой половиной формулы. ИмеемZZΦ∗ ω =F dt1 ∧ . . . ∧ dtk−1 .∂A∂AСпроецируем A на гиперплоскость π := {tk = 0}, получим множество D. Будем считать, что множество Aвыпукло, значит, у него есть «верхняя» и «нижняя» крышки U и L. ТогдаA = t : (t1 , .

. . , tk−1 ) ∈ D, tk ∈ L(t1 , . . . , tk−1 ), U (t1 , . . . , tk−1 ) .Пусть ΠL и ΠU — образы нижней и верхней крышек соответственно, а ΠS — боковая часть. Будем предполагать,что проекция ΠS на π есть ∂D размерности k − 2, а ∂A = ΠL ∪ ΠU ∪ ΠS . Тогда ∂D как-то параметризуется:27284.1.1.

Понятие двойного ряда. Методы суммирования(t1 , . . . , tk−1 ) = f (τ1 , . . . , τk−2 ). Рассмотрим dt1 ∧ . . . ∧ dtk−1 . ИмеемRΠS= 0, поскольку dτj уже только k − 2 штук,и когда мы подставим выражения для ti через τj в дифференциалы, обязательно появятся повторяющиесяиндексы в каждом слагаемом. Теперь посмотрим на верхнюю крышку: ориентация на ней правильная, поэтомуZZF (t1 , . . . , tk−1 , tk ) dt1 ∧ . .

. ∧ dtk−1 = (−1)k−1 F t1 , . . . , tk−1 , U (t1 , . . . , tk−1 ) dt1 . . . dtk−1 .ΠUDНа нижней крышке ориентация неправильная, поэтомуZZkF (t1 , . . . , tk−1 , tk ) dt1 ∧ . . . ∧ dtk−1 = (−1)F t1 , . . . , tk−1 , L(t1 , . . . , tk−1 ) dt1 . . . dtk−1 .ΠLDОтсюдаZZZZΦ∗ ω =+= (−1)k−1 F t1 , .

. . , tk−1 , U (t1 , . . . , tk−1 ) dt1 . . . dtk−1 −∂AΠUΠLD− (−1)k−1ZD!F t1 , . . . , tk−1 , L(t1 , . . . , tk−1 ) dt1 . . . dtk−1 =!k−1= (−1)Z ZU∂F!!dtk dt1 . . . dtk−1 = (−1)k−1∂tkD LZ∂Fdt.∂tkAВ этих выкладках «!» следует из ФНЛ, а «!!» — из теоремы о сведении кратного интеграла к повторному.

Задача 3.1. Выведите из общей формулы Стокса трёхмерную формулу.Указание. Возьмите поле (P, Q, R), рассмотрите дифференциальную форму ω = P dx + Q dy + R dz и продифференцируйте, а потом напишите общую формулу Стокса для этой формы.4. Кратные рядыХотя в названии главы этого не указано, мы будем для упрощения жизни изучать только двойные ряды.4.1.

Виды сходимости двойных рядов4.1.1. Понятие двойного ряда. Методы суммированияОпределение. Двойной ряд — формальная запись∞Pi,j=1aij , где aij ∈ K, а K — основное поле R или C.PОпределение. Будем говорить, что задан метод M суммирования двойного рядаaij , если задано правило выбора последовательности {Sk }, удовлетворяющей следующему свойству: Sk — произвольные конечныеподмножества членов ряда, такие, что любой член ряда aij содержится во всех Sk , начиная с некоторого.Замечание. Иногда в определении метода суммирования требуют, чтобы Sk ⊂ Sk+1 .Замечание. Задание одного только метода суммирования ещё не позволяет сказать, сходится данный рядпри суммировании этим методом, или нет. Для этого необходимо ввести сходимость ряда по методу суммирования, что сейчас и будет сделано.Определение. Двойная последовательность {Skl } сходится к числу S, если ∀ ε > 0 ∃ N : ∀ k, l > N имеем|Skl − S| < ε.Введём несколько наиболее употребительных методов суммирования двойных рядов и определим сходимостьпо этим методам.k PlPPОпределение.

Рассмотрим Skl :=aij , получим двойную последовательность {Skl }. Рядaij схоi=1 j=1дится по прямоугольникам к числу S, если Skl → S как двойная последовательность. Такая сходимость ещёназывается сходимостью по Принсгейму, поэтому мы будем обозначать эту сходимость символом P .Разновидностью P -сходимости является сходимость по прямоугольникам с ограниченным отношением.

Характеристики

Список файлов лекций