С.А. Теляковский - Конспект лекций по математическому анализу (1118255), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Лист Мёбиуса не обладает подобным свойством: непрерывно протащив вектор нормали по егооси, мы не сможем состыковать его с начальным положением, ибо они будут направлены в противоположныестороны. Такие поверхности называются неориентируемыми.Определение.
Если на ориентируемой поверхности зафиксирована какая-либо ориентация, то такую поверхность называют ориентированной. Мы будем обозначать ориентированные поверхности символом S ∗ .Обычно мы будем выбирать нормаль со знаком +. Это не ограничивает общности, поскольку при перестановке переменных параметризации u и v вектор нормали изменит знак на противоположный.Пример 2.3. Пусть поверхность S задана функцией z = f (x, y).
Тогда вполне естественно называть положительной её верхнюю сторону, на которой (n, k) > 0.Направление обхода границы гладкого куска поверхности должно быть согласовано с выбранной ориентацией: если вектор нормали смотрит на нас, то обход контура должен быть задан против часовой стрелки. Привыборе ориентации для кусочно гладких поверхностей нужно следить за тем, чтобы направления обходов границна стыке были противоположными.
Мы не будем исследовать вопрос о том, когда это можно сделать.Выясним, какими свойствами должна обладать замена параметров, чтобы знак нормали сохранялся. Призамене координат r(u, v) ↔ R(s, t) имеем[Rs , Rt ] · ∂(u,v)[ru , rv ]∂(s,t)n= = ∂(u,v) .[ru , rv ][Rs , Rt ] · ∂(s,t) 20212.2.7. Формула Гаусса – ОстроградскогоОтсюда видно, что для сохранения знака нормали необходимо требовать∂(u,v)∂(s,t)> 0, что естественно.∗Определение. Пусть S — ориентированная поверхность, на которой задано непрерывное векторное полеa=R (P, Q, R). Тогда (a, n) тоже будетR непрерывной функцией. В этом случае имеет смысл говорить об интеграле(a, n) dS, который обозначается (a, dS ∗ ) и называется поверхностным интегралом второго рода.SS∗ZS∗Получим явное представление для этого интеграла:ZZZP ∆yz + Q∆zx + R∆xyP ∆yz + Q∆zx + R∆xydS =|n| du dv = P ∆yz + Q∆zx + R∆xy du dv.(a, dS ∗ ) =|n||n|ΩSΩПусть A ⊂ E3 .
Через Ax , Ay , Az мы будем обозначать проекции A на координатные плоскости параллельноосям x, y, z соответственно.Предположим, что векторное поле имеет вид (0, 0, R), а поверхность S такова, что однозначно проецируетсяна плоскость (x, y). Это означает,что её можнофункции z = f (x, y). В этом случаеRR представитьв виде графикаR∆xy = 1, поэтому получаем (a, dS ∗ ) = ± R x, y, f (x, y) dx dy =:R(x, y, z) dx dy. Следует понимать, чтоS∗SzS∗последняя запись — всего лишь условное обозначение. Все наши рассуждения можно слово в слово повторитьдля полей вида (0, Q, 0) и (P, 0, 0), если дополнительно предположить, что поверхность допускает проецированиена плоскости (x, z) и (y, z).
Используя похожие обозначения, приходим к символической записиZZ(a, dS ∗ ) = P (x, y, z) dy dz + Q(x, y, z) dx dz + R(x, y, z) dx dy.S∗S∗2.2.7. Формула Гаусса – Остроградского3Пусть G ⊂ E — измеримая область, причём её граница S := ∂G является кусочно гладкой поверхностью.Пусть в области G задано векторное поле a ∈ C1 .Определение. Дивергенцией векторного поля a называется функция div a := (∇, a) = Px + Qy + Rz .Формула Гаусса – Остроградского утверждает, чтоZZZ∗div a dx dy dz = (a, dS ) = (a, n) dS,GS∗S∗где S отвечает внешней стороне поверхности.Определение.
Рассмотрим односвязную измеримую область V в плоскости (x, y), ограниченную гладкойкривой, и цилиндр над ней. Кроме того, рассмотрим гладкие функции U (x,y) > L(x, y), которыеназовём верхнейи нижней крышками. Цилиндроидом над V называется область G = V × L(x, y), U (x, y) ⊂ E3 . Обозначения Lи U для крышек происходят, соответственно, от английских слов lower — «нижний» и upper — «верхний».Докажем нашу формулу в частном случае, когда a = (0, 0, R). Пусть G представляет собой некоторыйцилиндроид над Gz , причём его цилиндрическая часть может и отсутствовать.
ТогдаZGdiv a dx dy dz =ZGRz dx dy dz =Z ZU!Rz dz dx dy =Gz L!!=ZSz∗ZGz!!R x, y, U (x, y) − R x, y, L(x, y) dx dy =R x, y, U (x, y) dx dy +ZSz∗!!!R x, y, L(x, y) dx dy =Z(a, n) dS.SПереход «!» обоснован с помощью ФНЛ. Далее, «!!» следует из того, что мы употребили знак «−» на то, чтобыустановить ориентацию в нижней крышке. Действительно, поскольку мы договорились брать внешнюю нормаль,на верхней крышке она и так такая, какая нам нужна, а на нижней крышке она неправильная, поэтому её надоисправить. Что касается третьего перехода, отмеченного «!!!», то он обоснован тем, что поверхностный интегралпо цилиндрической части равен 0. Действительно, на этой части поверхности нормаль параллельна плоскости(x, y), поэтому a⊥n, значит, (a, n) = 0. Значит, эту компоненту интеграла действительно можно добавить к двумдругим слагаемым.
Таким образом, в этом частном случае формула доказана.Теперь перейдём к общему случаю. Здесь уже необходимо предположить, что область G представляется ввиде цилиндроидов по всем трём осям. Осталось воспользоваться аддитивностью.Следствие 2.2. Если G — хорошая выпуклая область, то условия теоремы заведомо выполнены.21222.2.8. Формула СтоксаСледствие 2.3.
Если область можно разбить на хорошие выпуклые куски, то формула тоже верна, поскольку на общей границе кусков нормали будут выбраны противоположные, и интегралы по этим кускамуничтожатся.Следствие 2.4. Дивергенция поля не зависит от системы координат. Пусть divA ∈ G, тогда ∃ шарик Uε (A) ⊂ G. Пусть Sε∗ := ∂Uε . ПрименяяR a ∈ C(G). РассмотримR∗ФГО, получаем div a dx dy dz = (a, dS ). Применим к интегралу в левой части теорему о среднем1 , получимUεSε∗R∗(div a)(ξ) · µ(Uε ) = (a, dS ), где ξ ∈ Uε . Будем уменьшать радиус ε шарика, тогда в пределе шарик стянетсяSε∗R1(a, dS ∗ ). Выражение в правой части не зависит отв точку A.
В силу непрерывности, (div a)(A) = lim µ(Uε)ε→0Sε∗системы координат, поэтому и дивергенция от неё не зависит. Эту формулу можно считать геометрическимопределением дивергенции. Определение. Поле a называетсясоленоидальным в области G, если для любой кусочно гладкой, замкнутойRповерхности S ⊂ G имеем (a, n) dS = 0.SОпределение. Область называется поверхностно-односвязной, если любую замкнутую поверхность в области можно непрерывно стянуть в точку.Пример 2.4.
Открытый шар является поверхностно-односвязной областью. Если U — открытый шар радиуса R, а B — замкнутый шар с центром в той же точке и радиуса r < R, то U r B — «вишня без косточки»доставляет пример односвязной области, не являющейся поверхностно-односвязной.Из следствия 2.4 следует, что div a = 0 в соленоидальном поле. Таким образом, div a = 0 — необходимоеусловие для соленоидальности. Как следует из ФГО, для поверхностно-односвязных областей это также и достаточное условие.2.2.8. Формула СтоксаПусть a — векторное поле с непрерывным ротором. Формула Стокса гласит:ZZ(rot a, dS ∗ ) = (a, ds).Γ∗S∗Здесь S ∗ — ориентированная гладкая поверхность, а Γ∗ — край этой поверхности с согласованной ориентацией.Сначала мы докажем формулу в частном случае, когда a = (P, 0, 0), а поверхность задана функцией z == f (x, y).
В этом случае имеем rot a = (0, Pz , −Py ). Распишем интеграл в левой части формулы Стокса:ZZZ∗(rot a, dS ) = (rot a, n) dS = −Py cos(k, n) − Pz cos(j, n) dS =: I.S∗SSРассмотрим уравнение касательной плоскости: fx (x−x0 )+fy (y−y0 )−(z −z0 ) = q0. Нормированные коэффици-енты в этом уравнении и есть направляющие косинусы нормали. Обозначим K :=fx2 + fy2 + 1 — нормирующийfмножитель. Тогда cos(j, n) = ε Ky , а cos(k, n) = ε −1K , откуда cos(j, n) = −fy cos(k, n). Подставляя эти косинусы винтеграл I, получаемI=−Z(Py + Pz fy ) cos(k, n) dS = −SZS∂P x, y, f (x, y) cos(k, n) dS =∂yZZ∂−1∂=−P (x, y, z)εK dx dy = −P (x, y, z) dx dy =: J.∂yK∂ySz∗Sz∗В этой формуле знак «−» выбран за счёт ориентации проекции.Применим к этому интегралуне Rособо задумываясь о том, можно ли это делать.
ПосколькуR формулу Грина,Q = 0 и R = 0, получаем J = P x, y, f (x, y) dx = (a, ds), что и требовалось доказать.Γ∗zΓ∗В этом доказательстве по существу было только то, что R = 0, а для полей вида (0, Q, 0) оно вновь проходитслово в слово. Если функция допускает проецирование на плоскость (x, z), то проблем тоже не возникает.1 Речь идёт об обобщении одномерной первой теоремы о среднем на случай кратных интегралов. Её доказательство ничем неотличается от доказательства одномерной теоремы. — Прим. наб.22233.1.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
