Т.А. Леонтьева, В.С. Панферов, В.С. Серов - Задачи по теории функций комплексного переменного с решениями (1118152), страница 41
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±1m, n EN; 4) cxon11Tci:i np11 z f. ±inn, n EN; 5) cxoJlHTCR np112.76.np11lzllzl < l;6)EcJI11 pR.a;<CXO,llHTCH np11:L~Jc,,12lzl < 2;7)CXOJJ;HTCR npttzf. ±JI, II EN.cxo.a;11TCH, TO 6ecKoHe..rnoe npomBenrn11eoo cxon11Tci:i; ecJitt )f(e 3TOT pR.ll pacxonttTCR, TO 6ecKOHe4Hoenp0113Be,lleHtte MO)f(eT CXO,llHTbCH TOJlbKO nptt z= 0.Fnaea 33.5. He cJienyeT.3.6. He rnenyeT.3.8. He cJienyeT.3.16. He rnenyeT.3.17. <l>yHKUHR HeMHO)f(eCTBe zo6R3aTeJibHO 6yneT paBHOMepHO Herrpepb!BHOH Ha= Z1 u Z2.3.18.
<l>yHKUHR 6yneT paBHOMepHO HenpepbIBHOH.3.19. ,[{a, BepHO.3.21. He rnenyeT.3.22. He rnenyeT.3.26.11) ,[{AA cPYHI<Ulm sin z - 3TO MHOJKeCTBO T04eK z =X,z=(2k + 1)7T./2 + iy,k E Z, .llJIH cPYHKUHH cos z - 3TO MHO)f(ecrno TO'feK z = kn: + iy, k = 0, ±I ,±2, ... ;12) ,llJIH cPYHKUHH sin z - 3TO MHO)f(eCTBO T04eK z =kn:+ iy, k = 0, ±1,±2, ... , ,llJIH cPYHKUHH cos z - 3TO MHO)f(eCTBO T04eK z =x, z = (2k + l)n/2 + iy,k = 0, ±1, ....3.27. 10) Il:JIH cPYHKUHH tg z - 3TO MHO)KeCTBO T04eK z = x + ikn/2,= x, x f. (2n+l)rr/2, m E Z; nni:i ctg z - 3TO MHO)KecrnoT04eK z =.r + kn:i/2, xER, k EZ, k f. 0; z = x, x :f.
rrm, /11 E Z;11) z = nrr/2 + iy, 11 E Z, y :f. 0.xER, k EZ, k f. O; z3.28.12 a)Il:JIH cPYHKUHH sh z - 3TO MHO)KeCTBO T04eK zcPYHKUHH ch z - 3TO MHO)Kecrno T04eK z= x + ikrr, .llJlH±2, ... ;= iy, .: =x + ikn:, k = 0, . ±I,267OTBETbl K 3A)J.A YAM12 6) nm1 cpyHKUHH sh z (ch z) - :no MHO)J(eCTBO TO'-IeKz = iy, z = x + i(2k + l)7t/2 (z = x+ i(2k + l)7t/2), k = 0, ±1, ±2, ...3.33. 4) PasttoMeptto ttenpephrnHa B n.
n. 4), 5), 7) 11 9).3.34. I) Ilp11 mo6hIX a; 2) a < 7t/2.3.35. 1) Ilp11 mo6h1x a; 2) a< 7t/4.3.36. 3) PaBHOMepHO HerrpepbIBtta; 5) paBHOMepHo Henpephrntta;6) paBHOMepHO Henpeph!BHa; 7) paBHOMepHO HenpephIBHa; 8) paBHOMepHOHenpephIBHa.3.44. Yrnep)J(neH11e HeBeptto.I'naaa 44.7. I) Cxon11Tc.ii pasHoMeptto rrp11 lzl :Sr< 1 11 np11 lzl2: R > l;2) cxon11Tc.si paBHOMepHo np11 lzl:Sr < 1 11 np11 lzl2: R > 1;3) cxonHTC.s! paBHOMepHO Ha neH:CTBHTeJJbHOH OCH R.4.8. 1) Ecmr Re z >0, TO {f,,(z)} cxon11Tc.si np11 mo6oM a; ecJJH Re z;:: 0,TO cxon11Tc.ii np11 a:S O;cc1111 Re z < 0, TO {f,,(z)} pacxomnc.ii np11 mo6oM a;2) cxon11Tc.si pasHoMepHo Ha 0611acTH Re z ;::i:, i:> 0, np11 mo6oM a; cxo-n11Tc.si paBHOMeptto Ha 0611acT11 Re z ;:: 0 np11 a < 0.4.11. 1) Im z = O; 2) Im z = 0, xi= 2k7t, k = 0, ±1, ±2, ...
; 3) Re z = O;4) Re z = O, yi=2k7t, k=O, ±1, ±2, ... ; 5) lzl < l; 6) lzl > l;7) z = -1, -2, ... ; 8) Bc10ny cxon11Tc.ii; 9) cxon1nc.ii np11 lzl = 1, z i= l;10) Re z > O; 11) Re z > O; 12) Re z < -1.4.20. 1) A6co1110rno cxon11Tc.si np11 z = krr., k = 0, ±1, ±2, ... ;2) a6co1110rno pacxon11Tc.si seJne;3) ecmr z = krr., k = 0, ±1, ±2, ... , TO a6COJllOTHO cxonHTC.s! npH JJI060Mp; ecmr z i= kn, TO a6co1110rno cxon11Tc.ii np11 p > l;4) a6co1110rno cxon11Tc.si np11 p > I nm1 mo6oro z, rrp11 p:S1 a6co-JJIOTHO pacxon11Tc.si seJne;5) a6co1110rno pacxon11Tc.ii seJne;6) a6COJllOTHO cxonHTC.ll rrpH z = ik1t, k = 0, ±1, ±2, ...
;7)lzl<l;8)lzl>l;9)lzl=l;IO)Rez<-1;11) np11 z = irr.k, kEZ, cxon11Tc.si a6comorno np11111060M pE R; np11 z =iy, y i= nk, cxonHTCll a6COJll-OTHO npH p > l;12) ecn11 z = iy, TO a6comorno cxon11TCll np11 p > l ; B 111060M npyroMCJJ)"1ae a6co1110THO pacxon11Tcll;13) Re z < 0.4.21.I) Cxon11Tc.si paBHOMeptto Ha oTpe3Kax nei1crn11TeJ1hHOH npl!MOH s11na2rr.(n - 1) + s :S x:S 2nn - s, 0 < s < rr., 11 =0, ± 1, ±2, ...
;268OTBEThl K 3A)J.A YAM2) CXO.ZU!TCl! paBHOMepHO Ha 0Tpe3Kax neiiCTBHTeJibHOH npl!MOH BHlla2n(n - 1) + i: S x S 2mr -i:, 0< i: < n, n =0, ± 1, ±2, ... ;3) CXOJlHTCl! paBHOMepHO Ha neiiCTBHTeJibHOH OCH;4)Rez2:e,i: >0;S)lzl=l;6) pllll cxonHTCl! paBHOMepHo Ha Bceii KOMnneKcHoii nnocKOCTH C, H3KOTOpoii ynaneHbI Kpyrn c uempaMH B TO'!Kax z =-1, -2, ... , panHyca e > O;7) lzl ~ R > l;10) Re z 2:8) lzl S r < 1;i::, i::9) lzl S 1/2 -£,0 < e < 112;> O;11) CXOllHTCl! paBHOMepHO Ha OTPe3Kax MHHMOH OCH2n:(n - l) + e S y S 2mr - e, 0 < i:: < n, 0 < p < 1,npHp>1 CXOJlHTCll Ha Bceii MHHMOH OCH Re z12) npH 0 < pS=0;l cxonHTCll paBHOMepHo Ha OTPe3Kax MHHMoii ocH2n:(n - l) + i::SyS2mr - i:, 0 < i: < n,rrpH p > 1 CXOllHTCll paBHOMepHO Ha BCeii MHHMOH OCH Re z = 0.4.22.
He cnenyeT.4.23. He cnenyeT.4.27. <I>yHKUHllj(Z) onpeneneHa Ha MHO)l(eCTBe iz + ll > l H l!BJil!eTCl! HaHeM Herrpepb!BHOH.4.29. <DyHKUHll j(z) onpeneneHa Ha BCeii KOMnJieKCHOH nJIOCKOCTH C,=±in, 11 EN, H Ha o6nacTH cyJ.UeCTBOBaHHll HerrpepbrnHa.4.30. Pl!ll cxonHTC51 npH z = 0 H Re z > O; Ha o6nacTH cxonHMOCTH cyMMa p51na paBHa 0.4.31. 06nacTb onpeneneHHll 9-cjlyHKUHH Re z > 0.4.32. 06nacTb cymecrnosaHHll cyMMbI pllna !Im zl < In 2.4.37.
Yrnep)l(lleHHe HeBepHo.4.38. 1) .[(a, cnenyeT; 2) HeT, He cnenyeT.4.41. IlpH z 0 6ecKOHe'IHOe rrpOH3BeneHHe MO)l(eT KaK CXOllHTbCll, TaKKpOMe TO'IeK z*H paCXOJlHTbC51.4.44. 1) jzj < l ; 2) z EC, z # ±4) z EC, z # (2k+l)mr/2,1111, 11EN; 3) z EC, z #-n, n EN;EN, k = 0, ±1 , ±2, ...
;5) z E C, z =kn:, k = 0, ±1, ±2, ... ; 6) jzj < 1.4.53. He cnenyeT.4.54. He cnenyeT.I'naea 55.1. 1) HeT;2) HeT;4)(0, O);6) {Re z = 0) U (Im z = O};7) reoMeTpH'IeCKOe MHO)l(eCTBO TO'IeK z = x + iy, TaKHX, 'ITO x = y;269OTBEThl K 3A.LJ.A qAM8)9) C; 10) z =x + i/2,x ER; 11)HeT;C \{0}; 12) 0; 13) 0;14) C \ {-die}.5.2. 1) nz"- 1; 2) (P'Q - Q'P)/Q 2 ; 3) ez; 4) ie;z; 5) cos z; 6) -sin z;7) sh z; 8) ch z; 9) cos- 2z; IO) -sin- 2z;11) ch-2 z;2112) -sh- z; 13) ez cos ez; 14) e-z (nz"- - z"); 15) (l-l/z 2)/2.5.7. HeT.5.22.1)!El.2z ,5) _I .2z'E.u.z '2)2Ilz-al6)zlP3)-epl:I_.22Z-a-b4)-=======2~1 z - a 12 + I z - b 12'z ,a-b7)2 I z-bl (z-a)(z-b)_!_Ej_I_2.2 z l+ I z I5.25.~ln(z+~z 2 -l);l)arccosz=I2)arcsinz= !1n(iz+.J1-z 2);l3)arctgz= _.!_ln(l-z)/(i+z).2i5.26. Ycn0Bm1 Kourn-P11MaHa5.27.
l) O;BbmOJIHeHbI.2) n/2 +kn, k = 0, ±1, ±2, ... ;3)Her;4) O;5) ±1.5.28. l) z E C: z = x, x E (0, + oo)};2){z:Z= X,XEu~_,,__ (-Jr+2 2n7r, Jr+2 2nrr)};ad - bead - be}3) { z : Re, > 0, Im=0 ;2(ez + d)(ez + d)4) JI)"IH, BbIXOMIUHe 113 TO'-IKH 0 no.n yrJIOM 2krc/(n-l), k = 0, l , ... 'n-2;5) {z: z=iy, y E R\{O} }.I'naea 66.5.
l) i; 2) 2i.6.6. -Si/3.6.11. 27rp !(I p1-I a 12 1).11+!6.12. l) !!__ [(-lyi+ 1-l],11E N;n+l6.33.2) O;3) 0.270OTBEThl K 3ALlA lJAMp<l)PaBHOMepHa51 cxo)lHMOCTb Ha MHO)!(ecrne0<2)paBHOMepHa51 CXO)lHMOCTb Ha MHO)!(eCTBe0<£::::: Re z3)paBHOMepHa51 CXO)lHMOCTb Ha MHO)!(eCTBe0<£::::: Re z :::::4)paBHOMepHa51 cxo)lHMOCTb Ha mo6oM OTpe3Ke [a,HOH ocH,0E[a,Re z ::::; a< oo;PJ:::::2 -£;l - s;aeHCTBHTeJib-PJ;5) paBHOMepHa.11 cxo)lHMOCTb Ha MHO)!(ecrne {Im z 2 0, 0 < r ::::; !zl ::::; R}.6.36.l) BC51ITJIOCKOCTb c pa3pe30M ITO OTpm.(aTeJibHOH qacrn )leHCTBHTeJib-HOH ocH;2)BC51 ITJIOCKOCTb c pmpe30M no )leHCTBHTeJlbHOH OCH(-oo, -1] H [l, +oo);3) BC.H rrnocKOCTb c pa3pe30M no OTPHUaTeJibHOH 'IaCTH aeHCTBHTeJibHOH ocH;4)5)BC51 nJIOCKOCTb c pa3pe30M no nyqy arg z=7r +a;BC51 ITJIOCKOCTb c pa3pe30M no BepxHeH ITOJIOBHHe 0Kp)0KHOCTHlzl = l.6.37.1) Re6)Rez > 0; 2) Re z > 0; 3) Re (z - a)> O; 4) Re z > 0; 5) Re z > O;z >Re lool; 7) Re z > Re jooj; 8) Re (z - a) > O; 9) Re (z - a)> 0.cosaz6.38.
1) - - - ;asm az2)--;aea:3)-;aea:a- +be"=ea:6.50.chaz5)-;a7) - , - (bsin bz + acosbz);a- +b 28) - 2- (achbz-bshbz);a -b 2Jiiae":.6) - , - (asinbz-bcosbz);26.49. - e2shaz4)-;9) - , - (ashbz-bchbz).a- -b 2-b'JiiJ+= cos x- dx = 1- sm. x- dx = 2v2??00r;;.6.51. n/2.6.52.+=Sin 2"+!(-1)" Jrf --dx=--XJo~,\-?:!11+1x [ 1- (211 + !) +(211+1)211l ·2+ ... +(-1)" (211+1)211 ... (11+2]II!.271OTBEThl K 3AllA 4AM2r-sin "ax-sin6.53. J,ox6.54. I1p11 n = 1:f2"-sinxIn(~;r--dx = -; rrp11 n 2.
2 :0xx6.59.a(211)!!f:(sinx)"dx =6.58. 1-cos2"o/Jx dx = (2n-l)!! lnl/31-2L" 1l(-l)k2 (n-l)!k<1112c,: (n-2k)"-i_ax-cos2" /Jx dx=[l (2n-l)!!lnl/31]x(2n)!!aI a).1 ea + 1 16.64. - - - - - - .4 e" -1 2a6.65. n:(e" - 1) I 2.FnaBa 77.4.
1) n: I 3; 2) -n: /3; 3) 0.7.5.y co,.a;ep)!(HT BIIyrpH cefo TO'-IY 0 H He co,.a;ep)!(HT 1 H -1,-2n: i; eCJil1 y co,.a;ep)!(HT TOJihKO o..a;Hy 113 TO'-!eK -1 HJIH 1H He co,.a;ep)!(HT TO'-IKY 0, TO HHTerpaJI paBeH n:i. 3tta'-!HT, 11HTerpaJI MO)!(eTrrpHHHMaTh TaKHe 3Ha'-!eHHH: -2n: i, -n: i, 0, n: i, 2n: i.EcJIH I<JJHBaHTO HHTerpaJI paBeH7.6. 1) n: (e - e- 1);3) n: i (e - e- 1); 4) O;2) 0;15) -n:i/4;8) n: i/2; 9) 2n:ie"(l + a/2).6) (-1r 2n: i(a - bf"; 7) -n:i cos i;17.7. 1) O; 2) a- sin a.7.8. n:i(l + i)/(2°'12).EcJI11 n = 1, TO He 6oJiee 2;7.14.
1) 2/3; 2) l - 2i/3.7.11.n > 1,ecJI11TO He 6oJiee2" - 1.7.17. ECJIH a* b , TO HHTerpaJI paBeH 2n:ilf(a) - f(b))/(a - b).7.24. n: (R 2 - r 2)f(O).1z-1 +11-z l7.50. F(z) = - i n - ; F-(z) = - I n - ± - ;2Jri z + 12Jri 1+ z 211- zF(z) = - i n - , ZE (-1,1).2;ri 1+ z.!_(1n~) ;27.53. l)-x2 +x-7/2; 2)7.54. EcJIHjzj>I11 z2z-13).!_(1n-z-)1-z2rt y, TO HHTerpaJI paBeH22-;r2.272OTBETbl K 3A}J,A l.JAM1zR+z- l n - L n - - + F(z),2niR- zz-1r.[(e F(z) - aHanHrntJecKa.SI cpyHKUH$1 np11 JzJ > 1,R+z. { arg(s- - z) - arg S-}Ln - = In IR+zl- - + u:lrR-zR-z0,[(H03H3lJH3$1 BeTBh B z-nJIOCKOCTH c pa3pe30M B,[(OJlh y, onpe.[(eJI$1eMaS! 3Ha1.femieM Ln I = 0.Diana 88.2.
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