Т.А. Леонтьева, В.С. Панферов, В.С. Серов - Задачи по теории функций комплексного переменного с решениями (1118152), страница 42
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l)R= I; 2)R=oo; 3)R=e;7) R =I; 8) R = l;10) R=4)R= l;9) R = 1, ecm1 Jal::::; 1, R111) R = e- , ecnH Jal::::; l; R1e- ;5)R=0;6)R= I;= JaJ-', ecn11 Jal> l;= 0, ecnH Jal> I.8.3.I) R= 1, npH a~0 pS!.LI pacxo.[(HTCS! Ha rpaHHUe Kpyra CXO.LIHMOCTH,==npH a< 0 CXO.L\HTCS! np11 Bcex z i~. <p =I- 2mr, n 0, ±1, ±2, ... ;2) R = I, PM pacXO.LIHTCS! npH Bcex z = eiq>' <p = (2n+ I)n, n =0, ±1, ±2, .... ;3) R = 1/4, pS!.LI pacxo.[(HTCS! Ha rpaHHUe Kpyra CXO.L\HMOCTH;4) R = oo;5) R = oo;6) R = l, PRU CXOllHTC$1 Ha lzl = 1.8.6.
I) R~min (r"'rb);2) R~r"rb;3) R::::; r" I rb.78.7. 1) -~-,, Jz J< l;(1- z)-11+ z21-z2) -ln(l - z), Jzl < !;3) - · I n - , I z I< l;1 - =I8.14. 1) - 2(1- z)-11 1=4) ln(l + z), lzl<I.nz 11-I , R = 1;(-1)"(21) z, R =1;= I -_0 - n+ )(11+212) - (1 + z) 3IIII--°"'- a-(-1)" 211 , R-JaJ·3) - ,1- , - L.11=o~z,a-+ z-4)12, , =I-_ 0 (-l)"(n+l)z ",R=l;(l+z-)-,,_1 = L°"'~..u1=0Z 211 ' R = 1;1- z1311, =I-_ (-l)"(11+l)z ,R=l;6)105)--1(1 + z·)-II-273OTBETbl K 3ALlA YAM11l="- .!.(1+(-l) )z 211 R=l(l-z2)(4+ z2) L..11=0 5411+1'.7)s.1s. 1)-1-.
=(1- z)""L.. -,_!!___,.Iz I> 1;11 = z11 +_ l _ = " - (-1)" (n+l)(n+2)2) (1 + z)J L..11=0 2z11+3'Izj>l·'2111- (-1)" a3) a2 + 2 = L11=0 2c11+1J • I z l>I a22I;1- (-l)"(n+l)4) (l + z2 )1 "jzj>l·•- L..11=022c11+2> •5) -1- - - "L.,, - - 1 I z I> 1 .1- z2 n=I z2" ''61- " - <-1)" <n + 1) I I> 1·) (l + 3)2 - L..11=0Jc11+2>• z•27)21(1- z2 )( 4 + z2)8.16. 1) e' = L~=o11)211,Tl.1z='°'-3) cos z ='°'-2) sin- ( 1 (-1)" 4="L..11=0--5 + 5R =oo;2n+l(-1)" zR = oo·L.. 11 =0(2n + 1) !''L..11=011 z2"(211)!'(-1) - - R = oo·'2ft+l4) sh 7 =~z- - R =oo·L: -ll= (2n+l)!''05) chz="-~L..11=0(211)!'R=oo·'6) sin 2 z = "- (-1) 11 + 1L..11=17) cos22211-I z 211 R =oo·(2n)!''2211-I21111z = 1+ "(-1) - - zR ='""L..n=I(211) ! ''1- , I z I> 2 .z2<11+1>274OTBETbl K 3A.[(AYAM- 211/2/!Jr8) e- cos z = L - c o s - Z11 R =oo·11=0 1l !4''- •9) e-sm- 211/2 •/lJLz = L 11=0 -n!s m -4 zIIR =oo·,,z-,R =oo·i t;' = L11=0(2n+ l)n!''=sin t;'(-1)" z211+111) i0 -di;-=_L 11 0R=oo·i;= (2n+l)(211+l)!''211+110- e•- d) o12) r= di;- = ~- (-1)" z11+1 R = 1·Jo 1+ t;' L,,11=0 11+1 ,,13) r= di;-, =Jo 1+ ;-L-11(-1)" z2,,+1, R = 1.=0 211+18.17.1~(n + 1)IIII II1) (1-z)2 =L,,11=00-zo)"+2(z-zo)' z-zo< l-zo;12)--.!.~- (-1)z2- l - 2 L,,,,=o111((z -1)"+ 11-(z 0 +1)"+ 10Jcz-z )"0'lz-zol < min(IZo + ii, IZo - ii);3)-1-=~~(-1)11(1z2+l 2iL,,11=0(zo-i)11+11(zo+i)11+1)cz-7~o )" 'lz-Zol < min(IZo + ii, IZo - ii).8.18.1)R=~2-J3,lz-il<~2-J3;2)R=oo,lzl<oo;4) R =min{ la - ii, lb- ii}, lz - ii< R.3) R = '12, lz- ii< '12;8.26.
1) f(z) = I~=o21111.1=e=,Iz1<00;7211+1= arctg ~.I z I< 1;211+1(211)! Z211+I.3) f(z)=L -o ,,=arcsmz,lzl<l;2-ll (11 !)- 211+1211- (-1)"4) f (z) = L11=0 ~ (l1!) 2,IZ1<2) f(z)= I~= 0 (-l)11-~-II-z00;275OTBEThl K 3A.[(AYAM8.46. 1) Hyrr& nopJUlKa/1+ m;2) Hyrr& nopll.llKa k ~ min(n, m);3) ttyrrh nopMKa n - m, ecJIH n > m; nomoc nopMKa m - 11, ecm1m>11.8.47. 1) Ilopll.ll,OK HyJrn paBeH 2;2) nopJI.llOK HYIDI paseH 4;3) nopll.llOK HYJIJI paBeH 3;4) rropJI.llOK HYJIJI paseH 15.8.48.1) Hym1z11 =rr.11, /1 = 0, ± 1, ± 2, ..
. - Hym1 rrepsoro rropJI.llKa;2) ttym1 z11 = (211 + l)rr./2, n = 0, ± 1, ± 2, .. . - HyJm rrepsoro rropJI.llKa;3) ttym1 z11 = nni, 11 = 0, ± 1, ± 2, ... - Hym1 rrepsoro rropJI.llKa;4) HyJm z11 = (2n+ 1)rr./2, n = 0, ± 1, ± 2, ... - Hym1 nepsoro nopJI.nKa;5) Hym1 z11 = 2rr.11i, n = 0, ± 1, ± 2, ... - eyrr11 rrepsoro nopJI.ll,Ka;6) HyJm Z11 rc/2 + 2nn + iln(2±.Y3), n = 0, ± 1, ± 2, ... - Hyrr11 rrepsoronopJI.nKa;7) Hym1 z11 = rr./4 + n n, n = 0, ± 1, ± 2, ... - Hyn11 nepsoro nopJI.llKa;8) Hyn11 z 1 = 3i, z2 = -3i, Hym1 nepsoro nopll.llKa;9) Hyn11 z11 = 1 I (n n), n = ± 1, ± 2, ...
- Hyn11 rrepsoro nopll.llKa;10) ttym1 z11 = 21 (n: (2n+l)), n = 0, ± 1, ... - ttym1 nepBoro nopH~Ka;=11) z,,.k = 11 (kn+ (-1/ arcsin(l/ 11n)), 11 = ±1, ±2, ... , k = 0, ±1, ±2, ...- Hyn11 rrepsoro rropJI.nKa;12)z11 .k=l/(2krr.±arcsin2n(2n + !)). k,n=0,±1,±2, ... -HyJmrrep-soro rropll.llKa.8.50. 1) He cyil(ecrnyeT;2) He cyil(ecrnyeT;3) He cyil(ecrnyeT;+ I);5) He cyil(ecrnyeT;6) fiz) = z/(z + 2);4) fiz) = l/(z7) fiz) = z2;8) He cyil(ecrnyeT.8.54. 1) CyMMa pJI.na aHan11Twrna Ha C-nrrocKocrn , 3a HCKJIIO'leHHeMTO'leK z=±in, 11 EN;2) pll.ll CXO.llHTCJI Ha C-nnocKOCTH, HO cyMMa pll.na He JIBnJieTCJIaHanHTH'leCKOH cpyHKUHett.8.56.
<PyHKUHJI 8(z) aHanHrnt.IHa rrp11 Re z = 0.8.57. 06nacTb aHan11rnt.IHOCTH - ropmOHTamHaJI nonocalYI <In 2.Dzaaa 99.16.l)Vi<lzl<2; 2)1</z/<3; 3)0</z+l/<+oo;5) lzl = I;4)e-a</z-l/<ea;6) pll.ll pacxo.n11TCJ1 B Ka)!{.llOH TO'-!Ke z E C ;7) lz/ = 1;276OTBETbl K 3A.[lAlJAM8) 1/9 :S lzJ :S e; 9) 0 < lz - z0 1 < oci; 10) lzJ > a; 11) jzj > 2 I -JS ;12)0<Jzj<oci; 13)jzj>O; 14)0<jz+lj<3; 15) 14<jz-lj<2.9.17.1) D:orrycKaeT;2) .JJ,OrrycKaeT;3) He }lorrycKaeT; 4) He }lorrycKaeT;5) He ,ll,OITyCKaeT; 6) He ,ll,OITYCKaeT; 7) He ,ll,OrrycKaeT.f(z)=2,~=-a 11 (z-z0 )", m9.20.Ec1u111f(z)=2,~=-c,/ "',r}le1 J2Jritp-illi= - 0 f(z 0 +pe )e "'drp,,z-z 0 =pe '1',r<p< R,r,R-paJlHYCbI2trKOJihUa CXOJlHMOCTH pHJla JiopaHa, r < lz - z0 1 < R.C119.23.1z-az11-l)--=2,11=0-----;;:;:(•lzl<a,a12) (z -aL~=1 a~.+113)_1, lz l<lal, (z-a11],,11)2=L~= 0 (n+l) z~+ 2 •1lzl>lal;111~=-2,~=oL~=o z~11+l)'lzl>lal;z -aa ~<11+1J'lzl<lal, ~=z -a~((n+l)a2b22an +(n-1)) jzj<Jbl4 (z-a)2 = a2 + "" ) z- bb 2 L..n=I b"z-a(az11-I11)2 =1z-a--='L,,=o----;;:;:I•lzl>a;2z -b ) = 1+L -.b=-i11b,,z"+ 2 (a-(n+ 1)- 2a(n+ 2)b + (n+3)b-),119.24.1(1- z)(2 + z)1=1(1- z)(2 + z)J} IzI(-1)z 11 [ -1 ( 1 +-L 11=03211+!-<1'1 (- -z"- l )3 .f:o c-2r -.f:a" "z"+'- ' 1<171<2~'- - - = - ""(1-z)(2+z)'1=.!.""_l_[(-1)112"-l] 171>?3 L..,,=o ~ 11 + 1' ~-·11311 +S (- l) 11 1(-1).9.25.
1) L..n=O 9. 211+2 (, + L..n=O (z -1)''+1 ,""=l2)-9L n=O9""=111(-1) + (11+1)( z-1)11+2-(-1) 11 +1-2 11 +1+Ln=O 27. 2~11+3111(z- ) ;,Jzl> lbJ.277OTBETbl K 3A)J,A YAM11" ~ (l-n)(-i)18 19"~8 (113) ~11=0 (z -i)11+1 ; 4) 3(z +l) -9+ 27(z + 1)- ~11=2 311+2 z +1) ;1-(-4) 11· 6)11=0 z211+2 '1=sIs)I~11·11=0 z11-3 n ! 'I1)~c11=12111[ -I1l)" (211- l) ! z211 -3 ·'8) (z - 2) 3 + 6(z - 2)2 + 23(z - 2)/2 + S ++"~2~ll=I(-l) 11 (48n +72n+23) +(211 + 2) !( z - 2) 211" ~ 2(-1)" 16n +24n+5.n=I (21l + 2) ! ( z - 2)2'' ! '2+~1z 2 "~ (2 +-+1 .. . +(n+-1 l)!-)2!9) - + + ~ 11 IZII ;=0i )"~e-11 2~11=0c- 2 r+Il(IIz-)" ~ ("~c-V+ ~k=I ~11=0 2 11+1c 11 +k)! +111+C-l)k-1 L:k-1 c-1) )-1-.m=o m!9_26 _ 111cosl _ (-1) .
sinl).(2n) ! z 211(211+1) ! z211 +l 'L= [ (-1))11=0(z -ll11•4)S)9.27.1) zz= ro -L~11 =0 c11 z11I~=O=. z =Ji- (l-1),.22) ::: 1 =-(1+1),2411 +(-1) 11 +1z 2(11- 2)51+ L:~11=1 c-11 z-11 ' c=c= l:~./1- 11k=O k !(n + k) !0 - rromoc nepsoro rropll.llKa , zy cTpaH11Mall oco6all TO'iKa ;Ji11== ±1 - nomoc nepsoro rropll)J.Ka,Ji.
z. =-(-l-1)J2.;2:::1 =-(-1+1),.2ecTb rromOCbl nepsoro rrop51.UKa, z ro - ycrpaH11Ma5! oco6a51 TOl!Ka;3) z i - rromoc rrepsoro rropll)J.Ka, z ro - cyw.ecrneHHO oco6all TOl!Ka ;4) z OC) - cyl.l.(eCTBCHHO oco6all TO'iKa;=5)=Zt = 2rrki, k = ±1 , ±2, . .. -paH11Mall oco6a51 TOl!Ka, z=ro -=noJIIOCbl nepsoro nopll.llKa, zTOl!Ka HaKorrJieHHll nomocos ;=0 -ycr-278OTBEThl K 3A,ll,A 4AM=1-6) zcymecrneHHO oco6all TOqKa, z=w- ycTpatt11MaJ1 oco6al!TOqKa;7) zk = 2nki, k = 0, ±1, ±2, ... - rromocbJ rrepBoro rropll,n:Ka, z = w TOqKa HaKOTIJieHHll TIOJIIDCOB;8) Zn = 2rrn, a of.
nl2+nm, 111, n = 0, ±1, ±2, zk = n - a - 2krr, k = 0, ±1,±2, ... - rrorr10cb1 rrepBoro rropl!,n:Ka, z = w - ToqKa ttaKorrrremrn rrorr10coB;a = rr/2+nm - rromoc BToporo rrop5!,n:Ka.9) Zn= rcn, n = 0, ±1, ... - cymecrnetttto oco6b1e ToqKII, z = w - He H30m1p0Battttasr oco6asr T04Ka.9.30. ).J,rr51 cpyttKu1111.f(z) HHTerparr ,UOJI)l{eH 6hITb paBeH HYJIID.Ecrr11 cpyttKUHSij(z) HMeeT TQqKy z = w cyll\eCTBeHHO oco6oi1 T04KOH, TOcpyHKUII5! F(z) HMeeT T04KY zw TaK)l{e cymecrnetttto oco6oi1 T04KOH.Ecrr11 zw - rrorr1Dc rrop5!,n:Ka k .UJI5! cpyttKUHH .f(z), TO z w - nomoc nop5!,n:Ka k + 1 ,UJI51 cpyttKUHH F(z). Ecrr11 z = w - yCTpatt11Ma5! oco6a5! T04Ka.ll:JI51 cpyHKUIIHj(z), TO z =CJ:) - yCTpaHHMa5! oco6asr T04Ka HJIH TIOJil{)C nepBOro nop5!,n:Ka .UJI51 cpyttKu1111 F(z).===9.31. 1) az + b, a of.
0, 11rr11 (az + b)!(cz + d), ad - be of. O;2) p(z) = ao + a 1z + ... +akz\ ak of. 0, 11rr11R(z) = (a k-· )k +z-aa_k+1(z-a)k-l+ ... +au,a_k;e0;l1.J111b +--+a, ... +---,a,,_, a,al' ... ,a,,_ i= 0, a;i=arR( z) -az+1z-a1z-a,,_ 19 .32. l) Y CTpatt11Ma5! oco6a5! rnqKa;2) TIOJIIOC nopsr,n:Ka kn, CCJlH T04Ka Zo CCTb HYJlb nopsr,n:KacpyttKUHH cp(z); npH 11 = 0 - TIOJl!OC nopsr,n:Ka k;3) cyll\CCTBCHHO oco6asr T04Ka.9.42. ,llm1 a= w yrnep)l{.uem1e tteseptto. HanpHMep, g(z)/1,UJ15!= ez,j(z) =-1.9.44.
Yrnep)l{,n:ett11e HeBepttoe.Dul6a JO10.3.I)p=O; 2)p=l; 3)p=l;4)p=l; 5)p=l;6)p=l;7) p=p; 8)p=w; 9)p=w; lO)p= I; ll)p= I; 12)p=w.279OTBETbl K 3A,[(A 4AM10.4. 2) a= l;3) a= l;4)cr=ja0 j;6) a= l;7) a= l;10) a=5) a= l;.f2.;11) a=J2.10.5. Ecm1a;=0,-1,-2,. . ., TO p = 0; B rrpornBHOM cey•-rne p = ll(l+q-p).10.6. 8) p =kl(k - 1).10.12. l)p=a- 1,cr=A; 2)p= l,cr=e- 1;5) p = a, a = O;6) p = O;3)p=a,cr=a:i;7) p = 1, a = 1.4)p=O;10.15.
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