Т.А. Леонтьева, В.С. Панферов, В.С. Серов - Задачи по теории функций комплексного переменного с решениями (1118152), страница 44
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;20) res j(z) = - res j(z) =z=ooz=oo.-Sin2[-L421111 1= (2n-1) !(211) !+-L4211 +111 0](2n) !(211+1) !=.12.10.1) ±1 ;i2nan2)-2e3) 4, ecn11f1.f1, ecn11 vl = 111 Ln 1=2mn; 0, ecn11 vl = -1;.Js - zl:=I= -2; 0, ecn11.Js - z l:=I = 2;4) -3, ecn11 Ln( 1 + z)iz=o= in, 0 ,ll,JUI ocTanbHhIX sernei1 Ln( 1 + z);7) ±(a - b) 2/8;6) a - b;5) 2;8) res j(z) = 0, ecn11/1z=O2: 0, res j{z) = Ln (alb) , ecm1/1z=Oa11+I - b11 +I= -1, res j{z) =z=Oa11+l - b11+ I- - - - , ecn11 n :S -2, res j{z) =n+lz=n+l, ecn11/12: 0, res j{z) = -2nik,ecn11 n = -1, Ln 1 = 2nik, res j{z) = 0, ecn11 n '.S-2;z=9) e010) -11 Iim -1~-2z-, - z-'3 :->- z-l;12.11.1)-i1lFL.;1l2)-J2.C-l+i); 3)ni; 4) 27) -2ni cos l;8) lOni;9) 0;10) 2ni;lli121 ;5)0;6)2ni;11) -(sin l + cos l) 2ni.12.13.l)2;rr.;02 _2;rra. 2). 3)'(a2-b2) 312'11l-J2.'.2;rr2;rr4)-,, jaj<l; - - - , , JaJ>l;1-a-1-cr2;rr;rr5)-,ecn11112:0, 0,ecmrn<O; 6) -(1-~);11 !a1+ a 47) ! l - - , ;1-a-286OTBETbl K3A~A 4AM) sin(n(b-a)/2).f(a+l)·r((b-a)/2).812"+ l((a+b)/2+1)2n(-10) 0, ecnH n = 2!,li a,)9 2'n(--i)";221 1+, ecnH ll = 2! + l;I-a-ll) ecnH 11 = k + 2t, t :'.::: 1, TO HHTerpan paseH 2n, B mo6oM npyroM cnyqae HHTerpan paseH Hymo;12) nl;13) 2nq\k14) nl;15) - 2nq lk.12.16.1) -n/27·,n5).J2 n/2;2)ab(a+b)3) 11 > ..!..
J;i,2' 2rcn -1/ 2).4) rc/(4a);(n-1)! '; 6) _n_; 7 ) n si~(n/2n); 8) rrl·3· ... ·(2n-3);11nsin~n sm(rr/n)2 (n-l)!/l9nl) 32 a 312 b 512;10)a_11 2nFa1·3· ... ·(2n-3). ll) ln.Jb 211 (11-l)! 'n · m+lsm--rr1112.18.1)4)Jr31e-·(cosl-3sinl);n2:3ng;5)2)1[2e.l-sm.fi.;-11.fi,n,2(b- -a-)lO)n:a/2;1[4-a 3 (a+l)e";6) :rr(e- 1 -T 1 );7) _!!_ (1- e-ab )· _!!_[1-(4 + ab)e-"b]_2b 2, 2b 4'9)3)8)(e-"Jr2c/3-a);e-b)n _" (a+l)- - - ;np11a=b11HTerpanpaseH -e - ;ab4a3ll)n:/3;12)n:/4;13)n/4;3814)-lnla!/JI.12.19.l) 2n:i sin t;2) O;i1l3) -(l+t)e-';25)1,ecn11a>l,O, ec11110<a<l; 6)lna,ecm1 a>l,O,ecn11 O<a<l;7)lrrpH/1;In" t8) - - , ecm1 t> I; 0, ecm1 0II!> l 11 Yi rrp11 n = l;n(I+a)9) t''!n !.< t< l; ecn11 t= l, TO 0287OTBETbl K 3AJJ,A YAM12.23.1) ni sgn a; 2) n (2 sin 2 - 2 sin 3); 3) - 1la5) ; [sin I a I +exp(- I a4) ni sgn (Im/;);~+a-i .J3 I 2) (sin I% I+.J3 cos%)];21li ( ;~;-)7) - - e' -e- ;i1l6) --[sgn(lm~)-sgn(lmz)];~-z9) ni;___i___,;8) in sh/;;~-z11) na sgn a;10) -ni;12) 0.12.25.1) ±2n; 2) -2in, ecm1 In (z - 2)iz=l= -ni, TO 0, ~JUI OCTaJlhHhlX BeTBeHIn (z - 2); 3) -2in cos 1, ecm1 In (z)j,= 1= ni, H 0 ~JUI ocrnrrhHhIX seTBeii In z;4) 2in (211+ 1), ecm1 arctg (z)j,== n/2 + nin, 11 E Z;5) in, ecJIH-J4z' + 4z + 3 > O rrp11 z > 1; -in, ecn11.J4z' + 4z + 3 < O rrp11Z> l;6) ±2in;12.27.
1)7) ±in(b - af/4;A.a-i---!!----;smanTC3)--2cos p1l·25)----·sin p;rr sin ,1, '7)1l sin(ln 2)l(p)cos p;rr12.29. 1) - - - - =2al'1 (lJ1l4) -1 - cos-;pp2pJrJZ'(l- p), npwp= 1 HHTerpaII paseH l/2;4cos pn2;rrell6)--·--2 ch(;rr I 2)11l8) n . m +1sm--;rrn.4ch(n/2)'12.30. 1) -.- ;sm pn9) ±2in(a - b)b.2) _n_:t(-l)k-Ika-1.sin an k=I(k -1) !(n -k) !'4)sin pA;rr8) ±2in;2) 0;f(p)sin p;rr2 ) - - -2-a''5) cos A.;3) n:/4;r(3) -11p-J.1 sm-;Jrp2p6) sin A..4) n ctg pn:;5) n ctg pn:;288OTBETbl K 3A)J:AqAMTrplr6) -ctg - ·22 'TrTr7) -th-.28) n th 2n;2'1Z'(l - 2a-l)9).sm a1Z'np11a '# 1, In 2 np11 a= 1;1Z'TrCX2210) - t h - .12.31.1Z' In a1)--;2a24) 1Z'aa-i (-ctg1Z'a116)--+1-aln a'8)Traa-1Jr- )ln 2 a +2a42) -Tr (;~ J;sm TraIn a+ .a=l /=112·''3)-.--On a -TrctgTra);5)!._(ln-a-)smTra27)2a+l(TrTrTr( -3 ln a - 1 - -3Jr) ;2a 3 -Ea_ 241+ a 2' )2a In 2 a+:-ln aTr2 a -4Tr9) --::, ; 10) -In2., +-131a, -12.32.I) 1Z'p(l- p); 2) _Tr_(2P 12 cos pTr23-p sin pTrsin pTr4-1)·3) a(l-a)_Tr_.'sin cm'2[ ( )"]Tra5 ) - - 1- sin pTr1+a6)Tr pa" - 1TOI=-.-Tr-bp-I (bp!i1l=-Trb"- (1-b)P-ctgpTr;-w,eCJUITr9)1112.47.
O.u11H'Jsm12.44. Ci-1ernoe.p1Z'p1Z'7) - .1Z'- - ( s. m-+cos--1 ;sm pTr22.sin pTr (1 +a )p+i '8) ecJrn b ~ (0, 1),'sin (Jr In)'b E (0, 1),10)0;TOll)n2•q11c110 Hy11ei1.npocrni-i HYJib.Diana 1313.6.1) IIp1111=2 O.UHOJIHCTHa B 0611aCTI1, B KOTOpOH HeT TOlfeK Zt.Z2, Z1 = -z2;2) O,UHOJIHCTHa B 0611aCTI1, B KOTOpoii HeT pa:mttlfHb!X TO'-leK Zi, Z2, Z1Z23) O.UHOJIHCTHa B 0611aCTI1, B KOTOpoi-i HeT TOlfeK Zi.Z2,Z1=Z2+2kni,k= ±!, ±2, ... ;= I;289OTBETbl K 3A,UA YAM4) OJJ.HOJI11CTHa B 06nacn1, B KOTOpOH Her pa3JIWIHblX TO'leK Zi, Z2,z 1 =-(-l)"z 2 +mi:, ;11= ±1, ±2, ...
;5) OJJ.HOITl1CTHa B 06nacr11, B KOTOpOH Her pa3ITl1'lHbIX TO"!eK Zj, Z2,Z1 = ±Z2 + 21111:, /1 = 0, ±1, ±2, ... ;6), 7) 0.D;HOITHCTHa B 06naCT11, B KOTOpOH Her pa3ITl1'IHDIX TO"!eK Zi. Zz,z 1 = z2 + n n, 11 = ±1, ±2, ....13.18. IlycTb a, b E R 11 a > 0.1) w = az + b; 2) w = -az + b; 3) w = -i(az + b); 4) w = az +bi ..jl;k2(z-ib,)exp(-i(n 12 + arctg k)).b1 -b,13.20. w = eiaRz +w0 .13.19. w =13.21. Ilycro w = u + iv, ror.na:1) ceMeHCTBO npHMbIX u = a- 1;2) ceMeHCTBO npHMbIX v = -b- 1;23) ceMeHCTBO OKpy)[(HOCTeH b(u + v2) + u + v =0 11 npHMaH u = -v;4) ny"IOK npHMbIX v =-ku;5) rry"loK oKpy)f(HOCTeH, npoxo.n;l!m11x qepe3 Ha"!ano Koop.n;1rnar 11 qepe3 TO'IKY Wo = (xo + iyo) -I;136) ceMeHCTBo Kpl1BbIX u = -v I ( v + a) - raK Ha3ornaeM01e 11uccouob1.13.22.1) CeMeHcrno 0Kpy;1rnocreH2(c - xo)[(u - h,) + (v - h2)2](c - Yo)[(u -2lz,) + (v - h2)=hi.
v = h1;2) ceMeHCTBO OKpy)[(HOCTeH11 npHMbie 112-] -(11 -hi)= 0,(v- h2)=0lw - hi = R- 1 11 ceMeHcrno ny"leHarg (w - h) =-a.13.32. 1) w = e-ia (z- z 0 )/(z-z0 ), Im z 0 > 0, aE R;2) w=e;a (::-:: 0 )/(z-z:-0 ), lz0 l<1,aER.a:: +b13.39. 1) w = - - , a,b,c,d ER, ad -be> O;cz+d+-b, a, b ,c,c.I E2) w =· az1CZ +dR ,a d - b c< 0 ;az +bcz+d3) w = - - , a,b,c,dE R,ad-bc<O;4)Waz-+b , a, b , C, Gl= I· cz+dER,IQG -bC > 0.290OTBETbl K 3A)J,A 4AMR-zR+z13.40. w = - - .13.41.l)w=3) w =-2i(z+l)·2)w=4z-l-5i'(l+i)z+l+3i(l+l)z+3+i; 4) w =(1+2i)z+6-3i5(z-i)iz+z+iz+l;(1-i)(z+l)5) w =.213.42.1) w =(-1 + 3i) z + 1- i.
2) w =(I+i)z-l+i'iz + 2 + i.z +l13.43. w = C3 - i) z - (1 + i) .(i + 1)(1- z)13.44.2+i9 .2) 9(2 + i)_1)-·3) -+l.5 '5'213.45.1) lzl = 2; 2) Re z =Yi; 3) lz - 141= 14;z Re zo +Im z Im zo =Yi; 5) lz - zol = ~I z 146) lzl - ((Re d - (Im d = O;24) Re7)--1Z10KpHBOJIHHeHHb!H--1' Z2'--1z, 'TpeyrOJibHHKcCTOpoHaMH KOTOporo l!BIDIIOTCll)J,llll(HX 1!epe3 napy sepWHH H TO'IKY zl;Bcp1m1HaMHnyr11BTO'!Kax-OKp)l)KHOCTeH, npoxo-=0.13.46.z-iz-2iz-(a+bi)1) w = - - .
; 2) w = i - -.; 3) w = e;c" 12 +0lz+113.47. w- w0 =z+21•z -(a-bi)--iRi-~-..:: +1- -?i13.48. IV = - .::.____:__.:: + 2iw-b. z-a13.49. ---- = e'a - - .IV-b:-a13.50.1)27-12-zIV=-~-;2) w =2i7+1w-a. z -a3) IV= -iz· 4) - - = e'a _ _ _2+i:''I-aw1-az~--291OTBEThl K 3A.[l,A YAMw_0\V -13.51. R ,R--w0 w=eiaz-2+i13.52. w = 2iz + 2- 2iw-aZ -rr2Zo-z 0 z.· z-zz-z;z1, n1.e rp =n - arg13.53. - - =e'"' - - -I-awz2 -z 1l-z;z 2,I Z,- - Z1 I11-z;z I +~c1-1z,1 2 )0-I z, 1a=2)213.54.Z- a2 ia1) w= R eR·2)-az'2•-a3) w = R' -~-,- , Be31leR- -azw-biaz-a_,=eR- -bwR 2 -az,a ER.13.55.?) w =1) w = z;-13.57.
w=J3 .(R - ki)z - R': - (R. : -2 +3) w=1: +21+(2-.J3)z'+ ki)J3.l-(2-.J3):,kE R \{O},ecmrk=oo,Tow=z.13.63.1) w=-20/z;2) w=-(2iz + 1 + 2i).13.64.21) w2-R= z-.Jh.J ,,z+ 1i- -R-_ w= 2e?)ia4z-34z+3--.j I R) 2 -1;= h IR +(h.e'a, pli!JIH W13.65.l) ,[(ByCB.!IJHa.!I o6naCTb,lz - z2I = r2 (lz2- zd > r1 + r2= eia4z + 3- - , h = 5/4.4z-3lz - zd = 1·1,h- rd). Orn6pa)KaeTc.11 Ha KOH-orpaHH'IeHHa.11 OKpy)KHQCT.!IMlil11n11lz2- z11<ueHTPWieCKOe KOJibUO c ueHTPOM B HalJane KOOpllHHaTz- Z1'z- .:::!'w = - - HJm w = - - rnez - z;z - z; 'npH 3TOMc nOMOlllblO cpyttKUHH292OTBETbl K 3ALlA lfAM=u2p=f[1d (fj 2+d 2-r 2+'/ d 2-(1; +r ) 2][ d 2-(lj -rJ 2] ,222)I(d-r2 -u 1)(r.-u1 2(d + r2 - u2 )(!j - U 1 )2zia2)w=--e'z + 24. B HaweM cnyt.iae d =Y2, r 1= r, r2 = Y2.Z + 24 ia11n11w=--e ,p=2/3.3z13.66.1) ww-1ia2) - - = e= e;a z;w+Iz- a4) - - - - e - - .l+ wal+ zaw- a _z -1W- iZ- iia3) --=e - - ·--;w+iz+lz+i'ia13.70.
B :now o6nacTH cpyHKUIDI .[;. pacrra)J,aerc51 Ha )J,Be peryAApHI>1e serBH W1(z) H w2(z) =-w1(z), W1(l) = 1. <DyHKUIDI w = W1(z) KOHcpOpMHO orn6pa)!(aeT 3TY o6nacTh Ha rronyrrnocKocTu Re w > 0, a w = wi(z) - Ha Re w < 0.13.71. <DyttKUIDI w = i(z2a 2), a t- 0, orn6pa)!(aeT KOHcpOpMHO BttyrpeH--HOCTh rrpasoif BeTBH rnrrep60Jihl; -y2 = a2 Ha sepXH!OIO rronyrrJIOCKOCTb..J z - p I 2 - i .J p I 2 , p > 0, orn6pa)!(aer KOHcpOpMHOy2 = 2px Ha sepxHIOIO ITOJiyrrJIOCKOCTb.13.72. <DyHKUIDI w =BHellJHOCTb rrapa60Jibl13.74.1) w = -2z + .J3-i)[ 2z-.J3-i2z + .J3 - i )3) w =[ 2z-.J3-i5) w312=[ z z-2) w = -3J2 (1- i) ).J2(1 + i)4) w =2 z + .J3 - i )[32z-.J3-i·[2z+./3-i)2z-.J3-;312l413.75.rz+T1) IV=~~;4) w=2rz+lexp(-~arctgh,);~h21-/r5) w=.Jz2+h 2 •293OTBEThl K 3A.UAYAM13.76.1) w(z)=-(z + l/z)/2;2) HarrpHMep, w(z) = ~ z /(1- z); 6epercH'ITO w(2) =TaBeTBh KBa.uparnoro KOpllil,~ = i,J2;3) HarrpHMep, w(z) = ~(l + z) /(z -1); 6epeTCHKOpllil, 'ITO w(O)BeTBh KBaJJ;parnoroTa=H =i .4/36) w=(_z_ )1-z13.77.
YroJI 0 < arg (z + n) < rrln; rroJioca 0 < y < rr.13.79.1) B nollilpH)'lO ceTKy p = const,e= const;~2) B crrnpaJIH p = exp ( B b) , npH k =0 s JI)"IHe=b;3) B yrOJI a < 8 < P, rrpH a= 0 H P= 2rr B llJIOCKOCTh C pa3pe30M no noJIO)!{HTeJihHOH ':laCTH .uei1:CTBHTeJihHOH OCH;84) BO BCIO nJIOCKOCTh c pa3pe30M 110 CllHpaJIH p = e ;5) B CeKTOp p < 1, 0 < 8 < U, 11p11 U = 2rr B CJJ.11Hl1'-!HbIM Kpyr c prope30Mno pa.uHycy v 0, 0 :S u :S l;6) B 06JiaCTh p > l , Q < 8 <a, llpH a= 2rr BO BHeWHOCTb e,UHHH'IHOrQKpyra c pa3pe30M no JIY':IY v = 0, l :S u < co;7) B 06JiaCTh ea < p < ep , y < 8 < b, npH b - y= 2rr KOHUeHipH'leCKOeKOJibUO C pa3pe30M no Oipe3KY 8 y, ea :Sp :S eP.==13.80.
1) B rrpHMoyroJibH)'lO ceTKY u = c, v = c;2) ecm1 w = u + iv, TO o6pa3 eCTh rrpHMM u =In A + kv;3) B rronocy 0 < v <a;4) B nonynonocy 0 > u, 0 < v <a;5) B npHMoyronhHHK In r 1 < u < In r2•13.84.1) w =5) wl+r'(z+z- 1 )514-r'(z+z-')'= '12-1 (z-, + z _,- +a-, +a _,)- .13.85.
w+ w13.86.-I=[ + , ]-I [( - .- +z.- )- 'lJz-Z4(1- h)e'ae"'11-2(1- /z)l.294OTBEThI K 3A)lA lJAM1) 06pa30M OKp)')KHOCTH JIBJUH!TCJI .uyra OKp)')KHOCTH c KOHUaMH B TO'l-Kax ±1, HaKJIOHeHHa5! B TO'fKe l ITO)l yrJIOM 2a K )leHCTBHTeJibHOM OCH, BHernHOCTb 3TOM OKp)')KHOCTH orn6pa)l{aeTCJI Ha BCIO ITJIOCKOCTb c pa3pe30M no yi<a3aHHOH .uyre;npow = 1, npH'feM KacaTeJibHaJI B )TOM2) o6pa30M OKp)')KHOCTH JIBJI5!eTCJI 3aMKHYfaJI KpHBM, Ha3bIBaeMaJIrjJwie.M )f(yK06CK020, c TO'fKOi1 B03BpamTO'fKe o6pa3yeT c .uei1CTBI1TeJibHOi1 OCblO yroJI 2a; BHellIHOCTb :noil: 0Kp)0KHOCTH orn6pa)l{aeTCJI Ha BHellIHOCTb npo<l>HJI5! )l(yi<oBCKOro.13.88.x1) CeMei1crnoTO'fKax ±1: u2=c orn6pa)l{aeTCJI B ceMeiicrno rnnep6oJI c <t>oKycaMH BI cos 2 c - v 2 I sin 2 c = 1; ceMeiicrso y222=c -s ceMei1CTBO 3JJJIHrr-2coB c <t>oKycaMH B TO'fKax±l: u /ch c-v /sh c = l;2) B sepXHIOIO nOJIYillIOCKOCTb;3) B t.JeTBepTblM KOOp.UHHaTHblH KBa.upaHT;4) B npaBYIO ITOJiyrrJIOCKOCTb c pa3pe30MITO OTpe3ry(0,l];5) BO BCIO ITJIOCKOCTb c pa3pe3aMH no .uei1CTBHTeJibHOi1 OCH B.UOJib JiyqeM:(-oo, -1], [l, oo);6)2BO BHY'fPeHHOCTb 3JIJIHnca u /chpe3KaM [-chh, -1]=c1) CeMeiicrno xKOHUaMH B TOt.JKaxw =h-v2 /sh 2 h = l cpa3pe30M no OT-h] .H (1 , ch13.89.2±oTo6pa)l{aeTcJI B nyt.JoK .uyr oKpy)l{HOCTei1 ci,BKJIIOt.Ja!OlUHH H COOTBeTCTBYIOlllHe t.JaCTHMHHMOH OCH; ypaBHeHHe nyt.JKa OKpy)l{HOCTeHa = ctg 2c, ceMeHCTBO=cy22(u - a) + v = l + acmeil AnO!IJ/OliUJl OTHOCHTeJibHO TOt.JeK w( v - b) = b21,-lbl >1,b,OT06pa)l{aeTCJI B ceMeHCTBO OKpy:>ICHO-= ±i, BKJI!Ot.Ja!OmeeH .ueiicT-BHTeJibHYIO ocb ; ypaBHeHHe ceMeHCTBa OKPY)l(HOCTeii AnoJIJIOHHJI : 11222+= cth 2c;2) B sepxHIOIO noJiyITJIOCKOCTb c pa3pe30M no MHHMOH OCH BJlOJib OTpe3Ka0 :Sv :Sl;3) BO BCIO ITJIOCKOCTb c pa3pe3aMH no MHHMOM OCH B.UOJib OTpe3Ka -1 :Sv :S l;4) B noJiyi<pyrlwl < 1, Rew> O;5) B e.uHHHt.JHhIH Kpyr.13.90.l ) CeMei1crno'II -s TO'!Kax ±I: - -,ch-cx = c orn6pa)!(aeTcJI'v-+ --,- =sh-cu1IB B ceMeiicrno 3JJJIHncoB c cpoKycaMH~; ceMeHCTBOy =c -v~6B ceMeHCTBO rHrrep OJI c1cpoKycaMH B TO'!Kax ±1 : - -,- - - .- ,cos-c sm-c=l;2) BO BCIO ITJIOCKOCTh c pa3pe3aMH no .ueil:CTBHTeJibHOH OCH BJlOJih JiyqeH(- oo, -1], [l , oo);296OTBETbl K 3A.ll.A 4AM'f'z - i r;=C (T1) T=--.•Z +I'0L,µ;I)1...(T-e )-µII"d T+ c" ' Ie I=l,i=2;- z - f32) T-----,r;-z- (33)e -µc'J' (T- eI )-µ 1 ...
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