Т.А. Леонтьева, В.С. Панферов, В.С. Серов - Задачи по теории функций комплексного переменного с решениями (1118152), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Cl>yHKIUU! f1(z) ·h(z) HMeeT TOT )Ke rropRnOK, '!TO 11 ¢YHKU1111f1(z)M fiz), rnrr He 6om,rne cr 1 + cr2; rropRnoK ¢YHKu1111fi(z) + f 2(z) paBeH rropRnKy ¢YHKUl1ttf1(z),J2(Z), rnrr paBeH CJ2.10.16. ITopRnoK ¢YHKu1111 f 1(z) f 2(z) MeHbrne mm paBeH rropRnKy¢YHKU11H !1 (z),J2(z), THII He 60Jibll1e 2cr.
ITOp Rn OK <PYHKUHH !1 (z) + h(z) He6oJibWe rropRnKa ¢YHKUHttf1(z),J2(z), THIT He 60Jibll1e CJ.10.17. ITopRnoK ¢YHKUH11 F (z) paBeH PF= pip.zn-=I (1- n-1r;210.21. 1)Sill Z2) cos=z-3) Sh Z = 2? ) ;11- .TI- (1- ((2n2z+ 1);r )")'11=0n-=I (1 +II2;11-1r7 );JlIT~~,[1+C2n2+,l)n(a+:):n-_ (1 +e - aze4) chz =5) ea:_h:_( -b)II-(a-b)2z2)·,14Jl-JZ"4,chz-cosz=z 2 TIM= 1 (1+~?)·4n 4 ;r46)II10,22, z11 .k =In j2mil + (2k+l)irr/2,11= ±1, ±2, ... , k = 0, ±1, ±2,. ...10.27.
l-fcKJII-0'!11Te11bHoe 3Ha'!em1e A = 0,4) y(t)10.39. y(t)= 11(12-TA= 1, p = 2.2) y(t) = l/(! 2 + l);1); 5) y(t) = t/(t 2 - 1).10.38. 1) y(t) = Al(t- a);3) y(t) = t/(1 2 + !);= L:~=i (Aj l(r - a j))10.40. ,llJIR Kpyra orropHaR ¢YHKU11R k(cp) =a, .1urn OTpe3Ka MHl1MOH OCH[-cri, cri] orropHaR <PYHKUHR k(cp) =a jsin cpj.10.44.280OTBETbl K 3All,A 4AM1) Corrp5DKeHHaH .11,11arpaMMa2) corrpH)!(eHHa51 .11,11arpaMMa3) corrpH)!(eHHaH .11,11arpaMMa4) corrp51)!(eHHaH .11,11arpaMMarroJJO)!(eHhI B TO'lKax l ± i, -1 ± i;D - TO'lKa t =a;D - oTpe3oK MHHMOtt oc11 [- i, i];D - OTpe30K MHHMOtt OCH [- i, i];D - KBa.11,paT, BepwttHhI KOToporo pac-D - OTPe30K .11,eiicTB11TeJJhHOtt OCH [-1, l];6) corrpjj)!(eHHaH .11,11arpaMMa D - OTPe3oK .11,ei1CTB11TeJJhHOtt OCH [-1, 1];7) corrpjj)!(eHHaH mrnrpaMMa D - BhlrryKJJhltt MHoroyroJJbHHK, orrpe.11,e5) corrpjj)!(eHHaH .11,11arpaMMaMIOIUHtt KBa3HIIOJJHHOM.10.51.1) h(cp) =cos cp;2) h(cp) = jsin cpj; 3) h(cp) = jsin cpj;4) h( cp) = jcos cpj; 5) h( cp) = jcos cpj; 6) h( cp) = cos ncp;7) h(cp) =cos cp, ecn11 cos cp 2 0, h(cp) = 0, ecn11 cos cp < 0.10.52.
HH.11,11KaTP11ca poem h*(cp) ¢YHKUHH F(z) paBHa h(cp), ecJJH h(cp) > O;h*(cp)::::: 0, eCJJH h(cp) = 0, h\cp) = 0, eCJJH h(cp) < 0.10.53. ECJJ11 KBa311rron11HoM p(z) = j = 1, ... , k, TO HHAHKaTPHCa poemh.(cp) = cpj = arg dj,j = 1, ... , k.10.57. PaccMOTPeTh rrp11Mep ¢YHKu1111.f(z) = 1 + e'.zln710.60. <I>yHKUHH .f(z) = 1 + e - - uenaH ¢YHKUHH 3KCllOHeHUHaJibHOroTttrra. B TOY:Kax z = 0, I, 2, . .
. rrp11H11MaeT ueJJbJe 3HaY:ett11H, HO He HBJJHeTcHMHOro'lneHoM. CorrpH)!(eHHaH .11,11arpaMMa D- TOY:Ka t = In 2, KOTopaHne)!(HT Ha rpaH11ue 06JJacT11 G.10.66.l)Rez:SO; 2)Rez=0; 3)-l<Rez<l; 4)Imz20; 5)Imz20;6) sc10.11,y pacxo.11,11TcH;7) Im z 2 O;8) Im z > O; 9) Im z > 0.10.67.1) { Rez<O} n { Imz<O}; 2) { Rez>O} n { lmz>O};3)-ln2<Imz<ln2;4) { Rez<2} n { lmz>-2);5) BHYTpeHHOCTh KBa.11,pam c Bepw11HaM11 I ± i, -I ± i.10.72.l)c=r=a=O; 2)c=r=a=O;3)c=r=a=O;4) c = r = a = -oo; 5) c = r = - 1, a = O;6) c = r = 0, a = I;7)c=r=a=-l; 8)c=-oo,r=-oo,a= l; 9)c=r=a=-1.10.80. 06naCTb CX0.11,HMOCTH - BHyTpeHHOCTb KBa.11,pam c Bepw11HaM11B TOY:Kax a(1 ± i), a(- I ± i)281OTB ET bl K 3A)J.A 4AMI'Jiaoa 1111.1. 1) HeT; 2) HeT.•11.3.
1) sm z =L n=2(-1)" z2,,+110002) cos z;(2n+ 1)!sinz3) tgz = - - , cosz ;t:O;coszoo (-1)" z="L..11=0.(2n) ! ,cosz .4) ctg z = - . - , sm z ;t: O;smz211+!IIz ·5 ) e·. -- L:oo11=01'"ooZ211_z__sh z8)thz=-;chz10) CM. 11.46.-·L n=O -(2n)!'9) CM. 11.44;11.7. l) HeT;006) s h z = L..,,=o (2n +1) !;n.7) chz ="2) HeT;3) HeT.11.8.1) z = Arc sin c = Ln (ic +.Ji - c2)Ii = arg (ic +.Ji - c 2 ) ++2kn-iln I ic+.JI-c2)1I, kE Z ;z = Arccosc = Ln(c+.Jc 2 -i)li = arg(c+.Jc 1 -i)++ 2ktr - i In Ic + .Jc 2 - i j, k E Z;3) z= Ln c = Inlei + i arg c + 2k7ri, k E Z.11.38.
i) 0 H w TO'IKH sernneHH» srnporo nop»./lKa;2) 1 H -1 TO'IKH BernneHHH BTOporo nopH,/lKa;3) 0 H w TO'IKH sernneHHH BTOporo nopMKa.11.40 /= e-rril+lklr, k = 0, ±1, ±2, ....11.49. l).f(-2) =In 2 + ni, .f(3) =In 3 + 2ni, f(- 4) =In 4 +.oo (-1)"-'(z-3)"2)j{z) =In 3 + 2m + " 1- - ' - - - ' - - L..,,=n3"11.51. l)/a(i)11.58.f=/rrf4 ;2)fa(i)7r:i.=-eirr14 _" 0 (-1) /1 C11211(z)=zL..,,=z-211 .0011.60. IIycTb z E R. .f(z + iO)= In((1 - z)/( 1 + z)), ecnH z ne)!(HT Ha=sepxHeM 6epery pa3pe3a (-1, l);j(z) =In ((z - l)/(z + 1)), ecnH z > l;f{z)In ((z - l)/(z + 1))- in, ecntt z <-1;.f(z - iO) =In ((1 - z)/(l + z))- 2ni,ecnw z ne)!(HT Ha HH)!(HeM 6epery pa3pe3a (-1, l ). IIycTb y > 0, rnr.llaf(iy) = 2i arctg y.282OTBETbl K 3A)J.AYAM11.61.
f(z) = -(ni +11.66. /(-1) =eiJTt4,=2L..ll= 0(211+1) z2II+ 1)·1 <Iz I<00•efS;J'(-1) = -ss-3 ' 4 e;JT 14 ;f"(-l) = -3·8-714 e;JT 14 .11.76. Ecmr D - O.D:HOCBS!3Hasi o6nacTb, TO cPYHK1.urnJf (z) 6y.n:eTIIMeTh 0.D:H03HaqHbie aHaJIIIHJqeCKIIe BeTBII.11.77. I) JI106asi seTBh y.n:osnernopsieT;2) mo6asi BeTBh y.n;oanernopsieT .n;aHHOMY ycnoa1110;3) O.D;Ha BeTBb.11.78. 1) .[{orrycKaeT; 2) HeT; 3) 1-1eT; 4) .D;orrycKaeT.11.79.1).,h-7 =±(1-z2 _,=(211-3)!! 211) lzl<l·L..11=21211 z ,'211.(2 ) I '112) (l-z 2 112 =±'=n .z- lzl<LL..11=0 (n !)2 2 211 'r11.80. 1) arctg z =L(-1)" ;::211+1=11,02n+ l(-1)11-I _112) In (I+ z) = L~=I~=II.1I z I< l;,I z I< 1.z+aah~111.81.
In--= 2L:= 0 - - · - ,11-1 , I z I> a.z- a11=z-(211+1)+11.82.1211+11) -2'=- ,=zL..11=0 (211 + l)z211+1 L..11=0(2n+1)2211+ (2k + l)ni'k= 0, ±1, . . . ;2)2'=L..11=0(2k1+ J)z2k+IL~='1-(-l)k 4kk, zu+ 2nni,izl > 2, n =0, ±1, ....11.83.(I +, 11== 1/3. (1/3+1) .....
(1/ 3 +L....,11111 1•-1) '--11) e iJT/3 .11.84.l) z = 0, -1/(11: 2), 00 - TO'IKH sernneHIIS!;2) z= -k2rr. 2, k E N,rron!OChI nepsoro nopRuKa, zsa1-11-1asi oco6asi TO'IKa, z = 0 - ycTpaHIIMasi oco6asi TO'!Ka.=oo -HeII30JIHpo-OTBETbl K 3A)J.A4AM28311.85. 1) HeT; 2) B OKpecrnocrn a= oo He .nonycKaeT; 3) .nonycKaeT;4) He .nonycKaeT; 5) tte .uonycKaeT; 6) He .nonycKaeT;7) .uonycKaeT;8) He .nonycKaeT.11.86. 1) Anre6pa1111ecKaH TOl!Ka sernneH11H 1-ro nopH.nKa;2) norapmpM11l!eCKaH TOl!Ka BeTBJieHl1H.11.87. 1) z = ±3 ; 2)) z = ±2i;( l)" 21111.88. I ~ zn=O (2n + 1) !3)) z = ±2i.11.89. 1/(1-z).11.90. YKa3aHue . IlycT& Yp - nyq 0 ~Isl < oo, arg s = p, 0 ~ p <a . <PyHK~ a < n/2, TOr,n;a ee npeo6wrn JCs) perym1ptta 11 orpatt11l!etta B yrne larg slpa30BaH11e Jiannaca F(z) MO)!(HO attaJil1THl!eCKl1 npo,D;OJI)!(l1Th B yron larg sl< rr/2 + a. PaccMOTpeTh <l>YHKu111111.97.
1) B o6nacrn l < r <ea, 0 < <p < b;2) KOJlhUO 1 < r < ea, <p > 0;3) KOJlbUO l < r <ea.11.98. 1) B npasy10 nonynnocKOCTh Rew> O;2) BO BCIO nonynnOCKOCTh c pa3pe30M no .n;eiiCTBHTeJibHOH OCH.11.99. BcH llJIOCKOCTh c pa3pe30M no 0Tpe3KY MHHMOii OCH [-i, i].11.106. l)O<Rez< l; 2)-1 <Rez< l.I'llaaa 1212.1. -2CoC1 .12·3· 2<p:( z0) _ 2 <p(z0;11/'(~0 ) .If Czo) 3 (I// (z 0 )t12.4.
a 1rp( Z0) +-a_,rp'(zo)-l!a_k<p<k-t )(Zo)+ ...+ --''-'------'"(k-1)!12.6. 1) 11; 2) -p.12.7. 1) 11 <p(z0 ); 2)-p <p(z0 ) .12.8. RI <p'(z0 ).12.9.1) resfi:z)=-1 , resj{z)=-2 , resj{z)=-1;z= lz=27 : 00111 11112) res j{z) = (-1) - z2/(z 1- z1 ) , res j{z) = z/(z2 - z 1)'", res j{z) = O;z=zz=z:::z=oo13) resj{z)= l; resj{z)=-112, resj{z)=O;z::::()z:;±(z=oo284OTBETbl K 3A,UA qAM4) res.f{z)=-rez.f{z)= (-1)11+!z=~z=-1(211) !(n -1) !(n + 1) !5) res j{z) = 1, n = ±1, ±2, ...
;z=i2nn6) res j{z) =-res .f{z) = -1;z= Iz=oo7) res j{z) =-1, n = 0, ±1, ±2, ... ;z=2nfo8) res.f{z)=(-l)",n=0,±1,±2, ... ;z=an9)rez/(z)=±l~,n=0,±1, ±2, ... ;2v2z=-dn(3±2J2)+211JT10) res .f{z) = 0, ecm1 n < 0 11n11 n > 0 - He'-!ernoe;z=O(-1)1112res J (z) = - - , ecn11 n = 0 11n11 n > 0- LfeTHoe,z=O(n+l)!res .f{z) = - res .f{z);z=ooz=O(-lyi+I11) res /(z)=-1 - 1- , n=±l,±2, ... , res.f{z)=- res.f{z);1.=llnJTn-Jrz=~z=O12) res .f{z) =res .f{z) = O;z=Oz=ooI13) resf(z)=+-,resf(z)=O;z=±i4ez=~i114) res f (z) =--,res f (z) = - ;z=±i4e2ez=~2115) res f(z)=(-1)"(-- ) .n=O,±l,±2, ... ;1- nnz=__!2_'.'._1-nJr16) res.f{z) =I, res.f{z) =-1;z=Oz=O17) res .f{z) = - res .f{z) =z=O18)z=~"~L_.., 11 = 0/l1;!(n + 1) !res /(z)=-1, n=0,±1,±2, ... ;z=nl2+ntr19) res .f{z) = 0, ecn1111 - He'-!ernoe,z=O285OTBEThl K 3A)J,A 4AM2 2/ (22/_1)res j(z) = (- li+'EepHynm1,B,f' ecm1 n = 21, l = 0, 1, 2, .. , r.ne 8 21 - '-rncna-(2/) !z=OresZ=lrl2+mlrf1(z) = -(ll / 2 + 1111!) 111, m = 0, ±1 , ±2, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
