М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Интегральные уравнения (1118010), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Интегральные уравнения Вопьтерра1 -ro родаПусть имеем интегральное уравнение Вольтерра 1 -ro родаzJ К(х, t) !p(t) dtогде IJ'(x) - искомая функция.=j (x) ,J(O) = О,(1)дК(х , t)'Предположим, что К(х, t),дх , J (x) и J (x) непрерывны приО � х � а, О � t � х. Дифференцируя обе части (1) по х, получимК(х , x)IJ'(x) +zJодК(х, t),дх IJ'(t) dt = J (х) .(2)Всякое непрерывное при О � х � а решение IJ'(X ) уравнения (1) удовлетворяет, очевидно, и уравнению (2). И наоборот, всякое непрерывное приО � х � а решение уравнения (2) удовлетворяет также уравнению (1).Если К(х, х) не обращается в нуль ни в одной точке основногоинтервала [О, а] , то уравнение (2) можно переписать так:IJ'(x) =J' (x)К(х , х)-z, t) IJ'(t) dt,J К�(хК(х, х)(3)от.
е. оно сводится к интегральному уравнению Вольтерра 2-ro рода,рассмотренному выше.Если К(х, х) = О, то иногда бывает полезно еще раз nродифференцировать уравнение {2) no х и т. д.ЗамечаНitе. Если K(z, ж) обращается в нуль в некоторой точкежЕ[0, а],например в точке ж ::::= О, то уравнение (3) nриобретает особые свойства,совершенно отличные от свойств уравнения 2-ro рода. (Такие уравненияПикар назвал уравнениями 3-ro рода.
) Здесь возникают осложнения, подобные тем, которые бывают связаны с обрашением в нуль коэффициента nристаршей nроизводной в линейном дифференциальном уравнении.129§ 20. Интегральные уравнения Вольтерра 1-ro родаПример. Решить интегральное уравнениеz1оcos (а:- t) V'(t) dt = а:.(4)Решение.
Функции f(z) = ж , К(ж, t) = cos (z - t) удовлетворяют сформулированным выше условиям непрерывности и дифференцируемости.Дифференцируя обе части (4) по х, nолучим�(z) cos О ИЛИ.,J sin (х - t) �(t) dt = 1 ,о.,j sin {х - t) �{t) dt.Уравнение (5) есть интегральное уравнение 2-ro рода тиnа вертПрименяя преобразование Лапласа, найдем его решение:�(:с) = 1 +сФ(р) =(5)о1ки .lр + р2 + l Ф(р) ,откудаФ(р)Функция �(z) =.х21 + 2 будет решением уравнения (5), а следовательно, и исход-иого уравнения (4), в чем петрудно убедиться непосредственной проверк�й.З адачи для самостоятельного решенияРешить следующие интегральные уравнения 1-ro рода, nредварительно сведя ихк интегральным уравнениям 2-ro рода:277.279.281 .:t"j е'н'Р(t) dt = sin x.о"'j a"'-1�(t) dt = J(:z),о:t/о278.f(O) = О.{2 + х2 - t2 ) �(t) dt = х2 •280.282.f з"'-1'f'(t) dt = ж.о"'/<t - z2 + t2) �(t) dt = �2 .о.,J sin (z - t) �(t) dtо2е"' 12 - 1 .1 30Глава 4 .
Интегральные уравненияt·города283. Свести к уравнецию Вольтерра 2-ro рода уравнение"'J �z (z,- s;)" rp(s) dsв=f(z)в предположении, что H(z, s) и f(z) непрерывно дифференцируемы, f(a) = О,Н( а, а) :;!: О и О < а < 1 .§ 2 1 . И нтегральные уравнения Вольтерра1 -го рода типа сверткиИнтегральное уравнение 1-ro родаzjоК (х - t) I{J(t) dt = J(x),(1)у которого ядро К(х, t) зависит лишь от разности аргументов х - t, будемназывать интегральным уравнением 1-го рода типа свертки.К этому классу уравнений относится, например, обобщенное уравнение Абеля.Рассмотрим одну задачу, приводящую к интегральному уравнениюВольтерра типа свертки.Магазин покупает и продает различные товары. Предполагается, что:1 ) покупка и продажа суть непрерывные процессы, и купленныетовары немедленно поступают в продажу;2) магазин приобретает каждую новую партию любого товара в такомколичестве, какое он может продать в промежуток времени Т,один и тот же для всех покупок;3) каждая новая партия товара распродается равномерно s течениевремени Т.Магазин начинает продажу новой партии товара, общая стоимостькоторого равна единице.
Требуется найти закон IP(t) , по которому ондолжен производить покупки, для того чтобы стоимость наличноготовара оставалась постоянной.Решение. Пусть стоимость первоначального товара, оставшегося к моменту t , равна K(t) , гдеK(t) ={1о,�·t � Т,t> т.§ 21.
Интегральные уравнения Вольтерра 1-го рода типа свертки 1 З:t ·Предположим, что в nроме:ж:уток времени отна суммут до т + dтпокупается товаровtp(т) dт. Этот запас уменьшается вследствие nродажи таким образом, чтостоимость остатка к моментуt>травнаK(t - т) tр(т) dт .Поэтому стоимостьнеиродаиной части товаров, приобретенных путем nокупок, будет к любомумоментуtравнаj K(t - т) tр(т) dт.1Таким образом,tp(t)одолжна удовлетворять интегральному уравнениюj K(t - т) tр(т) dт.t1 - K(t) =оМы получили интегральное уравнение ВольтерраПусть/(ж)иК(ж)1-ro рода тиnа свертки.- функции-оригиналы, и пустьj(ж) ;=' F(p),К(ж) := К(р),tр(ж) :=' Ф (р).Применяя к обеим частям уравнения(l)nреобразование Лапласа и исnользуятеорему о свертке, будем иметьК(р) Ф (р) = F(p),·откуда(р) (К(р) # о) .(2)Ф (р) = �К (р)Оригинал tр(ж) для функции Ф (р), определяемой равенством ( 2), будет решениеминтегрального уравнения(1).t>Пример.
Решить и нтегральное уравн ен иеzJ ez-ti{J(t) dt = х.(3 )оРешение.Применяя nреобразованИе Лапласа к обеим чаСтям1Ф (р) ==p- IоткудаФ (р)Функцияtр(ж)=1-ж=1р2-,-1 l1-- = - 2 ? l - ж .2рр рр(3), полУчим-есть решение уравнения(3).t>132Глава 4. Интегральные уравнения1-гр Р9д8Задачи для самостоятельного �еwен Ия.Решить интегральные уравнения:"'284.Jоcos (� - t) <p(t) dt = sin �."'286.1<� - t) l/2<p(t) dtо"'288.J e"'-1<p(t) dtо"'==J292.J ch (� - t) <p(t) dt296.� J(�2 - 4xtоо"'297.о+=sh �.287.J е2<ж-t) <p(t) dt289.J cos (z - t) <p(t) dt = z sin z.о=sin �.=�.о"291 .J J0(x - t) <p(t) dt293;Jоо"=sin �.cos (z - t) <p(t) dt = х + х2•3t2) <p(t) dt = х2 J4 (2v'ж} ./"о (z - 2t) <p(t) dt.dt"'sh (z - t) <p(t) dt = �3е-"' ."'о"'� S/2 •z2 •29Q."'J e"'-1<p(t)285.= -хз6.Эамечание.
Если К(�. z) = К(О) "# О, 'IO уравнение (l) заведомо имеетрешение. В задаче 290 ядро К(�. t) обраЩается тождественно в нуль приt = х , но тем не менее решение этого уравнения сушествует.Как уже отмечалось выше, необходимое условие существованиянепрерывного решения интегрального уравнения вида..1 (хn- t)l)!n-1 <p(t) dtжо(_=f(x)(4)§ 21. Интеrрli.льные уравнения Вольтеррэ 1-ro ·рода типа свертки l:JЗсостоит в том, что функцИЯ )'\�) 'имеет неrферывные Производные до n:..roпорядка включительно, и все ее n - 1 первых производных обращаютсяв нуль при х = О.Это «модельное» уравнение (4) указывает на необходимость согласования порЯдКов обращения в нуль ядра при t = х и правой части /({�:)при х = О (превышение должно быть за правой частью по крайней мерена 1).Рассмотрим интегральноеуравнение'!;·:сj (х - t) tp(t) dtо=(5)х.Здесь f (х) = х, n = 2.
ОчевИдНо, f (х) имеет производные всех порядков,но ее первая производная /'(х) = 1 t= О, т. е. необходимое условиене выполняется.Применяя формально к обеим частям уравнения (5) иреобразованиеЛапласа, получимl-2роткудаФ(р)l= -,р2Ф(р) = 1.Это есть изображение б-функции б(х).Напомним, чтот -целое ;;;::- О.Итак, решение интегрального уравнения (S) есть б-функция:tp(x) = б(х).В этом можно убедиться непосредственной проверкой, если учесть, чтосвертка б-функции со всякой гладкой функцией g(x) определяется так:g(x) * б(х) = g (x),o<">(:t) * g(x) = g<">(x) (k = 1, 2,В самом деле, в нашем случае g (x) = К(х) = х иа:J К(хо• . .).t) o(t) dt = К(х) = х.Таким образом, решение уравнения (S) существует, но уже в классеобобщенных функций.1 3'4Глава 4 .
Интегральные уравнения 1-го рода.Зада чи дпя самостоятел ьного реwенияРешить интегральные уравнения:"'298. j<z - t) rp(t)dt = z2 + z - 1.о"'299.о"'300. J (z - t) 2rp(t) dt = z2 + z3 •301 .о/<z -t) rp(t) dt = sinz.zJ sin(z - t)rp(t)dt = z + 1.оz302.J sin (z - t) rp(t) dt = 1 - cos z.оrp(t) t) dtГ(v + 1)v:dГ(dvv+ 1) + Г(v + 1),Г(v + 1) [ dГ(Г(vvdv+ +, ]Г'Г((11))Интегральные уравнения 1-го рода с логарифмическим ядромjоzln (а: -=J(O) = О/(z),(6)также можно решать с помощью преобразования Лапласа.Известно, чтоz11 :==p��+ t•(Re v >- 1).(7)Продифференцируем соотношение (7) по1илиПри1z" ln z := "+ lр1-р" +1ln - ·р1)vz " ln z ::::·р"+ 1+ln �р1)..(8)= О имеем (задача 44)= --у - постоянная Эйлера,и формула (8) принимает вид1ln z := - ( --у - ln p) = рIn p + -yр.(9)§ 21 .
Интегральные уравнения Вольтерра 1-ro рода. типа свертки 1 3.5Пусть cp (z)Ф(р) , /(z) := F(p) . Применяя к обеим чцстям (6):=иреобразование Лапласаи исnользуя формулу (9) , nолучим- Ф(р) 1n р + 1 = F(p) ,роткудаpF(p)Ф(р) - ln p + 1 .Заnишем Ф(р) в видеФ(р) = Так как / (0) = О , то/ ' (О)р2F(p) - /' (О)lp(ln p + 1) .p( n p + 1 )( 10)p1F(p) - J ' (P) := !" (:�:) .Возвратимся к формуле (7) , заnисав ее в видеzv1:=v+lГ(v + 1)p( 1 1)·(12)Проинтегрируем обе части (12) по v в пределах от О до!00оzvdv :=Г(v + 1)По теореме подобия00Jоoo dv 1J pv+l = р ln p ·ооо .·11z va -vd=Г(v + 1) v := р ln (ар) p(ln p + ln a)Если положить а = е7 , то00Jо .zv e-7v1vd:= p(ln p + 1)Г(v + 1 )Воспользуемся равенством ( 10).
В силу (13)' J00! ' (О):=. ! (О)p(ln p + 1)Получимо··( 1 3)zv e -'Yvdv .Г(v + 1 )Учитывая (ll) и ( 13), первое слагаемое правой части ( 10) можно рассматривать как произведение изображений. Для нахождения его оригинала136tлава 4 .Интеrральные уравнениt� 1�to рбдавоспользуемся теоремой о свертке:p2F (p) - / ' (0) ::::p(ln p + -y) ·;z J"(t) (./оо (ж - t)"e-1" dv)' dt.Г (v + 1) .Jо·оТаким образом, решение <р(ж) интегрального уравнения (6) будет иметьвид<р(ж) = -z (/00JоJ "(t)о). /00 ж"(ж _ t) " е -111dv dt - !' (О)Г(v + l )о· .е -111Г(v+I) dv.(-у - постоянная Эйлера).В частности, при f(ж) = ж получим§ 22. Интегральные уравнения Фредrольма1 -ro родаИнтегральным уравнением Фредгольма 1 �го рода называется уравпение видаj К(ж, t)<p(t) dt = j(ж) ,ь( 1)ане содержащее искомой функции <р(ж) вне интеграла.Вопрос о разрешимости таких уравнений со сколь угодно «Хорошим�ядром К(ж, t) и правой частью J(ж) составляет значительные трудности.Рассмотрим, например, уравнение1j(Зж2t + жt2 + t3)<p(t) dtо=sin ж .(2)Легко видеть, что при любой непрерывной фунiщии <p(t) левая часть (2)(после выполнения интегрирования) представляет собой многочлен видаР(ж) = Аж2 + Вж + С,который ни при каких значениях коэффициентов А, В, С не равен тождественно на [0, 1] функции sin ж - правой части (2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
