М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Интегральные уравнения (1118010), страница 13
Текст из файла (страница 13)
. + Pn (x) у(х) ,tV�.: (Y) = а�.:у(а) + ai0v'(a) + . . . + ain- l)y(n- t ) (a) ++ Рk у(Ь) + Рl1)у'(Ь) + . + Pln - I )Y(n -I )(Ь) (k = 1 , 2,· .. . . , n)Vn являются линейно независимыми) ;(линейные формы Vj , 1!2h (x) - заданная непрерывная функция от х ; >. - некоторый числовойпараметр.При h (x) = О получается однородная краевая задача• .
. .L[y] = >.у,,V�.:(Y) :;::: О (k =1, 2, . . . , n).(3)Те значения >., для которых краевая задача (3) имеет нетривиалъныерешения у(х) , называются характеристическими числами краевой задачи (3), а эти нетривиалъные решения -'- соответствующими собственнЫмифункциями .Теорема. Если краевая задачаL(y)О,Vk (y) = О (k = l , 2, . .., n)102.Глава 2. Интегральные уравнениw Фредгольмаимеет функцию l'рина G(z, �) .
то краевШi эадача ( 1)-(2) эквивалентнаинтегральному уравнению Фредгольма1ьу(т) = ЛгдеG(z, �) у (�) tЦ + J(z),1 G(x,(4)ь/(т) =�) h(�) d{.аВ частности, однородная: краевая задачаному интегральному уравнению(3) эквивалентна однород1 G(z, �) у({) d{.ьy(m)·= Л(5)G(z, {) -Такнеnрерывное ядро, то к интегральномуЭамечsнне.какуравнению nрименима теория Фредгольма.
Поэтому однородное интеграль,(S), .Л,.,ное уравнениеможет ИА,{еть не более счетного числа характеристическихчиселне имеющих конечной nредельной .точки. Для всех• • •• . •значенийотличных от характеристических, неоднородное уравнение.Л 1 , Лz ,.Л,имеет решение при любой неnрерывной правой частизадается формулойf(ж).(4)Эго решениеliгдеR(z, {; Л) -ванных значенийфункцией отЛ,у(ж) = Л j R(z, {; Л) IIO d{ + /(ж),арезольвента ядраzи�из[а, Ь]G(ж, {). При этом для любых фиксироR(z, {; .Л) является мераморфнойфункцияnолюсами которой могут быть лишь характеристическиечисла однородного интегрального уравнения(5).Пример 1 .
Свести краевую задачуу11 + Лу = х,у(О) = ук интегральному уравнению.(�) = ОРешение. Сначала найдем функцию !Ринаоднородной задачиy"(z) = О ,у(О) = у( �) = О.G(z, {)(6)(7)для соответствующей10.3'§ 16. Краевые задачи, содержащие параметрТак как линейно независимыми решениями уравнения y"(z)ряющими условиям у(О) = О и у1r{=О , удовлетво(�) = О, соответственно яв.tiяются функцииУI (ж) = ж и у2 = ж - 2 ' то функцию Грина ищем в видеG(ж, �) =У1 (ж) У2 Ш О � ж � twш '..,. ..,. ..
.У1 Ю У2 (ж) t � � � 'жwю ' .. .... ..,. 2гдеИтак,(8)Далее, пользуясь функцией !Рина (8) как ядром интегрального уравнения, получим для у(ж) следующее интегральное уравнение:у(ж) = /(ж) - .Л'где/(ж) =fl/21t/21 G(ж, �) у(�) d�,оfl/2"'1 G(ж, �) �d� = 1 с: - 1 ) ed� + 1 ( � - 1 ) ж� � = � ж3 - ;: ж.оооИтак, краевая задача (6)-(7) свелась к интегральному уравнениюу(ж) + .Лfl/21 G(ж, �) у(�) d� = б1 ж3 - 11"2 ж.о24Задачи дпя самостоятельного решенияСвести к интегральным уравнениям следующие краевые задачи:(�) = 0.21 9. у" = .Лу + :r:2 ;у(О) = у220. у" = .Лу +е"' ;у(О) = у( 1 ) = О.[>104Глава 2. Интегральные уравнения Фредгольма, ·,221 .'222.223.224.225.,.') ·' '·, '' 1fi(1Г2 :у" + -у = Лу + cos. .- ; y(....: l ) = y( l) , y' (- IJ :: у ( l) .24 ..у1' + Ау ; 2х + 1 ; у(О) ,;" y'(l) , у'(О) = y(l).y1v = Ау+ l ;у(О)'= у'((}) = О, y" (l) =''y"'(t) .".; о.у(О) = y(l) = О, у'(О) = y' ( I ) .у111 + Ау = 2х;у(О) = у'(О), y(l) = y'(l) .у" + Лу = е" ;''1 ,•,'•.•226.
Преобразовать дифференциальное уравнение (noл}rtiaюniee6я из волновогоуравнения Шрединrера с мезоюiым потенциалом)' 'е-•d2 y2ky(+)r Vo -y(r) = Оdr2r2(V0 и k - постоянные), решение которого удовлетворяет rранИчным условиям'•у(О) = у(+оо) = О,в интегральное уравнениеy(r) "" Vo{гдеG(r, {) =+соо1 -k{ke.!-{f a(r, {) т vю d{,'sh k r , О � r � {,-kr1/ sh k{, { � r � + оо. .� '!.:ГЛАВА3Примененив интегральныхпреобразований к реше ниюинтегральных уравнений§ 1 7. При мененив nреобразования .Фурьек решению некоторых интегральныхуравненийПусть дано интегральное уравнение Фредrолъма 2-го рода с ядром,зависящим от разности . аргументов:+ооtр(ж) = /(ж) + 1 К(ж - t)tp(t) dt,( 1)-оогде/(ж) Е L2 (- oo, +оо) и К(ж) Е L2(�oo, +оо) .Применяя иреобразование Фурье и используя теорему о свертке,получимФ(tс�) = F(tc�) + .f2i Ф(tc�)K(tc�),(2)где Ф(tс�), F(tc�) , K(tc�) - иреобразования Фурье функций tр(ж), /(ж), К(ж)соответственно.
Из равенства (2) при условии 1 - .ffi K(w) # О находимF(w)Ф (w) = 1 - .ffiK(w)Применяя формулу обращения иреобразования Фурье, nолучим решение уравнения ( 1):+оо1F(w)_ eizw dtcltр(ж) = _.ffi_ 1 1 - .ffi K(w)•-ооЕсли 1 - .ffi K (w) О nри некоторых вещественных значениях w,то уравнение (1), вообще говоря, не имеет абсолютtю интегрируемогона всей оси Ох решения.Аналогично решается интегральное уравнение Фредгольма 1 -го родас ядром, зависящим от разности аргументов:+оо1 К(ж - .t)<p(t) dt = f(ж) .-оо106Глава 3. Примененив интегральных преобразованийЕгорешение имеетвидПример 1 . Решить интегральное уравнениес� �).+оо1�Р(ж) = /(ж) + Лe- lz-t/ IP(t) dt<-ооРешение. Пусть F(UJ) - nреобразование Фурье функции J(ж),nреобразование Фурье ядра K(z) = e-lzl .
Здесь1=у'2;(11+1 - it.� 1 + it.�)=K(t.�){2 1v ; 1 + "'2 .Применяя nреобразование Фурье к обеим частям данного уравнения, nолучимоткудаФ(UJ) =11 + t.�2- 2.Л + t.�2F(t.�).Следовательно, решением исходного уравнения является функция1+ооIP( ) = у'2; JzЗаметим, что в данном случаеnрй Л1< 2-оо1 + t.�21 - 2Л + "' 2-1 - ..(2; К(t.�).Л = 1 -( )F "' е2Л=1 + "' 2i#:OiduJ.(3)1 - 2Л + t.�21 + "'2не обращается в нуль ни nри каком вещественном значении "' .Полагая, наnример, J(z)= e-lzl , будем иметьТак что формула ( 3) дает1( )=;iр Ж+ооJ 1--оо.е'"'"'2.Л+ t.�2dw.§ 17. Примененив преобраэования Фурье1()7К вычислению последнего интеграла применим метод контур�;�оrо интегрирования. Это даетe-" VГ-iX<р(ж) = v'1=1Xкороче,дляж � О,e"VГ-iX<р(ж) = v'1=1X для ж < О, ,e- VГ-iX !zl·<р(ж) = v'1=1X .1 - 2..\[>Пример 2.
Плоское электростатическое поле между двумя заземленными параллельными плоскостями (О < у < h) создается линейнымиисточниками, собственное поле которых в неограниченном пространстве есть Ё.Найти плотность распределения индуцированных зарядов на поверхности каждой из пластин о-0 (х) и <'"h (x) .Решение. Известно, что если цилиндрический проводник с сечением, ограниченным произвольным контуром L , внесен в заданное nлоское поле Ё , тоnлотность расп�еделения индуцированных зарядов удовлетворяет интегрально�уравнениюEn(N) 1о-(М).;::;:;t_os(4)o-(N) = � + ; IMNI 2 c (Mrv , n) dl,где n - внешняя нормаль к контуру L в точке N , En - проекциявнешнего поля на нормаль.Пользуясь фор�лой (4), составим интегральное уравнение дляискомых nлотностей зарядов. Выберем фиксированную точку М(ж)на nлоскости у = О.
Тогда, еслипеременная точка N({) также находится на nлоскости у = О, тоcos (MN, ii) = О; если же точка N({) принадлежит nлоскостиу = h, то (рис. 6)2,+-h({---ж-)2lMNl = Vгhcos (MN, n) = IMNI .JLУо�Рис. еТаким образом, интегральное уравнение ( 1) принимает вид(5)Глава 3 .
Примененив интегральных п�разований108Аналогично, выбирая точку l.!,(z) на плоскости у ;::;:� �· .п�м интщральноеуравнение(5')-ооСистему интегральных уравнений (5) -(5' ) относительно функций и0(ж)и ил ( ) будем решать с помощью преобразования Фурье. Для этоrо умножимкаждое из уравнений наи проинтегрируем по переменной ж от -оо до +оо.Обозначаяхе;л"+ооJ- f(х)еiЛж dxоосокращения записи (Еу )у=о f0(ж), (Ey)y=h( ) будем иметьJ=и полагая для==-ооЛ�.-ооМеняя порядок интегрирования И воспользовавшись формулой+оо cos Лt dt - !_ -IЛihJо t2 h2 2h е '_+{ - uhe-IЛihполучим систему линейных алгебраических уравнений относительно 0'0 и<То +решая которую, получим-fo27r ,j"+ <Тл = - 21r ,-<Тое-IЛih -=1 fo + J,.ee-21-ЛIIЛIr.ih , O'h foe--IЛeih-2IЛJhj"+-• " dЛ,f(x) = /оо/(Л)е_1= - 21r<То = 21r 1 Применяя формулу обращения Фурье_127rO'h :1+•·л-оополучимt>109§ 17.
Примененив преобразования Фурье·Задачи дпя caмocтosrrenьнoro решенияРешить следУЮщие интегральные уравнения227. y?(:r) = /(:r) +.\+ОО1 e-1.,-t!y?(t)dt ( -21 )-оо228. y?(:r) = /(z) +.\ <+оо� 1 e-lж-tly?(t) dt ,где f(:r) =где /(z) =-оо229. у?{ж) = /(ж) - v'2•{+оо""'о..1 е-<"'-1)2 y?(t) dt.{ е-=одлядлядляrнУаw�z > O,:Е < о •:Е > о,:Е < о .-ооСинус- и косинус-преобразования ФурьеФункцияФ,(ж)=+ооЛ 1 tp(t)оназывается синус -преобразованиемФункцияФс(ж) =sinжt dtФурье функции 'Р(ж).Л 1 tp(t) cos жt dt+оооназывается: косинус-преобразованием Фурье функции tр (ж).Имеют место следующие формулы обращения синус и косинуспреобразований Фурье:tp(t)tp(t)==+ооЛ j Фs(z) sin txо+ооdx,ЛI Фс(z) cos tx dx.(6)оЗамечание.
Если y?(t) - четная функция, то Ф(z) = Фс(z) ; если же y? (t) нечетпая функция, то Ф(:r) = iФ,(z), где Ф(z) есть преобразование Фурьефункции y?(t) ; а Ф,(:�:) и Фс(z) являются соответственно синус- и косинуспреобразованиями Фурье функции y?(t) .l lОТhава 3.Примененив интегральных првобраэованийПример 3. Решить интегральное уравнениеj �p(t) sin жt dt =+оооe-z' ."(ж > 0)./'fe-z , очевидно, является синус-nреобразо�аниемРешение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
