М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Интегральные уравнения (1118010), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Следовательно, этоуравнение в классе интегрируемых на [0, 1] функций решений не имеет.§ 22. И11теrраnьнЬ{!1 уравнения ФР*Jд.rольма 1-ro рода137Теорема Пикара . Интеградьпоеуравнение Фредголt>Ма 1-го рода имеетрешение, и притам единственное, в классе t2(a, Ь) , если вьтолняютсяусловия:1° . Ндро К(ж, t) ,.... вещественное симметричное.2° . Ряд00I:>.�йk=l(3 )явллетс>i с.ходящимся.
Здесь >.k - характеристические числа ядраК(ж, t)··ьj/1: =.f(x)VJ�:(ж) dx,(4)где VJk (ж) - собственные функции ядра К(ж, t) , соответствующиехарактеристическим ЧисЛам >.k .3° . Система собственных функций {VJk(ж)} полная на [а, bJ.Решение уравнения ( 1 ) t1 этом слу<tае представимо в видеVJ (:t) = L >.k fk iPk(x).kПример1.(5 )Рвwить интеrральное ура вне,.�ие Фредгольма 1 -ro рода1jогде.
К(жК(а:, t) tp(t) dt{., t) =sin 31rж,(6)( l - x)t, О � t � х,ж( l - t), :t � t � 1 .(?)Решение. Характеристические чifсда Ядра (7).Л2 = (211")2,Л! = 11"2,• • •,Л" = (n1t)2,а с��Шще нм с�нные ф�...'(z) =:: V2sin 21t�, . . . , l{)"(z) V2s� mrz, . . . . (8)2Для выяснения вortpc:x:a о разрешимости уравне�щя (6) при заданном формулой (7) ядре K(z, t) воспользуемся теоремой Пикара.
Условие 1• теоремыПнкара, очевидно, выnолtiЯеJrся: идро (7) вещественное И симметричное.Правая часть уравнения (6) может быть пре,11ставленав виде--1{)1(ж) ::::: v'2sin 1t�,I{Ji'-'''31siri 31tz = 4 sin 1tfl! - -. 4sin З1tz,.138или,Тhава 4. интегральные уравнениячто1�ro,Юдато же,3l3.г,;; (V2 sin 1rx) - .г,;; (../2 sin 3'11'х) = /;;' Y'I (x) - l.г,;; У'з (х),4v 24v 24v 24v 2где <р 1 (х) и <р3 (х) - собственные функции из системы (8). Значит,sin 31rx =f(x) = sin 3'JI'xимеет следуЮщие коэффициенты разложения по функциям системы (8):3/1 = .ji '4л = о (k � 4)./2 ::: 0,Ряд (3) в данном случае сводится к конечной.
сумме�00( ) ('11' ) + ( - ../il ) (3 '11' ) = 451 6 '11' .432 2Лkfk = ../i4222 222 24Значит, выполняется и условие 2• .Наконец, система собственных функций (8) является nолной ортанормированной системой на [0, 1 ] , так что выполнено и условие 3• .Согласно теореме Пикара уравнение (6) имеет единст�нное решение, представимое в виде (5):чтов нашем случае дает<р(х) == Л I/I'PI (x) + Лзfз'Рз (х),3'11'2<р(х) = 4 ( si n 'JI'X - 3 si n 3'JI'x).[>. (9)Непосредственной подстановкой убеждаемся, что решение (9) найдено верно.Требование nолноты системы собственных функций {IPk (ж)} в теореме Пикара является суmественным. Покажем это на следующем nримере.Пример 2.1! t!p(t) dtо=�·(10)Решение.
Применяя изложенный в § lO метод отыскания характеристических чисел .lf собственных функций, находим, что характеристическое числоданного ядра есть Л = 2 , а соответствующая ему собственная функция ф(х) = l .Ясно, что «система• собственных функций, состоящая из одной толькофункции ф(х) = 1 , не является полной на [0, l ] . Поэтому теорема Пикаране гарантирует, что решение уравнения (10) будет единственным.Непосредственной nодстановкой убеждаемся, что решениями уравнения (10)будут, наnример, любые трехчлены видаУ' (х) = х + ах2 + {3х3 ,если коэффициенты а и {3 связаны условием Sa + 4(3 == О.Очевидно, все такие решения принадлежат L2 (0, l).1>§ 22. 11/нтеrральные уравнения Фредrольма139.t·ro родаЗадачи для самостоятельного решенияВыяснить, какие Из данных интегральных уравнений1(з� - 2)t�(t) dt = �3 + з� - 1 .1303.304.разрешимы:1 cos <� + t)�(t)�{оо1 K(ж, t)�(t) dt = З sin ж - sin 3ж ,..305.rдеК(ж,t) =оdt= 1r cos �.,' j 't(1r - ж), О � t � ж,1Г:t:(1Г - t)-.
-, ж � t � ..-.--11'Метод проиэводящ/1/Х функцийФункция G( ж, t) называется производящей ДЛя системы функцийgo(t), 91 (t), . . . , Un(t), . . . ,еслиG(:в, t)где=Сп00L Cn9n (t):вn ,n=O(11)( 1 2)- nостоянные.Пусть имеем интегральное уравнениеьj К(:в, t)p(t)!p(t) dt = f(ж) ,(13)ав котором ядро К(ж , t) является производящей функцией G( ж , t) длянекоторой действительной и ортогональной с весом p(t) > О на интервале(а, Ь) системы функций {g�; (t)}, и пусть f(:в) аналити чна в окрестноститочки ж = О. Будем искать решение уравнения (13) в виде00( 14)i=Oгде ai - некоторые неизвестные постоянные. Подстановка (12) и (14)в (13) дает в силу ортоrоналъности {g�;(t)}002: enanll9n(t) ll2жnn=Oгдеl lun (t) ll 2 =ь=f (:в) ,j g�(t)p(t) dt.а(15)Глава 4.
Интеrральные урав�:�ения_ 1 "го. ррр.а140Из (15) находим' !/ (n) (O)n=n = О, 1 , 2, . . . .an!Ct.ll9n ll 2 'Подставляя эти значения an в (14) , получаем искомое решение, котороев случае полноты системы ( 1 1) будет единственным.П ример 3. Решить интегральное уравнение11 -·r=t.p===(t)=d=t-1=V1 + х 2 - 2xt= х + 1.(16)Решение. ФункцияG(x , t) =1 .-;:::===:::==:::;;=v'1 + х2 - 2жtявляется nроизводящей для nолиномов Лежандра P,.(t):""G(ж , t) = Е Р,. (t)жп .Ищем решение уравнения (1 6) в видеtр(ж) =(17)n=O00Е а1.Рt(ж).(18)i=OПодставляя (17) и ( 1 8) в (1 6) и учитывая, что22\ \Рп\\ = 2n+1'будем иметь."" 2anЕn=O12n + 1--3Отсюда а0 = - , а1 = - , а.. = О ( n �. 2 );221�(ж) = '2 Р0(х) +.жn = ж + 1.Итак, решение данного уравнения'312 Р1 (х) = 2+32 х.П ример 4.
Решить интегральное уравнение100ое-zt/(1-z)1 - х e-1t.p(t) dt = 1-х,lx l<1.(19)§ 22.ИнтеграЛьныеуравнения Фредrольма t ·го рода141Решение. Футщияe-.,t/(1-.,}1 -жявляется nроизводящей функцией для полиномов Чебыщёва-Лаrерра L,.(t) :G(ж, t)=""G(ж, t) = L L,.(t)ж".(20)Решение уравнения (19) ищем в виде""<p(t)=L aeLt(t).(21).1:=0Подставляя (20) и ( 2 1) в (19) , nолучим1 L e-tL,.(t)ж" L <ltL.t(t) dt00Оо_00·n=O0k=O=1 - ж.В силу ортоrоналънооти полиномов Чебышёва-Лаrерра с весом p(t) = e-t на ин'тервале (0, оо), буДем иметь00L(n!)2.z"a,.n=OЗдесь 1tспользовано то, что2IIL,.II=1 e-tL�(t)1 - ж.00=dt ={22 )(n!)2 •оПриравнивая коэффициенты nри одинаковых стеnенях ж в левой и nравойчастях (22), найдем а0 = 1 , а 1 = - 1 , а.�: О (k = 2, 3, .
. .) . Следовательно,Итак, <p(t)=t.<p(t) = Ln (t) - L1 (t)=l-( 1 - t)t.!>Задачи для самостоятельного решенияМетодом nроизводящих функцИй решить интегральные уравнения:1306.1-1<p(t) dt�l + z1 - 2:zt3= 2z - 2z.307.11-1. <p(t) dt�1 + ж2 - 2жt=-�- .1-ж142Глава 4.
Инrеrральные уравнения1-го родаИнтегральное уравнение ШлiiмильхаИнтегральным уравнением Шлёмильха называется уравнение вида'lr/2f(x) =�jIP(x sin 8) d8,о(23)где функция f (х) имеет непрерывную провзводную /1 (х) при -1Г � х � 1r,а IP(x)неизвестная функция.Покажем, что уравнение (23) имеет единственное непрерывно дифференцируемое на отрезке -1Г � х � 1r решение, а именно:'lr/2IP(x) = /(0) + х / ' (x sin 8) d8.-·jоИз уравнения (23) находимwf2�J./ (0) =оIP(O) d(J = IP(O),или !р(О) = / (0).Дифференцируя по х обе части уравнения (23), получимw/2IP'(x sin 8) sin 8 d8./' (х) =Заменим в (24) х на х sin ф:�J(24)оw/2/' (x sin ф) =Умножим обе части (25) на1ГДО - ·.2w/22х ! ' (х sin Ф) dф =jо� J !p1(x sin ф sin 8) sin 8 d8.х(25)о .и проинтегрируем по ф в пределах; j { J IP'(x sin ф sin 8) sin 8 d8 } dф.w/2w/2ооотОМеняя порядок интегрирования в правой части последнего равенства,будем иметьw/2w/2 w/2х / '(x sin ф) dф =IP' (x sin ф sin 8) sin 8 dф de.(26)jо�j{jоо}143Интеrральные уравнения Фредrольмв 1 -ro рода§ 22.Введем новую nеременную по формулеsin х = sin О sin -ф,откуда(27)cos х dx = sin (} cos ф dф ,так чтоcos хdx = sin tJ .dф.соs ф7ГПри ф = О им�м sin х = О, т.
е. х = О , а nри 'Ф = 2 nолучим х = О .Таким образом, равенство (26} nримет вид,, .жтf2jоf'(ж sin 'I{J) dф =� j { J s�::�т/2еоо'� (жcos xВ силу соотношения (27) имеем}dx de.sin xsin ф = -:---а ,Stn u(28)(29)Рмс. 75:вПодставляя (29) в правую часть (28) и меняя nорядок интегрирования(рис. 7), nолучим11/2zJ f'(z sш 'Ф) dф =о.=1{1�1{12z-'��'т/2от/27Говот/2х·<p'(z sin x cos x sin B)dх dл\1 =y'cos 2 х - cos 2().}<p1 (z sin x) cos x siny'cos 2x - cos 2fJ}8 de dx.(ЗО)Глава 4 .
Интегральные уравнения 1·1J) рорр.144Имеем1f/21 vfcossin2хfJ-dfJcosх---;=:;;:===:::;= =2 (}1f. cos 8 1fJ=1r/1.- arcslП -cos Х ll=xarcsin 1 = 2 .Таким образом, соотношение (30) принимает видхНохт/21f/2оо1 /'(x sin -ф) d'I/J = x 1 <p'(x sin x) cos x dx.(31)'1:{21 <р'(х sin x) cos х ах =о=-к/21 dtp(x sinоХ)=<р(х sin х)= 2 = <р(х) - <р(О)./,Хх=о'К(32)Замечая, что <р(О) = /(0), из (3 1 ) и (32) окончательно находим<р(х)'lf/2!'(x sin'ЧJ) d'ЧJ./(О) + х jП рим ер 5. Решить уравнениех2=(33)о1f/2� 1 <р(х sin (J) d(J.(34)оРешение.
Уравнение (34) является уравнением Шлёмильха, rде f(ж) = ж2 ,а значит, f(O) :::: О. Находим nроизводную: f'(ж) = 2ж . Применяя формулу (33),найдем1f/)1p(z) = жJо2(z sin ф) dф==-2z2 cos ф'ф=1t/2ф=ООтвет: 1p(z) = 2z2 •Непосредственной nодстановкой функции l"(z)убежцаемся, что она является ero решением.==2:r/ в уравнение (34)t>§ 22. интегральные уравнения Фредгольма 1 -ro родаЗадачи для са мостоятел ьного решенияРешить следуюшие интегральные уравнения:309. 1 + х ='lr/2�131 1 . 1 + х2 =о�(х sin O) dO.'lt/6�1о�(x sin 38) d8.3 1 0. 3х2 + 2х3'lr/2�1о�(x cos fJ) dO.145ГЛАВА5nриближенные методырешения уравнений§ 23.
За м ена ядра и нтегрального уравнениявырожденным ядромПусть имеем интеrральное уравнениеtр(ж) = / (ж) + Лъj К(ж, t) tp(t) dt( 1)с nроизвольным ядром К(ж, t) . Простота нахождения решения уравненияс вырожденным ядром (см. § 9) естественно nриводит к мысли о замене данного nроизвольного ядра К(ж, t) nриближенно на вырожденноеL{ж, t). В этом случае решение q;(ж) нового уравненияjьq;(ж) = /1 (ж) + ..\L(ж, t) q;(t) dtаnримимается как nриближение к решению tр(ж) исходного уравнения ( 1 )В качестве выро:жденного ядра L(ж, t) , близкого к данному К(ж, t) , можнобрать отрезок ряда Тейлора для функции К(ж, t), отрезок ряда Фурье дляК(ж, t) no любой nолной ортанормированной в L2(a, Ь) системе функций{иn(ж)} и т. д. Укажем некоторые оценки nогрешностей в решении (1),возникающих от замены данного ядра на вырожденное.Пусть даны два ядра L(ж, t) и К(ж, t) и известно, что.ьjа!К(ж, t) - L(ж, t) l dt < hи что резольвента R�(ж, t; ..\) уравнения с ядром L(ж, t) удовлетворяетнеравенству11J IRL(Ж,4t; ..\) 1 dt < R,а также что 1/ (ж) - /1 (ж) l < fl· Тогда, если выnолнено условие1 - 1 ..\ l h( 1 + IЛ I R) > О,§ 23.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
