М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Интегральные уравнения (1118010), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Она имеет видll1111- [1][+\((3af+l)+аж)3аf)З ] ' О '-"& z &'-" t '(lG(x, t) =� [t - ( 1 +lat)3 ] [ ( 1 + lах)З - (1 +lal) З ] , t � �у(х){Сро-хl,(16)§ 27. Методы отыскания характернстнческих чиселrдес :;113За [ (l +lal) З l] .-Согласно формуЛе (14), наименьшее характеристическое число р. 1 уравнения (16)приближенно равноР.•�-;::::====1!11QQ,G2 ($ t) dx dt=-;:::===(17)Вычисление р 1 по формуле ( 1 7) весьма rромоздко. Считая величину q малойи отбрасывая члены, содержашие стеnени q выше nервой, уnростим вычисленияи получимзv'IOP.l � l2 vfl- 4q .Отсюда находим критическую силу:Р.кр�Е.7r�2.з v'IO12 �Для стержня nостоянного сечения�q :;Ркр ::::::: 4 ,743E1rri · 4,74 311(l +2 .q)О и формула ( 1 8) даетE7r4Т.Точное значение критической силы в этом случае равно1r2E1rriE')'r�---w= 4,948 7 .(18)Ответы"'.9 <р(ж) = -ж + j<t - ж)<р(t) dt.
1 0. <р(ж) = 1 + J"' <p(t} dt ."' - t)<p(t)dt. 12. <р(х) = 5-бж+ jl5-6(ж-t)]<p(t) dt .· 11. <р(ж) = соs ж - j<xооо:tо"'<р(ж) = соsж - ж - /<ж - t)<p(t) dt ."' - е"'(ж -t)]<p(t) dt .14. <р(ж) = ж -sinж + е"(ж - 1) + f!sinж1 3.оо1 5 . <р(ж) = cos ж - 2ж(1 + ж2) - J"' (1 + ж2)(ж - t)<p(t) dt."'1 6. <р(ж) = же"' + 1 - ж(ж2 - 1 ) - J [ж+ i(ж2 - ж)(ж - t)2] <p(t) dt .оо"' ж(ж -t)2<p(t) dt.=<р(ж)7.J+1)2+ж(ж11 9. <р(ж) = ж - 2ж2 . 20. <р(ж) = (1 - ж)е-2"'. 21.
<р(ж) = l - ж.1 shvA(ж-t) (Л > О).4ж + 124.22. <р(ж) = --.2ж + 1v'Xe(l+Л)(z-t).27. 11 ++ж2t2 е25 ..>.(z-t)28' 22 ++ cos t eЛ(ж-t) · 29. сhжchtж е32. � е -t - � е -З(z-t) . 33. 2же"'2 -12 •4t2 + 1 834.2(2t + 1)2 [ 4t2 + 1 4е-2(z-t)] ; одно из решений соответствующего дифференциального уравнения у1(ж) = е-2"'.36. <р(ж) = е2"' .37. <р(ж) = �е3"' - � cos ж+ � sinж.338. <р(ж) = 3"'(1 - е-"').
39. <р(ж) = е"' sш. ж + (2 + cos ж)е" ln -2-+соs жо.>.(:н)COS Ж-175Ответы140. ip{X) = еж-:�: -2х.г (�) г(�)52. I = �2 r(m;nz•>+<•-lГ( n + 1)54• fP(x) = Г( l а ) Г(n + а ) ·)·60.ip(z)2Vi '62. fP(:e) = 3. 63. fР(Ж) = sinж.67. Да. 68. Нет. 69.72. Да.64. Да. 65. Да. 66. Да.17. R(x, t; Л) =l -лл22+6)( x + t жt 1ж t - xt + xt - - - - - Л3 5478.
R(x,t; Л) =Л2l+240sin t - 1r( l + 2 sin ж sin t )Л' _ sin ж80 R (ж, t, ")1 + 211'2А22. - -8 1 . R(x, t; Л) =82. R(ж, t; Л) =70. Да. 71 . Да.2ж - t + (x + t - 2жt - 5) л2•Нет.x + t + l + 2 (жt + �) л41 - 2,\ - - ,\23t1 + 3:z:t + �( х; - - )1 - 2Л +3xt1-.\24l ..\79. R(x, t; Л) = sin x cos t .•176Ответы()'2х2 t - 43 х2 + х - 43 xt Лex-t83. R(x, t; Л) =.84. R(x, t; ..\.) =..\21 ..\1 - ..\ +18sin (x + t) + 1r..\ cos (x - t).85 R(х, t, ..\.) 1 - 1r2Л2x - sh t - 2(e-1 + x sh t)..\86 . R(x, t; ..\) =87. �(х) = l ..1 + 4e-t..\21(6х - 2)..\ - Л 2х88.
�(х) = х +.89. �(х) = cos 2x.6Л2 _ 3Л + 613х(2Л - 3Лх + 6)90. �(х) = 2 е'" .91 . �(х) = 2,\ _ 1 8Л + 1 84 n- 114 "-'92. K2,._t (x, t) = - 3(ж - t) , K2n(ж, t) = 2( -l)nxt +33(n = 1 , 2, 3, . . . ) .sin (х + t) 1r4 - 1r2- 4 cos (х - t) , К3(ж, t) = � sin (х - t).93. К2 (х , t) =22883225694. K2 (x,t) = 3 (x+t/ + 2x2 t2 + 9 xt + 5 , К3(х, t) = (x2 +t2 )+ 3 x2t2 -4xt+ 15 .459 5. K2n-1 (х, t) = (21r) 2"- 2 (x + sint) , K2n (X, t) = (21r) 2n- l ( l + x sint) (n = 1 , 2, . . . ).�.. + 1 n-l ж96. Кп (х, t) = хе1 •е cos t.97. Kn (X, t) = - -2енt + e2 -z- t+ (t - х - 1) et-:• , О � х � t,298. К2 (х, t) =e'"+t + e2 -z-t2+ (x - t - 1 ) e"'-1, t � x � 1�4xt - х2 -_••][( ){{99.
К2 (х, t) =() (·(е2 + 1 t-zе ,2- 1 � х � о.е 2 + 1 t+zе2,2e'"+tО � х � 1.--)2; IЛI < -- .222 - (е - 1 ) ,\е -12 sin х cos txet+1; IЛI < 2 .1 02. R(x, t; ..\) = -- ;1 01 . R(x, t; Л) =2 - ..\е - 2..\33(1 + x)( l - t)1 03. R(x, t; ..\) =; 1..\1 < 2 .3 _ 2..\55x2t2Зхt1 04. R(x, t; ..\) = 5 _ 2..\ ; IЛI < 2 .1 05. R(x, t; ..\) = _ ;3 2..\1 06.
R(x, t; ..\) = sin х cos t + cos 2х sin 2t.3(2x - 1)(2t - 1) .1 07 R( х, t· ..\) - l +' IЛI < 1 .'1 - ..\.3 - ..\1 00. R(x, t; ..\) =•)еIЛ I < - .23\ Л\ < 2 .1 77Ответы11"21 1 1 . <p(x) = -- sin 2x + 2x - 1Г . 1 1 2. <p(x) = tg x.1Г - 11Гl + q21 1 4. <р(х) =1 1 3. <р(х) = 2 л + ctg x .l + q2 - Л.- 11"2л11+1 1 6. <р(х) =; Л ;t= l .1 1 5. <р(х) =v'1 - x28(Л - l)l - ЛГ(р + 1),\2+ Л lnx2Л2 х +261 1 7. <р(х) =+ - ( l - 4x) . 1 1 8. <p(x) =sinx ; Л ;t= 2 .52_Л1 + - Л2482 cos x + 1ГЛ sin x1 20.
<р (х) = 24 + 1Г2Л 21551 21 . <р(х) = Л1r sin х + cos х.1 22. <р(х) =(х + 1) 2 +.16328.1 24.1 23. Л1 = -- , <р1 (х) = sш 2 х .1Г - 22l21 25. Л1 = - , <р1 (х) = sin x . 1 26. Л1 = - - , Л2 = - , <p 1 (x) = sinx , <p2 (x) = cosx .1Г1Г1Г1 27.510l1 28. Л1 = Л2 = -3 , <р(х) = х - 2х2 • 1 29. Л1 = 2 , <р 1 (х) = 2 х + 3 х2 .е1 31 .
Л1 = - 2 , <p1 (x) = sh x.1 32.1 33.321 + 3v'616 - К!1 34. Л1 = 2 ' <р 1 (х) = Сх , Л2 =, <р2 (х) = х2 +С,5821 - 3v'616+Л3 =, <рз (х) = х2 +С.851 35. Лn = -n2 1Г2 , <pn(x) = sin n1ГX (n = 1 , 2, . . . )(.)�9•Нет.Действительных характеристических чисел и собственных функций нет.Нет.Действительных характеристических чисел и собственных функций нет.((v'бl)).1 36. Ло = 1 , <ро(х) = е" , Лn = -n2 1r2 , <f'n(x) = sin n1Гx + n1Г cos n1Гx (n = 1 , 2, .
. . ) .1 21 37. Лn = - 3 /Jn,<f'n(x) = sin iJnX + /Jn COS IJnX ,/Jn1iJ - - = 2 ctg iJ .1 38. Лп = 4n2 - 1 , <!'п(х) = sin 2nx (n = 1, 2, . . . )iJ1 39. An =( �уn+( �)- 1 , <f'n(x) = sin n +где - корни уравнения.х..1 1'21 40. Лn = � ' <f'n(x) = sin 1Jn(1Г+x) (n = 1 , 2, . . . ),IJn SШ 1tg 21ГiJ = -,., tg 1 .IJn1 41 . Лп = 1 - IJ� , <f'п(х) = sin iJnX + IJn COS IJnX,12 ctg 1ГIJ = IJ - - .iJгдегдекорниуравнения- корни уравненияJ 78Ответы.Л,. = -.1 -+2-��� , <р,.(а:) = sinp,.a: + p,.cosp,.a:, где р,. - корни уравнения2 ctgp = р - -.р11 43 .Л,.=-1-р;, <p,.(a:)=sinp,.a: , где р,. - корни уравнения -tgp=p (р 0) .2 1 . 1 52 __1 + е-_21 50 �1 51 .
�89016 21 53. <р1(ж) = 1 , <р2 (ж) 2ж - I . 1 54. <р1(х) х, <р2 (х) х2 •1 55. <f't(x) = 1, <р2 (ж) = ж, <р 3 (х) = 3х2 - 1 .211 56. Ло = -, <р0(ж) = l, ..\1 -, <р 1 (ж) = cos 2z, <p1(2) (ж) = sш2ж.'11''11'3 <f'o(z) 1 , .Л,. = (-1)"-,n2 <р�)(х) = cosnx, <р�2>(х) = sinnx1 58. Ло =4'11'2'11'(n = 1, 2, .. )11 59. а) з · <р(х) = ±..Гзж;C · sinж,C· arccosx, .л = 1,1 61 • <p(z) = {1 60. <р(ж) = С · соsж,о,.л т!:l.1 42 .•>4-••(1):•3,.о,<р(х) = С. x 1 63.
<р(а:) Clzl. 1 64. <p(z) = C(z- :�.:2).1 65. <p(z)=sin� . 1 66. <р(ж) = 2е" ....: 2 + (2 - е)ж.sinpж- pcospж+ sinp(z - 1),. = 2.Л,2р 2р ( 2р + 2р . 2р )1 67. <p(z) =shpz -р chpx + shp(ж - 1) .Л < р = Г-2>..2рсь !!2 (сь !!2 - !!2 sh !!2 ) '2sin..Гз(z - �).1 68. <p(z) = 3cos2a: +..Гз3'11'sln -4Л cos v'л+f(r - х) + cos v'л+f1r л > -1,(Л+ 1) cos 1rv'л+f.Лсh- z) + ch v'=Г-11r , А < 1,v'=Г-l(r1 69. <p(z) =(А+ 1) ch1А = -1.21 62.COSCOSSШ•�1rv-A -'' >Ол'О,11�v1 79Ответы3(sh J'Ж 1' chJ'ж) + sh J'(Ж- 1) - 21' ch J'(Ж - 1)( 1 + 21'2) sh 1' 3� ch 1'� > о, 1' = 2v'>.,170.
<р(ж) =3(sin J'Ж + 1' cos J'Ж) + sin J'(Ж - 1 ) - 21' cos J'(Ж - 1 )( 1 - 21'2) sin 1' + 31' cos 1'� < о, 1' = 2-..r-:>..171. <р(ж) = -1. 172. <р(ж) = sh 2 sh v'2ж2 ch 21' v'>."=l,1' = v'l'="1;если � = 1 , то решений нет.ChJ' (Ж - �)ch J'21Г - J'1Г2 sh J'21Г ' � � о, 1' = VV.,174. <р(ж) =COS J' (Ж - � )J'1Г ' � < о, 1' = �.J'1Г + тJ'1Г sm• тсоs т2 .
При � = -2 решений нет.2175. <р(ж) = 1 + 2 2�1Гж;�'#соs1Г1Г- �1Г176. <р(ж) = е _ 2� ж; � '# 2 . При � = 2 решений нет.177. <р(ж) = ж + 1 21Г_ 21Г�2� lж - 1ГI; � '# 1Г12 • При � = 1Г12 решений нет.178. <р(ж) = 3ж(2�2ж - 2�2(� +5�3)-2 6) + (� + 3)2 ; � ::;:. -3. При � = -3 решенийнет.3, � # -3,5ж3 - S3 4�+еслиж�-#,24179.
<р(ж) = 3 1 14� + 33ж - -1 5 ж+Сж2 ' если � = -2 .При � = --43 решений.{ sinж, нет.� '# 1 ,180. <р(ж) = Ct СОSЖ + С sin 2ж + sin Ж, еслиесли � = 1 .22181. <р(ж) = - 2ж + 23 - 1 , если � = -1;++ег,;v=--ее{-thег,;+vг,; ·v1 80\O(Z)Ответы=::{[ (р.2 - l) chp.x t] _!...2 Л > 1,ch р. - р. sh р. th 1 р. '[ (р.2 cos р.х - 1 ] 12 ' Л < - 1,cos р р sin р th l рЛ '23{3, =ОЛ4v'З{3++ \)+:f:.nараметры а, 'Уразрешимо nри f3и любых а и 'У .1 83.
При :f:. -6 ±параметры а ,1 82. ПриР.yТtl,р. = v'-Л - 1..3любые числа; nри Л = 2уравнениеЛ = -6 + 4v'3уравнение разрешимо nри условии (е + v'3 - l)a + ( � "';){3 = О; nри Л =-6 - 4v'З уравнение разрешимо nри условии (v'3 l)a + (� - "';){3 О.241 84. ;Сiри Л =1= уравнение разрешимо nри любых значениях параметров и {3;24 уравнение разрешимо при условии 1r3a + 24{3 = О.nри Л ={ l + (� - 2)a:, О � х � {.1 90. G(x, {) =({ - l)x - 1, { � х � 1.1 91 . Очевидно, что уравнение у"(х) = О при условиях у(О) = y(I), у'(О) = y'(I)имеет бесчисленное множество решений у(х)С. Поэтому функции Грина- любые числа; при+еа31Г{{�{2�[ж(2 { 2для этой краевой задачи не сушествует.1 92. Функции Грина не сушествует.1 93.G(x, {) =1 94.G(x, {)1 95.G(x, �) =\з{ х), о � х � { ,26(3а: - {), { � а: � 1 .ж({ - 1) (z - х{ + 2{) , О � х � {,�а:)({ - 2) + {] , { � х � l.ж(х - <0({ - 1) о � х � { ,{'- {({ - х)(2 а: - 1) '{ � х � 1.1 96. Функции Грина не сушествует.1 97.
Функции Грина не сушествует.sh � shkx О � х � {,kh1 98. G(ж, { ) =sh k{ sh k(x 1) ' { � ж � l.k sh k181Ответы1 99.2sin 2G(x, {)cos({ - z + � )' { :::;; z :::;; 1 .12 sin 2{{{{ Н(· - ;) '{н ;200. Функции Грина не существует.201 .G(z, {) =(hz + l ) [H({ l ) - l J ,h + H + hH0 :::;;z :::;; {,(h{ + l ) [Н(з: - 1 ) 1 ) , { :::;; z :::;; 1 .h + H + hHа + 1 - � о :::;; z :::;; {,(202. G(z, {) =lа + 1 - -, c :::;; z :::;; 1.з:х 2{ ln { � l - ({ - l ) ' О :::;; х :::;; { ,203. G(z, {) =х - ln x - 1 {(х2х- 1)2 ' { :::;; з: :::;; 1.� 1 - ;2 ) ' о :::;; з: :::;; {,204.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
