М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Интегральные уравнения (1118010), страница 19
Текст из файла (страница 19)
<р(ж) = 2ж2 + 2 - 1 ж<р(t) dt, а) <р0 (ж) = 2 , б) <р0 (ж) = 2ж .о327. <р(ж) = � - 2ж - 1 <p(t) dt, <р0 (ж) = ж2 •о328. Пусть К(ж, t) удовлетворяет условию1 1 К2(ж, t) dt dж < +оо.ооДоказать, что уравнение<р(ж) - ..\ 1 К(ж, t)<p(t) dt = Ооимеет при любом ..\ единственное решение <р(ж) в классе L2(0,325.z3zаz"'=Оа) .Метод последовательных приближений может быть применен и к ре.,шению нелинейных интегральных уравнений Вольтерра видаj F[t, y(t)] dt(2)+ j F(x, t, <p(t)] dt(3)у(х) = Уо +или более общих<р (х) = f(x)zоzо§ 25 ... Метод последовательных приближений1 57при весьма широких предположениях относительно функций F(x, t, z)и f(ж).
К уравнению вИда (2) приводится задача реш ения дифференциальноrо уравненияd:yахКак и в случае линейныХ интегральных уравнений, будем искатьрешение уравнения (3) как предел последовательности {<pn (x)} , где,например, <р0(ж) = / (ж) , а следующие элемент� <Pk (x) вычисляютсяпоследовательно по формулеIPk (ж) = / (х) +Если!1!J F(x, t, IPk-I(t)) dt(k = 1, 2, . . . ).о(4)f(x) и F(x, t, z) суммируемы с квадратом и удовлетворяют условиямjF(ж, t, z2 ) - F(x , t, ZJ) I � а(ж, t) lz2 - ZJI,:r;I Jо F(x, t, j(t)) dtl�(5)n(ж) ,где функции а(ж, t) и n(ж) т�ковы, что в основной области (О � t � х � а)а1оn2 (x) dж � N2,аzJо dx Jо а2(ж, t) dt�А2 ,то нелинейное интегральное уравнение Вольтерра 2-to рода (3) имеет,притом единственное, решение <р(х) Е L2 (0, а), которое определяетсякак предел IPn(ж) при n -+ оо :;и<p(:t) = Iim IPn (x),где функции <,Оn (ж) находятся цо рекуррентным формулам (4) . В качестве<ро (ж) можно взятьлюбую функцию из L2(0, а) (в частнощи, непрерывнуюфункuию) , для которой выnолняется условие (5).
Заметим, что удачныйвыбор нулевоrо nриближения может облеrчить решение интегрйЛьноrоуравнения.Пример 2. Методом nоследовательных приближений решить интеrр.альное уравнение<,0(ж ) =!1!Jо1 + 1Р2 (t)1+ t2взяв в качестве нулевого nриближения: 1)dt,<ро (ж)О; 2)<р0(ж) = ж .15'8Тhава s, ' 11рнблнженные методы решения уравненийПуать �{z) =•0; ТоГда�� (z) = 1 l +dt = arctgz,о2t dt arctg ж + 31 arctg 3z,�2 (z) = 1 l +arctg1 + t2-,' , 1 1 + ( arctg t + � ilrctg 3t) 2dt =�3(z) =t2+1о= ar.,ctg ж+ l arctg 3ж +.-2 5 arctg 5ж + 7 1.
9 arctg 7 ж,�4(z) = 1 1 +1 +�it2(t) dt = arctgz' + 31 arctg z + з:52 arctg z +о 7+ 5 17 9 arctg z + 5 38 arctg z + 9 111 3421 · 25 arctg 11 z ++ 3 74. 9 . 13 arctg 13ж + 72 2 . 1 5 arctg 15z,Обозначая arctgz = u и сравнивая выражения �.. (z) с разложением22"(22" - 1) 2vt1211-1 ,-1"(tg u = �1)(2v)!�где - числа Бернулли t), замечаем,�.. (z) - tg (arctg z) =удно nроверить, функция �(:r) = ж есть решение, данного интегральногоНеrрвнения.ура2) Пусть �0(ж) = О. Тогда .,+ t2 dt = z.�1 (z) = 1 l1 +tо 2Аналогично находим �..(ж) = ж (n = 2, )В2н1В1 -i ·Bz.,Во� 2v(2v -: 1) .
. . (2v - 2k + 2) B2!' + 1 - 2 k=2' Решенне. l)"'"';=о..33.-'·-••37•97 · 92:5 .••чточто"��3•9вBv$д.тш:r.,.•. .с ,нечеtНЫм ИЦII.ексом все равны иy.IIIO, кроме!} Числа Бериулли1 , числаопределяются рекуррентными формулами::::1,1в2.1},· =, - -- + - - LJk!k.=Число§ 25; Мf/тод последовательных· прнблнжений1 59Таким образом, последовательность {tp,.(z)} есть стационарная последовательность {z} , предел которой tp(z) = z. Решение данного интегральногоуравнения получается сразу:t>tp(z) = z.Задачи дпя самостоятельного решения329.
Методом последовательных приближений решить интегральное уравнение.,ttp(t)dttp(z) 1 + t + tp(t) .Jо330. Методом nоследовательных nриближений найти второе nриближение tp2(z)решения интегрального уравненияtp(z) = l +.,jо[tp2 (t) + ttp(t) + t2] dt.331 . · Методом последовательных приближений найти третье nриближение tp3(z)решения интегрального уравнения"'tp(z) =j [ttp2(t) - l] dt.о2 ° .
И нтегральны е ура внения Фредrоn ьм а 2-ro рода .Пусть имеем интегральное уравне ние ФредrольмаЛ12-ro родаьfP(a:)=/(а:) +Строим последовательность функцийформулыК(ж, t) 1p(t) dt.{ fРп (х) }(6)с помощью рекуррентной+ Л 1 К(х, t) IPn-t (t)ьIPn{z) = /(z)dt.)(7Функции IРп (а:) (n = 1 , 2, . . . ) рассматриваются как приближе н ия к искомому решению уравне ния , причем нулевое приближе ние ipo ( z) можетбыть выбрано произоольно .1 60Глава 5. Приближенные методы решения уравненийЕсли выполнено условиеj j К2 (х, t) dx dt,ьIЛI <1В,гдеВ=аьато последовательность (7) сходится к решению уравнения (6) в метрикеL2 (a, Ь) .
Величина погрешности (m + 1 ) -го nриближения определяетсянеравенствомгдеjьF=аьJ 2 (x) dx,j 'Рб (х) dx,Ф=j К2 (х, t) dt.ьаА=а�z�ЬmaxаПример 3. Методом последовательных приближений решить уравнение<р(х) =1j xt2<p(t) dt + 1(9)ои оценить погрешность nриближенного решения.Решение. В качестве нулевого nриблиЖения возъмем1<р0(х) ::: 1 . Тогда<р 1 (х) :::: 1 xt2 · 1 dt + 1 :::: l + 3'х1<р2 (х) :::: 1 xt2 (1 + �) dt + 1 :::: 1 + } ( l + � ),1<р3 (х) :::: 1 xt2 [ l + � ( l + � )} dt + l :::: l + j ( l + � + :2 ) .оооПетрудно видеть, чтоОтсюда.llffim-oo<i'm+t4(х) :::: l + -х.91 61§ 25 .
Метод последовательных приближенийНепосредственной проверкой убеждаемся, что4<р(ж) = l + ж9.есть решениеуравнения (9).Для оценки потрешиости (m + l)-ro nриближения воспользуемся неравеиством (8). В нашем случаетак чтоЛ = 1,Ф1,F= l,А=1v'5'вlv'E '1>Задачи дл я сам остоятельного решенияМетодом последовательных nриближений решить уравнения:51333. <р(ж)332. <р(ж) = ж + 4 j ж2t2 <p(t) dt.ж+a:t <p(t) dt .62f11ооНайти третье nриближение <р3(ж) к решению интегрального уравненияt,<р(ж) = 1 + J К(ж, t) <p(t) dt, где К(ж, t) = {ж,и оценить погрешность.334.1оОтметим, что основная трудность применении метода последовательных приближений состоит в вычислении интегралов в формулах (7). Какправило, приходится применять формулы приближенного интегрирования.
Поэтому и здесь целесообразно заменить данное ядро вырожденнымс помощью тейлоровскоrо разложения, а затем уже ввести метод итераций.3° . И нтегральные ура внения Фредгольм а 1 -го рода.Пусть имеем интегральное уравнение Фредrолъма 1-ro родаьj К(ж,аt)<p(t) dt = f (ж) ,( 10)где ядро К(ж, t) симметричное, суммируемое с квадратом и положительноопределенное, а f(x) Е L2 (a , Ь) .1 62Тhава 5. Приближенные методы решения уравненийПусть известно, что уравнение (10) однозначно разрешимо.Тогда последовательность { IPn (х)} , определяемая соотношениемfPn+I (а:)=[/Pn (x) + Л J(x) -ь1 К(х, t)�Pn (t) dt] ,( 1 1)агде �Ро (х) Е L2 (a, Ь) и О < Л < 2Л1 , Л1 - наименьшее характеристическоечисло ядра К(х, t) , сходится в среднем к решению уравнения ( 10).Пример 4.
Рассмотрим интегральное уравнение11о К(х, t)1p(t) dtгдеК(а:, t)={= sin 1rx,(1 - x)t, О � t � х,( 1 - t)a:, а: � t � 1 .( 1 2)Нетрудно nроверить, что это уравнение однозначно разрешимо и его решеsin=нием служит функцияНаименьшее характеристическое число ядра ( 12) есть >11 =Будем строить nоследовательные nриближения no формулам ( 1 1), взявв качестве нулевого nриближения= О и Л = < 2Л1 • Последовательнонаходим<p(z) 1r2 1rx .1r2 .<p0(z)1<,?1 (z) = sin 1rz,<p2 (z) = sin 1rz (1 :2) sin 1rz,<рз(z) = sin 1rz (1 - :2 ) sin 1rz + (1 - :2 ) 2 sin 1rz,+-+Легко видеть, чтоlim<,?n(z) 1r2 sin 1rz=дает точное решение данного уравнения .1>1 63§ 26.
Метод Бубнова-ГалёркинаЗада чи для самостоятельного решен ияМетодом последовательных приближений решить уравнения:335...1 K(z, t)<p(t) dt = 2 SIП 2z ,1 .о1336./ K(z, t)<p(t) dt = � cosо{z2 +t2 + z ,Зz, K(z, t) -2 -2 3 1t z,z +t 1-2- + 3 - t, z � t � 1 .=2о� �§ 26. Метод &убнова-ГапёркинаПриближенное решение интегрального уравненияj K(z, t) rp(t) dtь<p(:z:) = /(z) + Л( 1)апо методу Бубнова-Галёркина ищется так.
Выбираем систему функций{un(z)}, полную в L2 (a, Ь) и такую, что при любом n функции u,(:z:) ,и2(ж), . . . , un (ж) линейно независимы, и ищем nриближенное решениеfPn (z) в видеnr,?n (z) = L: a,�:u,�: (:z:)..\:":1(2)Коэффициенты а,�: (k = 1, 2, . . . , n) определяются из следующей линейной системы: . .(! K(z, t) r,?n(t) dt, u,�:(:z:))ь(rpn (z), u�c (:z:) ) = ( /(:z:), u�c (z) ) + Льа(3)(k = 1 , 2, .
. . , n) ,где (! , g) означает J /(:z:) g(:z:) d:z: и вместо r,?n (z) надо nодставитьnа}: а�си,, (ж) . Если значение Л в (1) не является характеристическим,fc":lто при достаточно больших n система (3) однозначно разрешима и приn -+ оо приближенное решение r,?n (z) (2) стремится в метрике L2 (a, Ь)к точному решению rp(:z:) уравнения (1).164Глава 5.
Приближенные методы решения уравненийПример. Методом Бубнова-Галёркина реwить уравнение<р(х) = х+1j xt <p(t) dt.(4)-1Решение. В качестве полной системы функций на [ - 1 , 1 J выбираем системуполиномовРп(ж)в виде(n = О, 1 , 2 , . .
. ) . Приближенное решение У'n(ж)уравнения (4)Лежаядрабудем искать<р3(ж) = а 1 1 + а2ж + аз-.Зж2-2--1 .Подставляя <р3(ж) вместо <р(ж) в уравнение (4), будем иметьЗж22--1 = ж + j' жt (а1 + a1t + а3-2Зt2 - 1 ) dt,а , + а2ж + а3-илиЗж2 --1 = ж +ж 32 а .а1 + а2ж + аз -( 5)22Умножая обе части (5) последовательно на 1 , ж , Зж22- 1 и интегрируя по жв пределах от - 1 до 1 , найдем•-1а2 = 32 + 94 а2 ,25 аз = О .а3 = О , и,(4).значит, <рз(ж) = Зж. Нетрудно проверитъ, чтоt>, а2 = 3 ,уравненияа1 = ОрешениеОтсю-даточноеэто23Задач и для са мостоятельного решенияМетодом Бубнова-Галёркина решить следующие интегральные уравнения:1337.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
