М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко - Интегральные уравнения (1118010), страница 15
Текст из файла (страница 15)
�"(z) + �(z)+�(О) = <р'(О) = О."'ооJ sh (z - t) <p(t) dt + J ch (z - t) �'(t) dt = ch z ;"'262. �"(z) + <р(ж) +�'(О) = 1 .:а:<р(О) = - 1 ,оо4° . Интеграл ьные уравнен ия Вол ьтерра с пределами{z, +оо). Интеrралъцые уравнения видаIP (x) = /(х) +J К(х - t) IP(t) dt,+оо(1 3)zвозникающие в ряде задач физики, можно также решать с помощьюиреобразования Лапласа.Справедлива следующая формула:+ооJ К(х - t)1p(t) dtz;::: Х(-р)Ф(р),( 1 4)§ 18. Прнменение преобраэованняЛапласа ··1 19где+ооJо К(-а:)� d:c.Х(-р) =cp(t) := Ф(р),(11)Применяя иреобразование Лапласа к обеим частямформулу ( 14) , получими исnользуяФ(р) = F(p) + Х(-р)Ф(р),илиФ(р) =F�)(Х(-р) =1: 1 ) .1 - Х(-р). Функция1(а:) :._ _'Р- 21rir+iooJ.r-too1F(p)e"z dх(-р)Р(15)-является частным решением интегрального уравнения ( 1 3).
Подчеркнем,что для того, чтобы реше ние (15) имело смысл, необходимо, чтобыобласти аиалитичностиХ(-р) и F(p) перекрывались.Пример 5 . Решить интегральное уравнениеJ e2(:H)cp(t) dt.Решенне. В данном случае /(�) = �. K(z) е2с. ПоэтомуF(p) = �· Х(-р) = ! е-2"'е""' d� = � '< 2.2 р00ер(а:) = а: +(16)=""Re pоТаким образом, nолучаем следующее операторное уравнение:l1Ф (р) = р2 + 2 р Ф(р) ,так что-2Ф (р) = p'lр(p - 1): .Отсюда_IP(a:) =121f'i! р2р(р-_2l) е� dp7+ioo'Y-ioo(О < 7 < 2).(17)Интеграл (17) можно вычислить по интеrральной·формуле Кощи. Подынтеrральная фующия имеет двукратный полюс р = О и nростой полюс р = l, который120Тhава 3. Примененив интеrральных преобразованийпоявляется при 1 > 1 , что связано с включением или невключением в решениеуравнения ( 16) решения соответствуюшеrо однородного уравнения�(х) =001 e2(z-t)�(t) dt."'Найдем вычеты nодынтегральной функции в ее nолюсах:(р-2res2(р ) ер:ср=О р - ])= 2х + 1 ,resp= l( 2(рр-2ре!"1))"'= -е .Следовательно, решение интегрального уравнения ( 16) есть �(х) = 2х + 1 + Се"'(С - произвольная nостоянная) .1>Задачи дпя самостоятельного решенияРешить интегральные уравнения:263.
�(х) = е -" +""1 �(t) dt."265. �(х) == cos х +264.001 e"'-1�(t) dt.�(х) = е-"' +266. �(х)"001+001 e"'-1�(t) dt.,.1 ea(z-t)�(t) dt (а > О)."'5° . Обобщенная теорема умножения и некоторые ееприменения . Пусть<р (х) :=' Ф(р),где U(p) и q(p)u(x , т) ;::: U(p)e -тq(p) ,аналитические функции. Тогда00j <р(т)и(х, т) dт.Ф(q(p))U(p) ;:::оЭто и есть обобщенная теорема умножения (теорема Эфроса). Еслиu(x , т) = и(х - т) , то q(p) = р, и мы получаем обычную теоремуумножения:Ф(р) · U(p) ;:::j <р(т)и(х - т) dт.00о121§ 1 8 . Примененив преобразования Лапласа1..;рЕсли U(p) == ..;р , q(p) =u (a:,, тот) =� e-r2/(4z) ..
11":1.:уПоэтому, если известно, что Ф(р) ;::: IP(z) , тоФ(.,fР)находим оригинал для -..;р :noтеореме Эфросаf001Ф(../Р)iр(т) е-т2/(4z) dт .;::: __.;и..;роПриме р 6. Решить интегральное уравАение•J.x f e-t2/(4z)ip(t) dt(1 8)00=о<p(z) := Ф(р).1.(1 9)Применяя иреобразование ЛаiЩаса к обеИмРешение. Пусть(19), получим, согласно формуле ( 18),частямФ(ур) =vPр'откудаФ(р)рСледовательно,<р(ж) = l=lр2,или1Ф(р) = р р:: 1.есть решение уравнения(19).!>Задачи для самостоятельного решенияРешить следующие интегральные уравнения:267.� 1 e-t2/(4")<p(t) dt == e-" .ос268.о269.� 1 e-121(4z)<p(t) dtос=1 e-12/(4::)<p(t)осоz312 + е4"' .оИзвестно,чтоtn f2Jn (2 Vt) .= -1-1 e- l/p (n = О, 1, 2, .
. . ) ,pn+dt=2ж - sh z.Dia:вa 3.122Jn (z)гдеnримененив интегральных преобраэоввний- бесселева функция 1-ro рода порЯдКа�е-11Р.Jo (2v'i). :::= рn. Вчастности,В силу теоремы подобияJo (2v'zi) # р� e-zfp ,откуда видно, что дrL11 теоремы Эфроса следует взять в таком случаеq(p) =i·Пример 7.
Ре ши ть интегральное уравнениеv>(ж) = ze-• + Л00j J0(2vZt)v>(t)оdt(IЛI # 1 ) .(20)Решение. П)'О1Ъ rp(z) ;::: Ф(р). Применяя к обеим частям (20) nреобраэоваиие Лаnласа и учитывая теорему Эфроса, найдемЗаменяя р наИэ-,lрполучим(21) и (22) находимилиОтсюдаlФ(р) = (р+1 l )2 + Л:р1 Ф (р ) .р+21 2 + ЛрФ(р).Ф=(р )(l)рФ(р) = (р+ 1)2 + рл [ (р+ I)2 + ЛрФ(р)]lр2Ф(р) = l -1 >.2 + [ (p+1 l )2 + (p+ 1)2 ) .>.рЗадачи дп я самосtоятепьноrо реwенияРешить следующие интеrральные уравнения270. VJ(z)OQ= е"' + Л j � J1(2.fii.)rp(t) dt.6(Л '# ± 1):(21 )(22)•§ 1 9 . Примененив преобразования Меллина .·1 23.,\ 1 J0(2./Жt)<p(t) dt .OQ271 .
<р(ж) = cos :r: +о,\1 � J2(2v'Жt)<p(t) dt .OQ272. <р(ж) = cos x +оj�273. <р(ж) = sin :r: + ,\J1(2v'Жt)<p(t) dt .о§ 1 9 . Примен енив преобразования Меллинак решению не кото рых интеrральныхуравнен и А/(t)Пусть функцияряет условиям11оnределена при положитель�ых � и удовл�воОС)1IJ(t)lt11'- dt < + оо ,опри надлежащем выборе чисеЛ/(t) называется функцияи1ции1 lf(t)lt11� - l dt < +оо( 1)1и0'2 .
Преобра308ание.м Меллинафунк00F(s) =1 f(t)t'- 1оdt(8 = и + ir, и1 < и < и2).(2)Формула обращения иреобразования Меллина имеет вид/ (t) =tт+ioo:i 1 F(8)Г' d82u-ioc(t > О, u1 < и < u2),(3 )где интеграл берется Вдоль прямой l : Re 8 = и, параллельной мнимой осиплоскости 8, и понимается в смысле главноrо значения. В случае, когдаповедение функции /(t) при t --+ О и t --+ 00,, известно, НftПРИМер, из фцзических соображений, границы полосы (и1 , &2) моrут б ьlть установленыиз условий абсолютной сходимости интеграла (2). Если же поведение/(t) известно лишь на одном конце интервала (0, + оо ) , например, приt --+ О, то определяется только u1 , прямая интегрировация l в (3) должнабыть выбрана правее прямой и = и1 и левее ближайшей особой точкифункции F(s) .124Глава З .
Применение интегральных преобраэованийПреобраЗование Меллина тесно связано с nреобразованиями Фурьеи Лапласа, и многие теоремы, относящиеся к иреобразованию Меллина,могут быть получены из соответствующих теорем для иреобразованийФурье и Лапласа путем замены переменных.Теорема о свертке для преобразования Меллина имеет следующийвид:00М{ 1 j(t)� ( Т) � } =F(s) Ф(s).·о(4)Отсюда можно заключить, что иреобразование Меллина удобно Применять при решении интегральных уравнений вида00(5)�(х)=J(x) + 1 к( Т) �(t) �t .В самом деле, пусть функции �(х), J(x) и К(х) допускают преобразование Меллина и пусть �(х)Ф(s), J(x) F(s), К(х) K(s),причем области аналитичности F(s) и K(s) имеют общую полосу0'1 < Re s = О' < 0'2 • Применяя к обеим частям уравнения (5) преобразование Меллина и используя теорему о свертке (4), получимФ(s) =F(s) + K(s) Ф(s),о-+-+-+·откудаФ(s)=F(s)l - K(s)(K(s) i= l).Эrо - операторное решение интегрального уравненияобращения (3) находим решениеэтого уравнения:;р(х)�(х)=12 .1Г�O'+ioo1F(s)1 - K(s)_0'-iooх_8(5).
По формулеds .Рассмотрим интегральное уравнение вида00�(х) = J(x) + 1 К(х t)�(t) dt(6)(уравнение Фокса) . Умножая обе части (6) на х'-1 и интегрируя пов пределах от О дополучим·ожоо,000000001 �(х)х'-1 dx = 1 J(x)x'-1 dx + 1 �(t) dt 1 К(ж · t)xs-t dx .оооо§ 19. Примененив преобразования МеллинаО бозначая иреобразование Меллина функцийветственно черезФ(s) , F(s) , K(s) ,�p(::r:) , J(x) , К(х)125соотпосле несложных иреобразовани йполучим00Ф(s)=j �р(t)Г' dt.F(s) + K(s)о00Легко видеть, чтоJ �p(t)t-8 dt = Ф(l - s) , так что (7) запишется в видеоФ(s) = F(s) + Ф(l - s)K(s).(8)Заменяя в равенстве(8) и (9)( 8)1 - s , получимs наФ(l - s) = F(l - s) + Ф(s)K(l - s).Из равенства(7)(9)находимФ(s) = F(s) + F(l - s)K(s) + Ф(s)K(s)K(l - s),откудаF(s) 2:" F(l - s)K(s).l - K(s) K(l - s)оnераторкое решение уравнения (6).Ф (s) =Это -·( 10)По формуле обращения Меллина найдемtp(x)=�21Гzc+iooj.с-аоо_F( s) 2:" F( l :::: s)K (s) х-'ds1 - K(s) K(I - s)·- решение интегрального уравнения(6).Пример.
Решить интегральное уравнениеtp(x) = /(х) +л/3 jоРешение. ИмеемK(s) =лЛ i х•-!�p(t) cos xt dt.cos zdx .о(11)( 12)Для вычисления интеграла (12) воспользуемся тем, чтоj""оe- "' z'- 1dx = Г(z).( 1 3)1 26Глава. З. Применение интегральных преобраэованийПоворачивая в формуле ( 13) луч интегрироваЩ до мнимой оси, что в силулеммы Жордана возможно nри О < z < 1 , приходим к форМулеj e-'"'z•-l dz e:.<. .-z/2Г(z).<Х>==оОrделяя действительную и мнимую части, получим""Jо""�z Г(z) , j ж•-l sin ж dж = sin �2z Г(z).z•- t cos z dz = cos Т ·Таким образом, вДалее,•о( 14)силу ( 12) и ( 14)K(s)= >.у(2; Г(в) cos 2�· ·- К(в)K(l - в)= >.у(2; Г(s) cos 2 · лу/2; Г(l - s) sin Т =>.2 �· �·= -; 2 соs т · stn 2 Г(в)Г(l - в) = Л ,� .
Следовательно, eCJiи М{!(ж)} = F(в), то в силуГ(в) Г(l - s) = -Sln. �B�6·1ГВ2•так хак·формулы ( 10) (при IЛI #: 1 )Ф(8)=+F(в) F(l ,\2- в)К(в) 'и потому1-1D"/+i2'11'i(l >.2) oo [F(s) F(l - s)>.y{2; Г(в) cos Т1ГВ] z- ds =z d=1 � >.2 • 2�i j F(в) - в>. (2; 1 Г(в) cos T�· F( 1 - в)ж ds.( 1 5)1 >.2 у .' 2 �i JЗаменим во втором интеrрале nравой части (15) F(l-s) на J /(t)Г' dt и заметим,ip(z) =_+чтоD"-iCX>D"+iootr+ioo_.+cr-ioo••cr-iooo-+ioo2�i j F(в)ж-• ds = /(ж).6-ioo+-·00о§ 19 .
nримененив преобраэования МеллйНаТогда формула<p(:t) =(15) переnишется так:{2 11rs/(z) +1 у ; 21ri J Г(s) cos "Т (жt) ' ds J /(t) dt.1_АА2_D'+ioo127оо_.Х2..-iooОСогласно формуле обращения Меллина-1 . 2 J Г(s) cos �2 (жt)-• dsст+iоо'Jr�так что=cos жt,<1-iooокончательно решением уравнения. ( l l) будет<p(:t) =f(:t) +1_,\21.\_{2,Лl у ;! j (t) cos жt dt.""оЗадачи для самостоятельного решенияРешить интегральные уравнения:274. <р(ж) =11+1 ! <p(t) cos жt dt.00ж2275. <р(ж) = f (x)+.,fiо+:л{; j <p(t) sin жt dt.о276. <р(х) = -е -ж +� J <p(t) cos жt dt.""о1>ГЛАВАИнтеграль ные уравнения1 -ro рода4§ 20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
