Глава 3 (1117546)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Глава 3. Методы исследования математических моделейМетоды исследования и реализации математических моделей можно подразделить на двабольших класса: аналитические и численные. Из численных методов в настоящее времянаиболее часто применяются метод конечных разностей, метод конечных элементов, методинтегральных уравнений. Их аналитических методов можно отметить метод разделенияпеременных и асимптотические методы.Мы начнем рассмотрение с методов конечных разностей и конечных элементов, а затемрассмотрим метод разделения переменных. С помощью этого методамы дадим полноеобоснование математической модели, описывающей одномерные колебательные процессы наотрезке: малые продольные колебания упругого стержня, малые поперечные колебанияупругой струны и т.д.1.

Метод конечных разностей1) Основные понятияРассмотрим задачу:L u ( x) f ( x), x ∈ D,==l u ( x) µ ( x), x ∈ Γ,(1)(2)где L - линейный дифференциальный оператор, l – оператордополнительных (начальных, граничных) условий,D= D + Γ.D заменяем на ωh - дискретное множество узлов – сетка,u ( x) , x ∈ D заменяем на yh ( xn ) - сеточные функции (зависят отпараметра h), xn ∈ ωh..u ( x) ∈ H 0 , yh ( xn ) ∈ H h . Пространство H0 отображается напространство Hh: u ( x) ∈ H 0 ~ uh ( x) = Рh u ( x), uh ∈ H h ,где Ph - линейный оператор из H0 в Нh.На линейном пространстве Нh вводятся сеточные нормыаналоги норм в пространстве H0.yhh-Условие согласования норм:lim uh h = u= Рhu , u 0- норма в пространстве H0.φh ( x) =Ph f ( x), x ∈ ωh , χ h ( x) =Ph µ ( x), x ∈ γ h ,Пустьωh + γ h , ωh - множество внутренних узлов, γh –где ω=hh →00, где uhмножество граничных узлов.Перейдем от дифференциальных операторов к разностным:L → Lh , l → lh .Будем говорить, что Lh аппроксимирует L с порядком m>0 в точке x,еслиψ ( x) = Lhu ( x) − Lu ( x) = O( h ).mЗадаче (1) – (2) ставится в соответствие система алгебраических(разностных) уравненийLh yh ( x) φh ( x), x ∈ ωh ,==lh yh ( x) χ h ( x), x ∈ γ h .(3)(4)Семейство уравнений (3), (4), зависящих от параметра h, называетсяразностной схемой.Пусть zh=yh-uh, где uh=Phu.

Так как Lh и lh линейные операторы, то получаем задачу: Lh z=h ( x ) ψ h , x ∈ ωh ,h ( x) ν h , x ∈ γ h ,lh z=(5)(6)где ψ h и νh - погрешности аппроксимации нарешении u(x) разностной схемой уравнения (1) идополнительного условия (2). Схема (3)- (4):1) аппроксимирует задачу(1)-(2) и имеет m-йпорядок аппроксимации, если=ψ h ( 2 h ) O=( h ), ν h (3h ) O( h );mm2) сходится и имеет m – й порядок точности, еслиyh − u h=O( h ).m(1h )Схема (3)-(4) корректна (разностная задачапоставлена корректно), если при всех достаточномалых h ≤ h0 :1) разностная задача однозначно разрешима прилюбых входных данных φh , χ h ;2) решение yh равномерно по h непрерывно зависитот входных данных (свойство устойчивости).Если Lh и lh - линейные операторы, то при h ≤ h0yh(1h )где M 1 > 0, M 2 > 0≤ M 1 φh(2 h )+ M 2 χh(3 h ),(7)- постоянные, не зависящие от h ивыбора входных данных φh , χ h .Если схема (3)-(4) устойчива, а zh – решение задачи(5)-(6),то (7) =>yh − u h(1h )= zh(1h )≤ M1 ψ h(2 h )+ M2 νh(3 h )Из последнего равенства следует утверждение:Если линейная схема (3)-(4) устойчива иаппроксимирует задачу (1)-(2) , то она сходится (изустойчивости и аппроксимации линейной схемыследует ее сходимость).Порядок точности схемы (3)-(4) определяетсяпорядком аппроксимации.2) Разностная задача для уравнениятеплопроводности на отрезке.∂u ∂ 2u=2 + f ( x, t ) , x ∈ ( 0, l ) , t ∈ ( 0, T ] ,∂t ∂xu=( x, 0 ) ϕ ( x ) , x ∈ [0, l ] ,=u ( 0,t ) µ0 , u (=l , t ) µ1 , t ∈ [ 0, T ] .(8)(9)(10)∂u ∂ 2uРазностная аппроксимация оператора Lu=− 2.∂t ∂xВведем равномерные сетки :xn nh ; =n 0,1,..., N ; hNωh ≡ {== 1} ,ωτ ≡ {=ts sτ ; =s 0,1,..., S ; τ=S T},ωhτ ≡ ωh ×=ωτ {( xn , ts ) ∈ D} ,D ≡ {0 ≤ x ≤ 1 ; 0 ≤ t ≤ T } .Назовем шаблоном множество(x,t+τ)узлов, на котором записывается(x-h,t)(x,t)(x+h,t)разностный операторw( x, t + τ ) − w( x, t ) w( x + h, t ) − 2w( x, t ) + w( x − h, t )L w=−h2τ=w w( x, t=), wˆ w( x, t + τ )(0)hτ1h1vx= (v( x + h) − v( x))h1v=(v x − v x )xxhvx = (v( x) − v( x − h))wˆ − wwt =τw( x + h, t ) − 2w( x, t ) + w( x − h, t )w xx =h2L(0)= wt − wxxhτ w(x-h,t+τ) (x,t+τ) (x+h,t+τ)(x,t)(x-h,t+τ) (x,t+τ) (x+h,t+τ)(x-h,t)(x,t)L(1)= wt − wˆ xxhτ wL(hστ ) w = wt − (σ wˆ xx + (1 − σ ) wxx )∂wτ ∂2w2wt = ( x, t ) +xt+Oτ(,)()2∂t2 ∂x∂2wh2 ∂ 4 w4wxx = 2 ( x, t ) +xt+Oh(,)()4∂x2 ∂x(x+h,t)(11)(12)(13)Из формул (11)-(13), получим2L(0)wLw(x,t)O(hψ (0) =−=+τ )hτ=2ψ (1) =−(,)=(+τ )L(1)wLwxtOhhτ=При σ=0,5 («симметричная схема») получаемψτ= L w − Lw( x, t + )= O(h 2 + τ 2 ),2 =(0,5)(0,5)hτгде ψ - погрешность аппроксимации оператора Lсоответствующим разностным оператором Lhτ.Добавляя к разностному уравнению разностныеначальные и граничные условия (9), (10), получимразностную начально – краевую задачу (схему): L(hστ ) y ≡ yt − (σ yˆ xx + (1 −=σ ) yxx ) φ , ( xn , ts ) ∈ ωhτ , y ( x,0)= u0 ( x), x= xn ∈ ωh , y (0, t )= µ , y (1, t )= µ , t= t ∈ ω ,τ01s(14)(15)(16)sφ ( xn , ts ) .где φ= φ=nСхема (14)-(16) аппроксимирует задачу (8)-(10) с22O(hτ) при+σ 0,=σ 1 ипорядком O(h + τ ) при =2σ = 0,5 .Схема называется явной, если σ=0.При σ≠0 схема называется неявной (при σ=1 – чистонеявной).Явная схема (σ=0):ys +1nτ s=y + 2 ( yn −1 − 2 yns + yns +1 ) + τφnsh=n 1, 2,..., N − 1; =s 0,1,..., M .sn(17)Чисто неявная схема (σ=1):1 s +1 2 1 s +1 1 s +11 s s−( yn + φn )y − ( 2 + ) yn + 2 yn +1 =2 n −1τhh τh=n 1, 2,..., N − 1; =s 0,1,..., M .(18)ТеоремаДля устойчивости разностной схемы (14)-(16)достаточно, чтобы существовали такие не зависящиеот h и τ постоянные C1 ≥ 0 и C2 > 0 , при которыхимеет место оценка(19)s +1sy≤ (1 + C1τ ) y + C2τ φравномерная (чебышевская) норма:y = max ynsn,sна s-м слое: y s = max ynsnДоказательство:{y s +1 ≤ (1 + C1τ ) y s + C2τ φ ≤ (1 + C1τ ) (1 + C1τ ) y s −1 + C2τ φ } + C2τ φ ==(1 + C1τ )2 y s −1 + C2τ φ {1 + (1 + C1τ )} ≤ ...

≤ (1 + C1τ ) s +1 y 0 + C2τ φ {1 ++(1 + C1τ ) + ... + (1 + C1τ ) s } ≤ (1 + C1τ )m+1 u0 + C2τ (m + 1)(1 + C1τ )m φ , s ≤ m,Так как(1 + C1τ ) ≤ (1 + C1τ ) ≤ emMC1τ M=eC1Tпри m ≤ M , то полагая=M 1 eC1T ,=M 2 C2TM 1 ⇒y ≤ M 1 u0 + M 2 φ .Рассмотрим устойчивость чисто неявной схемы(σ=1)τyns +1 =yns − γ {2 yns +1 − yns ++11 − yns −+11} + τφns , γ = 2h1yks0+=max yns +1 ≥ yns +1 ⇒n2 yks0+1 − yks0++11 − yks0+−11 ≥ 0 ⇒yks0+1 ≤ yks0 + τφks0(20)ys0+1= min yns +1 ≤ yns +1 ⇒n2 ys0+1 − ys0++11 − ys0+−11 ≤ 0 ⇒ys0+1 ≥ ys0 + τφs0(21)ys0 + τφs0 ≤ ys0+1 ≤ yns +1 ≤ yks0+1 ≤ yks0 + τφks0(22)yns +1 ≤ y s + τ φ(23)(20), (21) =>(22) =>(23) =>y s +1 ≤ y s + τ φРассмотрим устойчивость явной схемы (σ=0)(17) =>ys +1n=(1 − 2γ ) y + γ y + γ y + τφsnsn +1sn −1sn1Пусть γ <.

Тогда 1 − 2γ > 0 и получим2yns +1 ≤ (1 − 2γ ) yns + γ yns +1 + γ yns −1 + τ φns ≤≤ (1 − 2γ + γ + γ ) y s + τ φ =(24) =>y s +1 ≤ y s + τ φys +τ φ(24)Пусть(−1)n ε , ε > 0 - ошибка на s-м слое.δ yns =(1 − 2γ )δ yns + γδ yns +1 + γδ yns −1 =δ yns +1 ==(−1)n ε (1 − 2γ − γ − γ ) =(−1)n +1 (4γ − 1)ε1γ > ⇒ δ yns + k= (4γ − 1)k ε , 4γ − 1 > 1 ⇒2ошибка неограниченно возрастает, причем суменьшением шага сетки ошибка нарастает(увеличивается число шагов).Выводы. Чисто неявная схема является безусловноустойчивой. Явная схема является условно1устойчивой при выполнении условия γ < или2h2τ<(условие Куранта).23) Метод прогонки.− F=n 1, 2, ..., N − 1 (25) An yn −1 − Cn yn + Bn yn +1 =n,æ1 y1 + µ1 , yN =æ 2 yN −1 + µ2(26) y0 =0, nAn ≠ 0, Bn ≠ =1, 2, ..., N − 1.nyn α n +1 yn +1 + β==n +1 ,0, 1, 2, ..., N − 1.(27)(27) =>yn −1= α n yn + β n= α nα n +1 yn +1 + α n β n +1 + β n(28)(25),(27),(28) =>(α n +1 (α n An − Cn ) + Bn ) yn +1 +(29)0+ ( β n +1 (α n An − Cn ) + β n An + Fn ) =(29) =>Bnα n +1 =Cn − α n AnПрямой ход:An β n + Fnβ n +1 ==nCn − α n An1, 2, ..., N − 1(26), (27) n=0 =>=α1 æ=µ11 , β1(26), (27) n=N-1 =>µ2 + β N æ 2yN =1-α N æ 2Обратный ход:=yn α n +1 yn +1 + β n +1 ,n =N − 1, N − 2, ..., 0Достаточные условия устойчивости:, nCn ≥ An + Bn=æα ≤ 1,=α 1, 2,1, 2, ..., N − 1,æ1 + æ 2 < 2(30)Число арифметических операций прогонки O ( N ) .Покажем, что (30)=> α i ≤ 1,Индукция: а) α=æ1 ≤ 11i = 1, 2, ..., N; б) α i ≤ 1 ⇒ α i +1 ≤ 1 .(30)=>Ci − α i Ai − Bi ≥ Ci − α i Ai − Bi ≥ Ai (1 − α i ) ≥ 0 (31)Bi ≠ 0 , (60)=>(31)=>Ci − α i Ai > 0Bi≤ 1.Ci − α i Ai ≥ Bi =⇒ α i +1Ci − α i Aiα i < 1 ⇒ α i +1 < 1Если α1 < 1 , то Ai ≠ 0 ,(31) => Ci − α i Ai > Bi ⇒ α i +1 < 1.Покажем, что (30)=> 1 − α n æ 2 ≠ 0.Покажем, чтоа) æ 2 < 1 ⇒ æ1 ≤ 1 ⇒ α1 ≤ 1 ⇒ α N ≤ 1 ⇒1 − α N æ 2 ≥ 1 − α N æ 2 ≥ 1 − æ 2 > 0.б) æ 2 ≤ 1 ⇒ æ1 < 1 ⇒ α1 < 1 ⇒ α N < 1 ⇒1 − α N æ 2 ≥ 1 − α N æ 2 ≥ 1 − α N > 0.yi +1 − yi +1 не нарастает:При α i ≤ 1 ошибка δ y=i +1y=i α i +1 yi +1 + βi +1 , y=i α i +1 yi +1 + βi +1 ⇒ δ y=i α i +1 yi +1 ⇒=δ yi α i +1 δ yi +1 ≤ δ yi +12maxδy≈εNЕсли α i +1 , β i +1 возмущаются, то,i01≤i ≤ Nгде ε 0 - ошибка округления.4) Консервативные однородные разностныесхемыПод однородными разностными схемами (ОРС)понимаются такие схемы, вид которых не зависит ни отвыбора конкретной задачи из данного класса, ни отвыбора разностной сетки.Коэффициенты ОРС определяются как функционалы(шаблонныефункционалы)откоэффициентовдифференциального уравнения.Широко распространены ОРС сквозного (илинепрерывного) счета.Схемы, выражающие на сетке законы сохранения,называются консервативными или дивергентными.Схемы, нарушающие законы сохранения, называютсянеконсервативными или дисбалансными.а) Интегро-интерполяционный метод (ИИМ) – методбаланса построения консервативных разностных схемРассмотрим уравнение:− f ( x),( k ( x ) u′ ( x ) )′ − q ( x ) u ( x ) =(32)где k(x) и q(x) могут быть разрывными функциями.Уравнение (32) описывает стационарное распределение тепла в стержне.Введём равномерную сетку ωh и промежуточные потоковые узлы:= x i ± 0 ,5 h .x i ±0,5Запишем закон сохранения тепла (уравнение баланса) для отрезка  xi −0,5 , xi + 0,5  :xi +0,5Wi −0,5 − Wi + 0,5 −0,∫ q ( x ) u ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =xi −0,5гдеxi +0,5duW ( x ) = −k ( x )dxxi −0,5- тепловой поток.(33)Предположим, чтоТогдаu= u=constixi +0 ,5∫q ( x ) u ( x ) dx  hui d i ,xi +0 ,5xi −0 ,5гдеxi −0,5 ≤ x ≤ xi + 0,5 .при1di =q ( x ) dx.∫h xi−0 ,5Проинтегрируем равенствоduW= −dxkна отрезке(34)[ xi −1 , xi ] :W ( x)ui −1 − ui =∫x k ( x ) dx.i −1=W W=const при xi −1 ≤ x ≤ xi .i − 0,5xiПоложимxidxui −1 − ui  Wi −0,5 ∫k ( x)xi −1Тогдаилигдеui − ui −1Wi −0,5  −ai=−ai u x ,i ,h−1xi 1dx ai =  ∫ h xi−1 k ( x ) (35)(36)Из формул (33) - (37) получим:yi +1 − yiyi − yi −1 1− ai−ϕi ,ai +1 − di yi =hhh гдеxi +0,51ϕi = ∫ f ( x ) dxh xi−0,5Замечание.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций