Глава 3 (1117546), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Классическое решение начально-краевой задачи для уравнения колебаний наотрезке [ 0,l ] устойчиво по правой части и начальным данным.ДоказательствоСоставим интеграл энергииl1222 2=J (t )u+au x )dx.(t∫20Продифференцируем интеграл=2 JJ ′l2uu+a∫ ( t tt uxuxt )dx.0Второе слагаемое под интегралом преобразуем с помощью формулы интегрирования почастям, учитывая граничные условия:lll=u x ut − a ∫ ut u xx dx∫ a uxuxt dx a=22200l−a02∫u utxxdx.0Отсюда получаемlll000222 JJ ′ =uu−auudx=uu−at xx )∫ ( t tt∫ t ( tt uxx ) dx =∫ ut f ( x, t ) dx.Имеет место неравенство Коши-Буняковского=( f , g)l∫01212l 2 l 2f ( x ) g ( x )dx ≤  ∫ f ( x )   ∫ g ( x )  .0 0Используя неравенство Коши-Буняковского, получим1212l 2  l 2 2 JJ ′ ≤  ∫ ut dx   ∫ f dx  =ut f .0 0ПосколькуutтоОтсюда получаем2=ll00222 22udx≤u+audx=2J,()x∫ t ∫ tut ≤ 2 J .1J′ ≤f .2Проинтегрируем последнее неравенствоt1J (t ) ≤ J ( 0) +f (τ ) dτ ,∫20откуда получаемtut ≤ 2 J ( 0 ) + ∫ f (τ ) dτ .0Рассмотрим квадрат нормыlu = ∫ u 2 ( x, t ) dx.20Продифференцируем последнюю формулу поБуняковского:и используем неравенство Коши-t1212ll 2  l 2 duu =uut dx ≤  ∫ u dx   ∫ ut dx  =u ut .∫dt00 0Отсюда получим:tdu ≤ ut ≤ 2 J ( 0 ) + ∫ f (τ ) dτdt0и после интегрированияt t1u ( t ) ≤ u ( 0 ) + 2 J ( 0 ) t + ∫ ∫ f (τ ) dτ dt1.0 0Интеграл в последней формуле можно оценить так:t t1∫∫0 0t t1t2T2f (τ ) dτ dt1 ≤ max f ∫ ∫ dτ dt1 =max f≤ max f,220 0=max fmax f (τ ) , τ ∈ [ 0, T ] .Оценим величину J ( 0 ) :J2l( 0 ) = ∫ ( u ( x, 0 ) + a u ( x, 0 ) ) dx = ut ( x, 0 )12=122t212x20ψ ( x) +2a22ϕ′( x) ≤22+a22ψ ( x) + a ϕ′( x) ) .(212u x ( x, 0 ) =2Итак,ПустьJ ( 0) ≤ψ ( x) + a ϕ′ ).(21t ∈ [ 0, T ] .Тогда окончательная оценка будет иметь следующий вид:()u ( x, t ) ≤ ϕ ( x ) + ψ ( x ) + a ϕ ′ ( x ) T +T2maxf .2Последняя оценка доказывает теорему, поскольку из этой оценки следует, чтоизменению входных данных – функцийизменение решения.маломуϕ ( x ) , ϕ ′ ( x ) , ψ ( x ) , f ( x, t ) - соответствует малое.

Характеристики

Список файлов лекций