Глава 2b (1117544)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

3.Физические задачи приводящие к уравнениям параболического типа1) Уравнение теплопроводностиПолучим уравнение теплопроводности, описывающее процесс распространения тепла.Это уравнение относится к уравнениям параболического типа.Введем следующие обозначения:1) u(M,t) – температура тела D в момент времени t, макроскопическая характеристикатеплофизических свойств тела;2) ρ - плотность тела;3) С(М) – удельная теплоемкость;4) К(М) – коэффициент теплопроводности;5) f(M,t) – объемная плотность источников (стоков) тепла.Для вывода уравнения воспользуемся законом Фурье:Если температура тела неравномерна, то в нем возникают тепловые потоки,направленные из мест с более высокой температурой в места с более низкой температурой.Количество тепла, протекающее через площадку dσ за промежуток времени dt, равногде∂udQ = −k ( M ) dσ dt ,∂n∂u- производная по нормали к площадке.∂nРассмотрим тело D , ограниченное поверхностью S : D = D  S .

Обозначим черезвнешнюю нормаль к поверхности S .nДля вывода уравнения теплопроводности воспользуемся методом баланса (закономсохранения тепла). Выделим внутри тела D элементарный объем ∆Vс граничнойповерхностью ∆S и запишем для него уравнение баланса тепла.1) Количество тепла, которое необходимо сообщить объему ∆V в течение промежуткавремени∆u u ( M , t + ∆t ) − u ( M , t ) ,∆t для повышения его температур на величину =равно:=∆Q1∫∫∫ C ( M )ρ ( M ) ( u ( M , t + ∆t ) − u ( M , t ) ) dVM∆VЭто количество тепла поступает в объем∆V за счет теплообмена через поверхность ∆S стелом D , а также за счет действия источников (стоков) тепла, расположенных внутри объема∆V .2) Для учета теплообмена объема ∆V с телом D используем закон Фурье:t +∆t∂u∆Q2 =∫t dτ ∫∫∆S k ( P ) ∂n ( P,τ ) dσ P dτДля преобразования поверхностного интеграла в объемный воспользуемся теоремойОстроградского – Гаусса:Если вектор-функция A ( M ) непрерывно дифференцируема в области D и непрерывна в(1)области D : A ∈ C ( D )  C ( D ) , то ∫∫ Adσ = ∫∫∫ divAdV ,SD где dσ = ndσ , n - внешняя нормаль к поверхности S, Adσ поток вектора A черезплощадку dσ ∂Ax ∂Ay ∂Az- дивергенция вектораdivA =++∂x∂y∂zA.∂u  ∂u  ∂u Положив в формуле Остроградского-Гаусса A = k ( M ) gradu ( M , t ) , где gradu =i+j + k,∂xполучим∂y∂z∂udiv ( k ( M ) gradu ( M , t ) )dVM∫∫∆S k ( P ) ∂n ( P, t ) dσ P = ∫∫∫∆Vи окончательно:t +∆t∆Q2 =∫ dτ ∫∫∫ div ( k ( M ) gradu ( M , t ) ) dVMt∆VДля справедливости применимости формулы Остроградского – Гаусса необходимо предположить,что по переменной Мu ∈ C ( 2) ( D )  C (1) ( D ) , k ∈ C (1) ( D )  C ( D ) .3) Внутри объема∆V за промежуток времени ∆t может выделяться или поглощатьсяколичество ∆Q3 , например, за счет прохождения тока, или вследствие химических реакций:t +∆t∆Q3 =∫ dτ ∫∫∫ f ( M , t )dVM .t∆VУравнение баланса тепла:∆Q1 = ∆Q2 + ∆Q3 .В левой части формулы изменение количества тепла в объеме D за время∆t , а в правойчасти – причины, вызывающие это изменение.Для получения дифференциального уравнения предположим, что функция u ( M , t ) дваждынепрерывно дифференцируема в области D и один раз непрерывно дифференцируема вобласти D по M и один раз непрерывно дифференцируема в области D и непрерывна в2,1области D по t : u ( M , t ) ∈ CM( ,t ) ( D )  CM(1,0)D .,t( )Применяя формулу среднего значения и переходя к пределу при ∆V → M , ∆t → 0 , получимуравнение теплопроводности:=С ( M ) ρ ( M ) ut ( M , t ) div ( k ( M ) gradu ( M , t ) ) + f ( M , t ) .Для вывода граничных условий нужно воспользоваться законом Ньютона:Количество тепла Q, протекающее в единицу времени через площадкуσповерхности=Q σ h ( u − u0 ) , где u0 ( M , t ) - температура окружающейтела в окружающую среду, равносреды,u ( P, t )-температура поверхности тела, h (P) = коэффициент теплообмена.∂u∂u, где- производная по∂n∂nвнешней нормали, то граничное условие можно записать в видеПоскольку тепловой поток на поверхности S равен k ( P )∂uα ( P ) ( P, t ) + β ( P ) u ( P, t ) =µ ( P, t ) , P ∈ S .∂nНачально-краевая задача для уравнения теплопроводности имеет следующий вид:С ( M ) ρ ( M ) ut=( M , t ) div ( k ( M ) grad u ( M , t ) ) + f ( M , t ) , ( M , t ) ∈ Q∞ ,=u ( M , 0 ) ϕ ( M ) , M ∈ D,α ( P ) ∂u ( P, t ) + β ( P ) u=( P, t ) µ ( P, t ) , P ∈ S , t ∈ [0, ∞).∂nЗдесьQ∞ = D × ( 0, ∞ ) ≡ {( M , t ) : M ∈ D, t ∈ ( 0, ∞ )} , Q∞ = D × [0, ∞),∂u - производная по внешней нормали, коэффициенты удовлетворяют следующим∂n условиям:C ( M ) > 0, ρ ( M ) > 0, k ( M ) > 0, M ∈ D, α ( P ) > 0, β ( P ) > 0, α ( P ) + β ( P ) > 0.(Определение.

Функция U(M,t) называется классическим решением поставленной начальнокраевой задачи, если она:( )1) принадлежит следующему классу u ( M , t ) ∈ CM( ,t ) ( Q∞ )  CM( ,t ) Q∞ ;2,11,02) удовлетворяет уравнению в классическом смысле (подстановка u (M,t) в уравнениеприводит к тождеству),3) непрерывно примыкает к начальным и граничным условиям.Необходимое условие существование классического решения – условие согласованияначального и граничного условий:∂ϕ ( P )α ( P)+ β ( P ) ϕ ( P ) = µ ( P, 0 ) , P ∈ S .∂nВ одномерном случае уравнение теплопроводности имеет следующий вид:∂ ∂uС=kxxt,())(( x ) ρ ( x ) ut ( x, t ) + f ( x, t ) .∂x ∂xС ( x ) C=ρ=k0В случае постоянных коэффициентов =0, ρ ( x)0, k ( x)уравнение теплопроводности можно записать в видеut =+a u xx F ( x, t ) , a22k0=C0 ρ0 ,1.F ( x, t ) =C0 ρ 0одномерное2) Температурные волныС исследований процессов распространения тепла связано зарождение математическойфизики, понимаемой как науки о построении и изучении математических моделей физическихявлений и процессов.

В 1811 году Парижская академия наук объявила конкурс на темусоздания математической теории законов распространения тепла. Победителем этого конкурсастал Фурье Жан Батист Жозеф (1768-1830 гг.). Им были написаны знаменитые мемуары потеории тепла в 1807 г., в 1811 г. и в 1822 году - мемуар «Аналитическая теория тепла».Одним из первых примеров приложения математической теории теплопроводности,развитой Фурье, к изучению явлений природы является задача о распространениитемпературных волн в почве.Температура на поверхности земли носит ярко выраженную суточную и годовуюпериодичность.

Будем рассматривать почву как однородное полупространство0 ≤ x ≤ ∞.Рассмотрим процесс распространения периодических колебаний в почве. Заметим, что этазадача является характерной задачей без начальных условий, поскольку при многократномповторении температурного хода на поверхности почвы влияние начальной температур будетменьше, чемвлияние других факторов, которыми мы пренебрегаем (например,неоднородностью почвы).Заметимтакже,чтопосколькуобласть,вкоторойищетсярешение,являетсянеограниченной, то для обеспеченности единственности решения данной задачи необходимопоставить условие ограниченности решения.Постановка задачи имеет следующий вид.

Найти ограниченное решение уравнениятеплопроводности2∂u∂u2= a, x ∈ [ 0, ∞ ) , t ∈ [ 0, ∞ ) ,2∂t∂xудовлетворяющее граничному условию=u ( 0, t ) A cos ωt , t ∈ [ 0, ∞ )и условиюu ( x, t ) ≤ M , x ∈ [ 0, ∞ ) , t ∈ [ 0, ∞ ) .Запишем граничное условие в виде:u ( 0, t ) = Aeiωt . Из линейности уравнения теплопроводностиследует, что действительная частьего комплексного решения удовлетворяет условию видаu ( 0, t ) = A cos ωt , а мнимая – условию видаu ( 0, t ) = A sin ωt.Будем искать решение в видеu ( x, t ) = Aeα x + β t ,гдеα , β − не определенные пока постоянные. Подставляя данную формулу в уравнениетеплопроводности и граничные условие, получим1=α=β , β iω.2a2Отсюдаβωω (1 + i )aaaα=± 2 =± 2 i=± 2 ωω=±+i22aa222,ωωu ( x, t ) =Aexp  ±x + i  ±x + ωt   .22 2a 2a Действительная часть этого решенияω  ωu ( x, t ) = A exp  ±x  cos  ±x + ωt 2 2 2a  2aудовлетворяет уравнению теплопроводности и соответствующему граничному условию.

Таккак условию задачи удовлетворяет ограниченное решение, то окончательное решениеуравнения, моделирующего температурные волны будет иметьω   ωu ( x, t ) =A exp  −x  cos x − ωt  .2 2 2a  2aАнализ полученного решения. На основании полученного решения можно дать такуюхарактеристику процесса распространения температурной волны в почве.

Если температураповерхности длительное время периодически меняется, то в почве также устанавливаютсяколебания температуры с тем же периодом. При этом имеют место следующие утверждения.1, Первый закон Фурье. Амплитуда колебаний экспоненциально убывает с глубиной:ω A ( x ) A exp  −x,=2  2a то есть, если глубины растут в арифметической прогрессии, то амплитуды убывают вгеометрической прогрессии2. Второй закон Фурье. Температурные колебания в почве происходят со сдвигом фазы.Время δотставания максимумов (минимумов) температуры в почве от соответствующихмоментов на поверхности пропорционально глубине:δ=1x.22ω a3. Третий закон Фурье.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций