Глава 2b (1117544), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

В сечениивременной зависимостиn0 сe − iωtимеют вид: u(1) (1)iuydyi()2n0 An0  n , n0 ,  x n x0 n0bАналогично ставятся условия в сеченииx=a. Парциальные условияизлучения являются нелокальными условиями.∞u ( x, y ) = ∑ Z n ( x)ψ n ( y ),n =1b=Zn ( x)u ( x, y )ψ ( y )dy(n∫=n0( n  1, 2, ...)1, 2,...)Парциальные условия излучения накладываются на коэффициенты Фурьеразложения функции u ( x, y ) по функциям сечения ψ n ( y ) :2iγ n(1)0 An0 δ n ,n0Z n′ (0) + iγ n(1) Z n (0) =Краевая задача имеет вид:∆u + k 2=( x, y )u 0, ( x, y ) ∈ D,b) 0, 0 ≤ x ≤ a,u (x,0)=0, u ( x, = b  ∂u(1) (1)iuydyi+=γψγ()21, 2,...),∫ nnn0 An0 δ n , n0 ( n = x =0 0  ∂x b ∂u ∫  − iγ n(2 )u  ψ n ( y=)dy 0=(n 1, 2,...), 0  ∂xx=aгдеγ n(l ) = kl2 − λn (n =1, 2,...; l =1, 2),D ≡ {0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b} .8) Задачи электростатикиВ задачах электростатики решение уравнения Максвелла сводится к отысканию однойскалярной функции - потенциала ϕ , связанного с напряженностью поля соотношениемE = −gradϕ .Используя уравнение МаксвеллаdivE = 4πρ ,получим∆ϕ =−4πρ .Таким образом, потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона в тех точках пространства, гденаходятся электрические заряды, и уравнению Лапласа, в тех точках, где зарядов нет.Основная задача электростатики: отыскание поля, создаваемого системой зарядов назаданных проводниках.

Возможны две постановки задачи: прямая и обратная.1) Прямая задача электростатики. Задаются потенциалы проводников и требуетсяопределить поле вне проводников и плотность зарядов на проводниках.Математическая формулировка задачи состоит в следующем. Требуется найти функцию ϕ ,удовлетворяющую уравнению Лапласа0∆ϕ =всюду вне заданной системы проводников,обращающихся в нуль на бесконечности и принимающую заданные значения ϕi наповерхностях проводниковϕi const.Si =: ϕ Si ϕ=i,Таким образом, в случае решения прямой задачи электростатики мы приходим к решениюпервой краевой задачи для уравнения Лапласа Единственность ее решения следует из общейтеории.2) Обратная задача электростатики.

На проводниках задаются полные заряды.Требуетсяопределитьпотенциалы проводников,распределениезарядовнаихповерхности и поле вне проводников.Решение обратной задачи сводится к отысканию функции ϕ , удовлетворяющей уравнению0 вне заданной системы проводников, обращающейся в нуль на бесконечности,Лапласа ∆ϕ =принимающей на поверхностях проводников некоторое постоянное значение ϕ S = const иiудовлетворяющей интегральному соотношению на поверхностях проводников∫Si∂ϕ∂n dσ= −4π ei , гдеei − полный заряд на i- м проводнике.7) Применение метода конформного преобразования в задачах электростатикиДля решения двумерных задач электростатики часто используются методы теории функцийкомплексной переменной.Задача. Найти электрическое поле нескольких заряженных проводников, потенциалыкоторых равны u1 , u2 ,...Математическая постановка задачи имеет следующий вид:=∆u 0, =u S ui ,iгде через Si где обозначена поверхность проводника с номером i.Если поле можно считать плоским, не меняющимся, например, вдоль оси Z, то постановказадачи принимает следующий вид∂ 2u ∂ 2u+=0,22∂x∂y=u C ui ,iгде Сi − контур, ограничивающий область Si .Напомним некоторые факты из теории функций комплексной переменной.f ( z ) u ( x, y ) + iv ( x, y ) дифференцируема в точке z=x0 + iy0 ,Теорема.

Если функция=0то в точке ( x0 , y0 ) существуют частные производные функций u (x,y) и v (x,y) попеременным x и y, причем имеет место соотношение – условия Коши-Римана:∂u ( x0 , y0 ) ∂v ( x0 , y0 )=,∂x∂y∂u ( x0 , y0 )∂v ( x0 , y0 )= −.∂y∂xЕсли функция f (z) дифференцируема во всех точках некоторой области G, а ее производнаянепрерывна в этой области, то функция f (z) называется аналитической функцией в области G.Отображение окрестности точкиz0на окрестность точкиw0 ,осуществляемоеаналитической функцией w = f ( z ) и обладающее в точке z0 свойством сохранения углов ипостоянством растяжений, называется конформным отображением.Теорема (взаимно-однозначное соответствие).

Пусть функция f ( z )является однозначнойаналитической функцией в области G , осуществляющей взаимно-однозначное отображениеобластиGна область G комплексной плоскостиw.Тогда это отображение являетсяконформным.u ( x, y ) называется гармонической в области D, если она дважды непрерывно0.дифференцируема в области D удовлетворяет в ней уравнению Лапласа: ∆u =ФункцияДействительна и мнимая части аналитической функции являются гармоническимифункциями, связанными между собой условиями Коши-Римана.f ( z ) u ( x, y ) + iv ( x, y )Необходимыми и достаточными условиями аналитичности функции =в области G является требование, чтобы функции u ( x, y ) и v ( x, y ) были гармоническими иудовлетворяли условиям Коши – Римана в соответствующей области плоскости x, y.Для решения поставленной задачи будем искать потенциалu ( x, y ) как мнимую частьнекоторой аналитической функцииf ( z) =v ( x, y ) + iu ( x, y ) ,причем в силу условий Коши - Риманаvx = u y , v y = −u x(z =x + iy ),иИз граничного условияvx v y + u x u y =0.u C = ui следует, что функция f ( z ) имеет постоянную мнимуюiчасть на контурах Сi , ограничивающих наши проводники.Из условий Коши-Римана вытекает, что уравнениеv ( x, y ) = constпредставляет собой уравнение семейства силовых линий.В самом деле, уравнение семейства силовых линий имеет видdx dy= .ux u yИспользуя условия Коши-Римана, получим:u y dx − u x dy =vx dx + v y dy =dv =0 ⇒ v ( x, y ) =const.Отметим, что уравнениеu ( x, y ) = constопределяет семейство эквипотенциальных линий.Следовательно, для решения поставленной задачидостаточнопостроитьконформноеw = f ( z ) , которое переводит плоскость комплексного переменного z= x + iyв плоскость w= v + iu , при котором границы проводников переходят в прямые u = const илиIm w = const.преобразованиеЕсли такая функцияw = f ( z)найдена, то искомый потенциал находится по формуле=u u=( x, y ) Im f ( z ) .Зная потенциал, можно вычислить электрическое поле:∂u∂uEx =− , Ey =−∂x∂yи плотность поверхностных зарядов на единицу длины по оси z:1=σ4π1E +=E4π2x2yКоторая в силу условий Коши-Римана равна1σ=f ′( z) .4π2 ∂u   ∂u   +  , ∂x   ∂y 25.

Построение математических моделей на основе вариационных принципов1) Вариационное исчислениеФункционалами называются переменные величины, значения которых определяютсявыбором одной или нескольких функций.Например, функционалом является длина l дуги плоской или пространственной кривой,соединяющей две заданные точки A ( x0 , y0 ) и B ( x1 , y1 ) .Если задано уравнение кривой y = y ( x ) , то функционал будет иметь вид:l  y ( x=)x1∫x01 + ( y′ ) dx.2Вариационное исчисление изучает методы, позволяющие находить максимальные иминимальные значения функционалов.

Задачи, в которых требуется исследоватьфункционал на максимум или минимум, называются вариационными задачами.Многие законы механики и физики сводятся к утверждениям, что некоторый функционал врассматриваемомпроцессе должендостигать минимума или максимума.В такойформулировке эти законы носят название вариационных принципов механики или физики.Многие дифференциальные детерминированные моделистроятся исходя из тогоположения, что математические задачи, описывающие соответствующиефизическиепроцессы, при определенных условиях могут иметь две эквивалентные формулировки: в видекраевой задачи или в виде вариационной задачи.Например, вариационная задача на нахождение минимума функционалаx1J  y ( x )  = ∫ F ( x, y ( x ) , y′ ( x ) )dxx0на классе допустимых кривых с закрепленными концами:=y ( x0 ) y=y1 при определенных0 , y ( x1 )условиях эквивалентна следующей краевой задаче:dFFy′ = 0, x ∈ ( x0 , x1 ) ,− xdx y ( x0 ) y=y ( x1 ) y1.=0,dFy′ ) =0Уравнениеназывается уравнением Эйлера-Остроградского и является(dxнеобходимым условием экстремума функционала J  y ( x ) .Fy −2) Вариационный принципМы получили дифференциальное уравнение, описывающее малые продольные колебанияупругого стержня, используя теорему о изменении количества движения, то есть используявторой закон Ньютона в интегральной форме.

Приведем теперь вывод того же уравнения,используя вариационный принцип.Вариационный принцип. Если материальная система, находящаяся в поле внешних сил,характеризуется для любого момента временипотенциальной энергией U ( t )tкинетической энергией, то переход её из состояния в момент временисостояние в момент времени t2 происходит так, что функционал=Φt2∫ (T ( t ) − U ( t ) ) dtt1имеет экстремальное значение.T (t )иt1 в новоеТак как рассматривается случай малых колебаний, то при подсчете кинетической ипотенциальной энергии членами высшего порядка малости можно пренебречь.Кинетическая энергия ∆T малого участка стержня ∆x равна (считаем, что в пределахмалого участка все параметры сохраняют постоянное значение)1=∆Tρ ( x ) ∆xut2 ( x, t ) .2Следовательно, кинетическая энергия всего стержня равнаl1T ( t ) = ∫ ρ ( x ) ut2 ( x, t )dx.20Потенциальная энергия системы «стержень в поле внешних сил» U складывается изпотенциальной энергии упругой деформации U у.д.

и из работыAвнешней силы:=U U у.д. − A.Работана перемещение малого элемента  x∆A внешней силы, затраченнаяt.равновесия в состояние u ( x, t ) , равна A = f ( x, t )  x uгде f ( x, t ) − плотность распределения внешней силы в момент времениПолная работаAвнешней силы записывается следующим образом:lA ( t ) = ∫ f ( x, t )u ( x, t ) dx.0t.из состоянияПодсчитаем энергию упругой деформации. Выделим малый участок стержня длиной  x ,считая, что в пределах данного участка коэффициент упругости является постоянным k ( x ) = k0 .На участокравная x со стороны соседнего элемента действует сила упругого напряжения F ,F = ε k0, гдеперемещении элементаxε−относительное удлинение элементаx.Прина расстояние δ будет совершена работаU у.д. = k0εδ .С перемещением на расстояниеδ связано изменение относительного удлинениявеличину ε , причемε =δx.εнаСледовательно,δ =ε  x иU у.д.

= k0  xε ε .Проинтегрировав последнее равенство от 0 доε,получаем выражение для энергии упругойдеформации, которой обладает выделенный элемент:ε1dU у.д. ∫=k0  xε d εk0ε 2  x.=20k ( x ) и применимпоследнюю формулу для бесконечно малого элемента dx, учитывая, что ε = u x ( x, t ) :Рассмотрим теперь неоднородный стержень с коэффициентом упругостиdU у.д.1= k ( x ) u x2 ( x, t ) dx.2Составим функционал=Φ [u ]t2 l∫ ∫ ( 12 ρ ( x ) u2t)− 12 k ( x ) u x2 + f ( x, t ) u dxdt.t1 0Выпишем для данного функционала уравнение Эйлера-Остроградcкого, которое являетсянеобходимым условием экстремума функционала( Fu ) + ( Fu )x xt tгде0,− Fu =F = F ( u , ut , u x ) = 12 ρ ut2 − 12 ku x2 + fu.Вычисляя входящие в формулу производные, получим уравнение Эйлера-Остроградского дляфункционала Φ [u ] , описывающее малые продольные колебания упругого стержня:=ρ utt∂u kx ( )  + f ( x, t ) .∂x ∂x ∂Выражение в левой части последнего уравнения описывает силы инерции, первое слагаемоев правой части-упругое взаимодействие, а второй член в правой части-действие внешнейсилы.Если стержень однородный и его линейная плотность и коэффициент упругости постоянны:=ρ ( x ) ρ=k0 , то уравнение описывающее малые продольные колебания стержня имеет0, k ( x)вид=utt a u xx + f ,2гдеk01 f.a,f==ρ0ρ02.

Характеристики

Список файлов лекций