Глава 3 (1117546), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Интегралы (34), (36) и (37) являются шаблоннымифункционалами.(37)б) Метод конечных элементов (МКЭ) – проекционносеточный методРассмотрим краевую задачу:d du −  p ( x )  + q ( x ) u= f ( x ) , x ∈ ( 0,1) ,dx dx =u ( 0 ) 0,=u (1) 0.Покроем отрезокдля каждого0 ≤ x ≤1(38)(39)системой интерваловk ≥ 1 введём функциюωk ( x ) :0, 0 ≤ x ≤ xk −1 ,ω1 ( x ) , xk −1 ≤ x ≤ xk ,ωk ( x ) = ω 2 ( x ) , xk ≤ x ≤ xk +1 ,0, x ≤ x ≤ x =1,k +1Nxk −1 ≤ x ≤ xk игдеωk ( x )ω1 ( x ) =x − xk −1, xk −1 ≤ x ≤ xk , ∆ k −0,5 = xk − xk −1 ,∆ k −0,5ω 2 ( x )=xk +1 − x, xk ≤ x ≤ xk +1 , ∆ k + 0,5= xk +1 − xk .∆ k + 0,51Система функций{ω ( x )} полна в томkсмысле, что любую непрерывную функциюϕ ( x)с возможными изломами в узловых{ xk } и обращающуюся в нуль вx граничных точках отрезка 0,1 можно[ ]=1точкахx0 = 0xk −1xkxk +1 xNпредставить в виде линейной комбинациифункций{ω ( x )} : ϕ ( x ) = ∑ ϕ ω ,kkkkгде в качестве коэффициентов стоят значениясамой функцииϕk = ϕ ( xk ) .ϕ ( x ) в точках xk :{}Система ωk ( x )ортогональности:обладает также некоторым аналогом свойства0, n ≤ k − 2,1 ∆ k −0,5 , n =k − 1,61 1=  (∆ k −0,5 + ∆ k + 0,5 ), =n k,(ωk , ω=n)∫0 ωk ( x ) ωn ( x ) dx31k + 1, 6 ∆ k + 0,5 , n =0, n ≥ k + 2.Умножим (38) наωk ( x )и проинтегрируем от 0 до 1: d du 0.

(40)∫0 − dx  p ( x ) dx  + q ( x ) u − f ( x ) ωk ( x ) dx =1Проинтегрируем формулу (40) по частям с учетом граничных условий (39):du d ωk0(41)∫0  p ( x ) dx dx + ( q ( x ) u − f ( x ) ) ωk dx =1Представим интеграл (41) в виде суммы интегралов:du d ωk0.∑k ∫  p ( x ) dx dx + ( q ( x ) u − f ( x ) ) ωk dx =xk −1xk +1Ищем решение задачи (38)-(39) в виде разложения по системеu ( x ) = ∑ u k ωk ( x ) .kУчитывая вид функций ωk ( x ) , получим:xk∫xk −1pk −0,5du d ωkp ( x) =dx( uk − uk −1 ) ,dx dx∆ k −0,5{ω ( x )} :( 42 )kxk +1∫xkxk∫pk + 0,5du d ωkp ( x)dx =−( uk +1 − uk ) ,dx dx∆ k + 0,51,1q ( x) =u ωk dx q1,2uq+k − 0,5 k −1k − 0,5uk ,(43)xk −1xk +1∫q ( x ) u=ωk dx qk2,2+ 0.5uk + q1,2k + 0,5uk +1 ,xkгдеpk + 0,5 ==qki ,+j0,5xk +11∆ k + 0,5∫ p ( x ) dx,xkxk +1ω ( x ) ω ( x ) q ( x ) dx, i, j∫=ixkj1, 2.(44)Учитывая формулы (41), (43), (44), построим разностную схему:pk −0,5∆ k −0,5гдеFk =( uk − uk −1 ) −pk + 0,5∆ k + 0,5( uk +1 − uk ) +1,12,21,2+ q1,2+++uqquqFk ,( k −0,5 k +0,5 ) k k +0,5uk +1 =k − 0,5 k −1xkxk +1xk +1∫ f ( x ) ω dx + ∫ f ( x ) ω dx = ∫ f ( x ) ω ( x ) dx.1xk −1k2xkxk −1К уравнениям (45) следует добавить граничные условия:=u0 0,=u N 0.(45)5) Экономичные разностные схемыСхемы применяемые для решения многомерных задач исочетающие в себе достоинства явных и неявных схемназываются экономичными.Экономичная разностная схема:1)является безусловно устойчивой;2)требует при переходе со слоя на слой числа арифметическихопераций, пропорционального числу узлов сетки.1) Схема переменных направленийОсновной идеей построения экономичных разностных схемявляется сведение многомерной задачи к цепочкеодномерных задач.

Одной из первых экономичных схемявляется построенная в 1955 году Писменом и Рэкфордомсхема переменных направлений (продольно-поперечнаясхема).Рассмотрим начально-краевую задачу:∂u=Lu + f ( x, t ) , ( x, t ) ∈ QT ,∂t=u ( x , 0 ) u0 ( x ) , x ∈ D ,(46)(47)=u ( x, t ) µ ( x ) , x ∈ Γ, t ∈ [ 0, T ] ,∂ 2uLu ≡ ∆=u L1u + L2u , Lα=u∂xα 2(48)(α = 1, 2 ) ,D ≡ {0 ≤ xα ≤ =lα ; α 1, 2} , QT ≡ D × (0, T=], x( x1 , x2 ) .Введем двумерную пространственную сетку и одномерную временнуюсетки:ωh ≡ ωh h = ωh + γ h ≡1 2{( xn1)12t=t 1=ts + 0,5τ ; y =y , ϕs =f ( xn , t s ) .s+s+2}, xn2 ∈ D; 0 ≤ nα ≤ Nα ; α = 1, 2 ,Заменим дифференциальные операторы конечно-разностными:Lu → Λy = Λ1 y + Λ 2 y, Λα y = y xα xα , α = 1, 2.Схема Писмена-Рэкфорда осуществляет переход со слоя s на слой s+1в два шага, используя промежуточный (дробный) слой:yys+121s+− ys= Λ1 y 2 + Λ 2 y s + ϕ s ,0,5τs +1−y0,5τs+12= Λ1 ys+12+ Λ 2 y s +1 + ϕ s ,y ( x , 0 ) u0 ( x ) , x ∈ ω h ,=y s +1 µ ,=n2 0,=n2 N 2 ,=s+12y= µ ,=n1 0,=n1 N1.(49)(50)(51)(52)(53)Уравнение (49) является неявным по первому направлению и явным повторому, а уравнение (50) является явным по первому направлению инеявным по второму.

Из (49) и (50) получаем:22y − Λ 1=y F, =Fy + Λ 2 y + ϕ,ττ22yˆ − Λ 2=yˆ F , =Fy + Λ 1 y + ϕ.ττ 1 111− Fn1 , n1 =yn1 −1 − 2  2 +  yn1 + 2 yn1 +1 =1, 2,..., N1 − 1,2h1h1 h1 τ =yn1 µn1 ,=n1 0,=n1 N1 ,(54)(55)(56)(57) 1 111ˆˆ−++=− Fn2 , n2 1, 2,..., N 2 − 1, (58)yyyˆ n2 +1 =2 2 n2n2 −122h2h2 h2 τ =yˆ n2 µn2 ,=n2 0,=n2 N 2 ,(59)=xn( n1h1 , n2 h=2 ), FF=yn1n2.n1n2 , yЗамечание 1. В формулах (56)-(59) пишется только изменяющийся индекс ине пишется фиксированный индекс.Формулы (56)-(57) описывают прогонки вдоль каждой строки при=n2 1,..., N 2 − 1.Так как каждая прогонка вдоль строки требуетO ( N1 ) арифметических операций, то общее число арифметическихO ( N1 N 2 ) .=n1 1,..., N1 − 1Аналогично прогонка вдоль столбцов при каждомопераций при выполнении прогонок вдоль строк равнотребует O ( N 2 ) операций , а полное число операций при выполнении всехпрогонок вдоль столбцов равно O N1 N 2 .()Счет по схеме переменных направлений требует числа арифметическихопераций O ( N1 N 2 ) пропорционального числу узлов сетки и на каждый узелсетки приходится число операций, не зависящее от числа узлов.

Так какможно доказать безусловную устойчивость схемы переменных направлений,то она является экономичной разностной схемой.Многомерные схемы можно построить, вводя понятие суммарнойаппроксимации (ЛОС – локально-одномерные схемы).Замечание 2. Схему переменных направлений нельзя обобщить натрехмерный случай: формально написанная схема уже не будетустойчивой:ys+131− ys= Λ1 ys+13+ Λ 2 y s + Λ3 y s + ϕ s ,τ3ys+23−y1s+13= Λ1 ys+13+ Λ2 ys+23+ Λ3 y s + ϕ s ,τ3y s +1 − y1s+23= Λ1 ys+13+ Λ2 ys+23+ Λ 3 y s +1 + ϕ s .τ3К написанным уравнениям нужно добавить начальные и граничныеусловия.Качественно накопление ошибки трехмерной схемы переменныхнаправлений можно пояснить следующим образом.В первом уравнении разностная схема является неявной попервому направлению и явной по второму и третьему направлениям,во втором – неявная по второму направлению и явная по первому итретьему, а в третьем уравнении – неявная по третьему уравнению иявная по первому и второму.

Таким образом, в каждом из уравненийсхема оказывается неявной по одному уравнению и явной по двум.Если учесть что по явному направлению ошибка накапливается, а понеявному отрабатывается (уменьшается). то в результате за каждыйцикл ошибка шесть раз накапливается и только три разаотрабатывается, что приводит к накоплению ошибки.

В схемеПисьмена-Рекфорда ошибка за цикл сбалансировано два разанакапливается и два раза отрабатывается, что приводит кустойчивости схемы.2) Локально-одномерные схемы (ЛОС).Понятие суммарной аппроксимацииОбщим методом построения экономичных разностныхсхем пригодных для уравнений с переменными о даже сразрывными коэффициентами, для квазилинейныхнестационарных уравнений в случае произвольнойобласти любого числа измерений является методсуммарной аппроксимации.Отказ от понятия аппроксимации и замена его болееслабым условием суммарной аппроксимации расширяеткласс задач и приводит к аддитивным схемам.Основную роль при построении ЛОС играетвозможность построения цепочки одномерных задач, тоесть представления оператораисходной задачи в видесуммы одномерных операторов: L = L1 + L 2 + ...Lp .Аддитивные схемы имеют две основные черты:1) переход от слоя S на слой S+1осуществляется припомощи обычных (двухслойных, трехслойных и т.д.схем);2) погрешность аппроксимации аддитивной схемыопределяетсякаксумманевязокдлявсехпромежуточных схем (аддитивная схема обладаетсуммарной аппроксимацией).Каждая из промежуточных схем цепочки уравненийможетнеаппроксимироватьисходнуюзадачу,аппроксимация достигается за счет суммирования всехневязок.Построение цепочки одномерных задач.начально-краевая задача:Пусть рассматривается∂u=Lu + f , x =x1 , x2 ,..., x p ) ∈ G, t ∈ (0, T ]; G =+G Г;(∂tu ( x, 0 ) = u0 ( x ) , x ∈ G; u ( x, t ) = 0, x ∈ Г , t ∈ [0, T ].

(60)Запишем ее уравнение в следующем виде1 ∂uPα u = 0, Pα u =− Lα u − fα ,∑p ∂tα =1pгдеfα ( x,=t ) (α 1, 2,..., p ) −произвольные функции, обладающие той же гладкостью, что и f ( x, t )и удовлетворяющие условию нормировкиf1 + f 2 + ... + f p =f.На отрезке 0 ≤ t ≤ T введем равномерную сеткуω=τts sτ ,=s{=0,1,..., S } .Каждый интервал разобьем на p частей, введя полуинтервалы ∆αи точки∆α : ts+α −1<t ≤tpατs+α, α, t α= ts + =s+pp∆α1, 2,..., p − 1.pБудем последовательно решать уравнение задачи (60):Pα v(α ) =x( x ) 0,=( x , x ,..., x ) ∈ G,12pt ∈ ∆α , =α 1, 2,..., p.

Характеристики

Список файлов лекций