Глава 3 (1117546), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

(61)=v(1) ( x, 0 ) u0 ( =x ) , v(α ) ( x, t α −1 ) v=α 2,3,..., p,(α −1) ( x, t α −1 ),s+v ( x, ts +1 ) = v( p ) ( x, ts +1 ) .ps+p(62)Решением этой задачи назовем значение=v ( x, ts ) v=s 0,1,..., S .( p ) ( x, t s ) ,Каждое из уравнений Pα vα = 0 или1 ∂v(α )=Lα v(α ) + fα , α =1, 2,..., p.p ∂tзаменяется разностной схемойПα=yα 0,=α 1, 2,..., p,где Пα -разностные операторы, аппроксимирующие операторыPα.В простейшем случае это двухслойная схема, связывающая значенияy(α ) = ys+αpииy(α −1) = ys+α −1p.Для решения задачи (46)-(48) в трехмерном случае локальноодномерную схему можно записать, например, в следующем видеys+13−yss+=Λ1 yτys+23−ys+13τy s +1 − yτs+23131 s+ ϕ ,3s+=Λ2 y=Λ3 ys +1231 s+ ϕ ,3(63)1 s+ ϕ .3К уравнениям (63) следует добавить начальное и граничныеусловия. Полученная схема суммарно аппроксимирует исходнуюзадачу с порядком(O τ+h2),гдеh = h12 + h22 + h32 .2Примеры.1) Схема Писмена-Рекфорда как аддитивная схема.Уравнения (49)-(50) эквивалентны ЛОС следующего вида:ys+14− ysτys+34−yτs+= 0.5Λ 2 y s + 0.5ϕ s ;12=0.5Λ1 ys+12;ys+12−yτy s +1 − yτs+34s+14= 0.5Λ1 ys+12;=0.5Λ 2 y s +1 + 0.5ϕ s .(O τ +hСхема обладает суммарной аппроксимацией22).2) Схема Дугласа-Рекфордаys+12τ− ys= Λ1 ys+12+ Λ2 y s ;обладает суммарной аппроксимациейy s +1 − ys+12τ(O τ+h2).= Λ 2 ( y s +1 − y s )2.

Метод разделения переменных (метод Фурье)Основные идеи метода разделения переменных мы изложим на примере начально-краевойзадачи, моделирующей малые продольные колебания упругого свободного стержня сзакрепленными концами.utt a 2u xx , x ∈ ( 0, l ) , t ∈ ( 0, ∞ ) ,=u ( x, 0 ) ϕ ( x ) , x ∈ [ 0, l ] ,=ut ( x, 0 ) ψ ( x ) , x ∈ [ 0, l ] ,=u 0, t = 0, u l , t = 0, t ∈ [0, ∞).( ) ( )Предположим, что решение поставленной задачи существует. Будем искать его в видесуперпозиции решений w ( x, t ) вспомогательных задач: wtt a 2 wxx , x ∈ ( 0, l ) , t ∈ ( 0, ∞ ) ,= w ( 0, t )= 0, w ( l , t )= 0, t ∈ [0, ∞), w ( x, t ) = X ( x ) T ( t ) , w x, t ≠ 0, x ∈ 0, l , t ∈ [0, ∞).[ ] ( )Заметим, что в полученной постановке нет начальных условий, но решения имеютспециальный вид:w ( x, t ) = X ( x ) T ( t ) .Подcтавим решения w ( x, t ) в исходное уравнение и разделим переменные:T ′′ ( t )X ′′ ( x )==−λ ⇒X ( x ) T ′′ ( t ) =a X ′′ ( x ) T ( t ) ⇒ 2a T (t ) X ( x )20, x ∈ ( 0, l ) , X ′′ ( x ) + λ X ( x ) =X ( 0 ) 0,=X ( l ) 0.=Для функции X ( x ) мы получили задачу на собственные значения или задачу ШтурмаЛиувилля.Задача штурма-Лиувилля.

Найти те значения параметра λ , при которых существуетрешение поставленной задачи, и сами эти решения.Решение уравнения имеет вид:=X ( x ) A cos λ x + B sin λ x,гдеA, B − произвольные постоянные, которые определяются из граничных условий:X ( 0 ) = A = 0, X ( l ) = B sin λ l = 0 ⇒ sin λ l = 0 ⇒ λ l =π n ⇒ λ =(l)Мы получили дискретный набор собственных значений λn и собственных функцийX n ( x ) = sinπ nxπn =λn  =, , n 1,2,... l l2πn2.X n ( x) :Для временной функции получим уравнение:0,Tn′′( t ) + a 2 λnTn ( t ) =решение которого имеет вид:π an , n =Tn ( t ) =an cos ωnt + bn sin ωnt , ωn =1,2,...lгдеan , bn − произвольные постоянные.Частные решения имеют вид:wn ( x, t ) =X n ( x ) Tn ( t ) =+( an cos ωnt bn sin ωnt ) sinπ nxl, n=1, 2,...Решение исходной задачи записываем в виде:u ( x, t )=∞∑(ann =1cos ωnt + bn sin ωnt ) sinПостроенная таким образом функцияu ( x, t )π nxl.удовлетворяет граничным условиям и приусловии сходимости соответствующих рядов однородному уравнению колебаний.Постоянные an , bnопределим из начальных условий:u ( x, 0 )=a sinϕ ( x).∑=ln −1Умножим обе части наsinπ kxlπ nx∞n, n = 1, 2,...

и проинтегрируем по xот 0 доl.Учтем, что0, n ≠ k ,π nx π kx∫0 sin l sin l dx =  l , n = k. 2lОтсюда получаем2π kx=akϕ ( x ) sin =dx ϕ=1, 2,...k, k∫l 0lгдеϕk −lкоэффициент Фурье в разложении функциисистеме синусовsinπ kx lk =1,2...ϕ ( x)на отрезке от 0 до l поПредположим, что ряд для функции u ( x, t ) можно почленно дифференцировать один раз повремени.

Продифференцировав ряд один раз поbk=2lωklt и положив t = 0, получим:π kxdx∫ψ ( x ) sin=l01ψ k , k 1, 2,...=ωkТаким образом, мы формально построили решение исходной задачи. Далее будет доказанатеорема существования классического решения исходной задачи, то есть показано, при какихусловиях, налагаемых на входные данные – функцииϕ ( x ) и ψ ( x ) , построенное методомФурье решение будет являться классическим решением исходной задачи.3.

Обоснование детерминированных математических моделейДлятого,чтобыобосноватьдетерминированнуюматематическуюмодель,представляющую собой начально-краевую или краевую задачу для уравнений в частныхпроизводных второго порядка, необходимо доказать три теоремы: теорему единственностирешения, теорему существования решения и теорему устойчивости решения. Мы докажем этитри теоремы для простейшей начально-краевой задачи для уравнения колебаний на отрезке,тем самым проведя полное обоснование математической модели, описывающей одномерныеколебательные процессы: малые продольные колебания упругого стержня, малые поперечныеколебания упругой струны и т.д.1) Единственность решенияДля доказательства единственности решения начально-краевой задачи для уравненияколебаний на отрезке используем энергетический метод и метод доказательства от противного..Теорема 1. Классическое решение начально-краевой задачи для уравнения колебаний наотрезке единственно.ДоказательствоПусть u1 ( x, t ) иu2 ( x, t ) - два решения рассматриваемой задачи, причем u1 ≠ u2 .Рассмотрим функциюv= u1 − u2 .В силу линейности исходной задачи для функцииv ( x, t ) получим следующую начально-краевую задачу:vtt a 2 vxx , x ∈ ( 0, l ) , t ∈ ( 0, ∞ ) ,=, 0 ) 0, x ∈ [ 0, l ] ,v ( x=, 0 ) 0, x ∈ [ 0, l ] ,vt ( x=v 0, t = 0, v l , t = 0, t ∈ [0, ∞).( ) ( )Рассмотрим функциюl122E (=t)ρxv+kxv( ) t ( ) x )dx, ρ ( x ) > 0, k ( x ) > 0.(∫20Функция E ( t ) представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергии упругогостержня (для определенности мы будем рассматривать колебания упругого стержня).Найдем производную функции E ( t ) :dE ( t )=dtl∫ ( ρ ( x) v vt tt+ k ( x ) vx vxt ) dx.0Преобразуем второе слагаемое под интегралом, используя формулу интегрирования почастям:l∫ k ( x) v vx xt0посколькуll00dx =k ( x ) vx vt − ∫ vt ( k ( x ) vx ) x dx =− ∫ vt ( k ( x ) vx ) x dxl0v ( 0, t ) =v (l, t ) =0 ⇒ vt ( 0, t ) =vt ( l , t ) =0.

Таким образом имеем:dE ( t ) l=∫ vt ρ ( x ) vtt − ( k ( x ) vx ) x dx =0.dt0()Следовательно,E (t=) C= const.Из начальных условий следует, чтоE ( 0 ) = C = 0 ⇒ E ( t ) = 0, t ∈ [0, ∞).Отсюда вытекает, что=vt ( x, t ) 0,=v x ( x, t ) 0 и v ( x, t =) C= const. Из начальногоусловия следует, чтоС =0 ⇒ v ( x, t ) =0 ⇒ u1 ( x, t ) =u2 ( x, t ) , x ∈ [ 0, l ] , t ∈ [0, ∞).Таким образом, мы пришли к противоречию: предположив, что функции u1 ( x, t ) и u2 ( x, t )не равны друг другу, мы доказали, что они тождественно совпадают.

Единственность решенияначально –краевой задачи доказана.2) Сушествование решения начально-краевой задачи для уравнения колебаний наотрезкеМы построили решение начально-краевой задачи для уравнения колебаний на отрезкеметодом разделения переменных (методом Фурье). Для доказательства существованияклассического решения надо установить, что полученное формальное решение в виде рядаФурье с коэффициентами, определенными через начальные условия, при соответствующихусловиях, накладываемых на начальные данные, действительно представляет собойклассическое решение.Для исследования этой проблемы весьма полезен так называемый обобщенный принципсуперпозиции, который по существу очень компактно выражает основное содержание методаразделения переменныхОбобщенный принцип суперпозиции.

Еслиwn ( x, t ) −частные решения линейногооднородного дифференциального уравнения и все дифференциальные операции, входящие вэто уравнение, над функцией∞u ( x, t ) = ∑ wn ( x, t )можно вычислять путем почленногодифференцирования ряда, то u ( x, t ) является решением этого уравнения.n =1Таким образом, необходимо проверить, позволяют ли условия, накладываемые на входныеданные задачи, применить обобщенный принцип суперпозиции. Этот вопрос связан сизучением систем собственных функций, полученных как решение задачи Штурма-Лиувилля,по которымраскладывается решение исходной задачи.Поскольку в нашем случае прирешении задачи на отрезке разложение происходит по тригонометрической системе функций π nx sin , то необходимо использовать свойства рядов Фурье.l Если периодическая с периодом 2 l функция F ( x ) , заданная на отрезке [-l,l], имеет kнепрерывных производных, а ( k + 1) − я производная кусочно-непрерывная, то числовой ряд,∞kn∑ ( an + bn ) ,т =1где an и bn - коэффициенты Фурье функции F(x), сходится.Если речь идет о разложении в ряд по системе π nx sinl функции f ( x ) , заданной толькона отрезке [0,l] , то надо, чтобы изложенные требования были выполнены для функцииF ( x ) , получающейся при нечетном продолжении f ( x ) на отрезок [-l,0].В частности, для непрерывности необходимо, чтобы f ( 0 ) = 0, а для периодичности спериодом 2l необходимо, чтобы f ( l ) = 0.Непрерывность первой (как и любой нечетной производной) при x = 0 и x = l принечетном продолжении получается автоматически.

Для непрерывности четных производныхпродолженной функции нужно потребовать, чтобыk))f ( k=(k 0, 2, 4,..., 2n).( l ) 0=( 0 ) f (=Теорема 2. Если начальные функции начально-краевой задачи для уравнения колебаний наотрезке [ 0,l ] удовлетворяют условиям: ϕ ( x ) ∈ C[0, l ] и ϕ ′′′ ( x ) − кусочно-непрерывная на(1)( 0 ) ϕ=(l )отрезке [ 0, l ] ; ψ ( x ) ∈ C [ 0, l ] и ψ ′′ ( x ) − кусочно-непрерывна на отрезке [ 0, l ] ; ϕ=( 2)ϕ ′′=( 0)′′ ( l ) ψ== ϕ=( 0 ) ψ=( l ) 0, то существует классическое решение начально-краевой задачи дляуравнения колебаний на отрезке 0,l  , представляемое формулой∞u ( x, t ) =∑ ( an cos ωnt + bn sin ωnt ) sinπ nxn =0с коэффициентамиa=ϕ=nn=bn2ll∫ ϕ ( x ) sin012ωnlωn=ψnlπ nxldx,∫ψ ( x ) sin0π na, ωn =llπ nxldx.ДоказательствоНеобходимо доказать:1) Непрерывность функции u ( x, t ) в замкнутой области [ 0, l ] × [ 0, T ] , откуда будетследовать непрерывное примыкание функции u ( x, t ) к первому начальному условию и кграничным условиям.Так как=u ( x, t )∞∞u n ( x, t )∑=∑ ( an cos ωnt + bn sin ωnt ) sin=n 1=n 1π nxlи функции un ( x, t ) непрерывны в области [ 0, l ] × [ 0, T ] , то достаточно доказать равномернуюсходимость функционального ряда в данной области, то есть сходимость мажорантного ряда∞∑( an =1n+ bn ).2) Непрерывность функции ut ( x, t ) в замкнутой области [ 0, l ] × [ 0, T ] , откуда будетследовать непрерывное примыкание данной функции ко второму начальному условию.Для этого достаточно доказать равномерную сходимость ряда, полученного в результате∞формального почленного дифференцирование ряда u ( x, t ) = ∑ un ( x, t ) по переменнойn =0∞∑an =1πnl( −an sin ωnt + bn cos ωnt ) sinπ nxlМажорантным рядом, для данного числового ряда является ряд:aπl∞∑n( an =1n+ bn ) ..t:3) Применимость обобщенного принципа суперпозиции в области ( 0, l ) × (0, T ] , откудабудет следовать, что функция u ( x, t ) удовлетворяет уравнению колебаний в данной области,для чего нужно доказать равномерную сходимость рядов, полученных двукратным почленнымдифференцированием ряда u ( x, t ) =∞∑ u ( x, t ) по tn =1π −a  l 2 ∞2π − l ∑ n (a2nn =12 ∞∑ n (a2n =1nnи по x :cos ωnt + sin ωnt ) sincos ωnt + sin ωnt ) sinπ nxπ nxllЭтим рядам с точностью до множителей соответствует общий мажорантны ряд∞2n∑ ( an + bn ).n =1Поскольку a = ϕ nn1=ψnи bn=сходимость мажорантных рядов:∞∑ n ϕnkωn(k =lψ n , то для обоснования 1) – 3) нужно доказатьπ an0,1, 2 ) ,∞kn∑ ψn(k =−1, 0,1) .n 1=n 1Условие теоремы обеспечивает сходимость всех мажорантных рядов, что и доказывает теорему.3) Устойчивости решения начально-краевой задачи для уравнения колебанийРассмотрим начально-краевую задачу, моделирующую процесс малых продольных колебанийоднородного упругого стержня под действием внешней силы:utt ( x, t )=u ( x, 0 )=ut ( x, 0 )=u 0,= ( t)a 2u xx ( x, t ) + f ( x, t ) ,x ∈ ( 0, l ) , t ∈ (0, T],ϕ ( x ) , x ∈ [ 0, l ] ,ψ ( x ) , x ∈ [ 0, l ] ,0, u ( l=, t ) 0, t ∈ [0, T ].lВведем скалярное произведениеf =( f , f ).( f , g ) = ∫ f ( x )g ( x ) dx0и порожденную им нормуТеорема 3.

Характеристики

Список файлов лекций